Convexidad y Concavidad

Cómo hallar la concavidad en una ecuación

Para representar algebraicamente que una función es cóncava, se utiliza la siguiente ecuación:

$\lambda x+(1-\lambda )y⩽\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

En otras palabras, supongamos$x$y$y$son dos puntos cualesquiera del eje x sobre los que se representa gráficamente la función.

Antes de explicarlo con palabras, es importante entender que$\lambda x+(1-\lambda )y$selecciona cualquier punto entre los puntos$x$y$y$. Del mismo modo $\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$ selecciona cualquier punto entre$f\left(x\right)$y$f\left(y\right)$.

La primera parte de la desigualdad halla el valor de la función de cualquier punto entre$x$y$y$. La segunda parte selecciona cualquier punto entre las funciones de $x$ y $y$. Por tanto, lo que representa esta ecuación es que la función de cualquier punto entre$x$y$y$es mayor o igual que cualquier punto entre los puntos$x$y$y$.

Observando la gráfica anterior, está claro que esto es cierto para esa gráfica, ya que las funciones de los puntos entre las coordenadas de intersección están por encima de las funciones entre ambas funciones, representadas por la ecuación lineal azul.

¿Qué es una función convexa?

A continuación puedes ver un ejemplo:

Ejemplo de función convexa - StudySmarter Originals

Está claro que este tipo de función se opone a una función cóncava. Una recta entre dos puntos (que representan todas las funciones entre ambas funciones) está siempre por encima o al mismo nivel que la propia función.

Cómo hallar la convexidad en una ecuación

Como ambos tipos de funciones tienen parámetros similares, sus ecuaciones se parecen. Sólo tienen una diferencia esencial:

$\lambda x+(1-\lambda )y⩾\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

Observa que el signo de desigualdad está invertido. Como todos los demás componentes son idénticos, esta función representa que cualquier punto entre las coordenadas seleccionadas es mayor o igual que cualquier punto de la función entre ambas coordenadas.

¿Puede una función ser a la vez cóncava y convexa?

Sí, es posible. Esto se debe a que ambas funciones tienen un signo igual en la desigualdad. El ejemplo más común de esto es cualquier línea recta, ya que la función para un punto entre dos puntos cualesquiera coincidirá con la función equivalente entre ambas funciones.

¿Qué son los polígonos cóncavos?

A continuación puedes ver un ejemplo de este tipo de forma:

Ejemplo de polígono cóncavo- StudySmarter Originals

En la forma anterior, el ángulo EDC supera los 180 grados. Por tanto, se trata de una función cóncava.

Hay una prueba visual que se puede hacer para comprobar si se trata de un polígono cóncavo: si una línea recta entre dos puntos cualesquiera dentro de un polígono sale fuera de la forma, esa forma es un polígono cóncavo. Por ejemplo, a continuación podemos ver que si trazamos el segmento de recta $EC$la línea se sale de la forma. Por tanto, el polígono es cóncavo.

Prueba visual del polígono cóncavo- StudySmarter Originals

¿Qué son los polígonos convexos?

Un ejemplo sería la siguiente forma:

Ejemplo de polígono convexo - StudySmarter Originals

La prueba visual de los polígonos cóncavos puede invertirse para comprobar si se trata de un polígono convexo. Como este polígono no tiene dos puntos que creen un segmento que lo atraviese por fuera, esta forma geométrica es un polígono convexo.

Diferencias entre concavidad y convexidad

La principal diferencia entre concavidad y convexidad es el hecho de que los ángulos subtendidos en las formas convexas se curvan hacia fuera, mientras que los ángulos subtendidos en las formas cóncavas se curvan hacia dentro. Todo ello se basa en la existencia o no de un ángulo que supere los 180 grados.

A continuación tienes otros ejemplos de polígonos cóncavos y convexos. A ver si puedes determinar si son cóncavos o convexos.

A continuación tienes otros ejemplos de funciones cóncavas y convexas. A ver si puedes determinar si son cóncavas o convexas.