Demostración por Inducción

Demuestra que para todos los enteros positivos $n$, $3^{2n+2}+8n-9$ es divisible por 8.

Solución

Primero define $f(n)=3^{2n+2}+8n-9$.

Paso 1: Considera ahora el caso base. Como la pregunta dice para todos los enteros positivos, el caso base debe ser $f(1)$. Puedes sustituir $n=1$ en la fórmula para obtener

$$\text{Missing end{align}}$$

80 es claramente divisible por 10, por lo que la condición es cierta para el caso base.

Paso 2: A continuación, enuncia la hipótesis inductiva. Esta hipótesis es que $f(k)=3^{2k+2}+8k-9$ es divisible por 8.

Paso 3: Considera ahora $f(k+1)$. La fórmula será

$$\text{Missing end{align}}$$

Puede parecer raro escribirlo así, sin simplificar el $8-9$ para convertirlo en $-1$. Hay una buena razón para hacerlo: quieres mantener la fórmula tan parecida a la fórmula de $f(k)$ como puedas, ya que necesitas transformarla en esto de alguna manera.

Para hacer esta transformación, observa que el primer término de $f(k+1)$ es el mismo que el primer término de $f(k)$ pero multiplicado por $3^2=9$. Por tanto, puedes dividirlo en dos partes separadas.

\f(k+1) & = 9 \cdot 3^{2k+2} + 8k -9 + 8 & = 3^{2k+2} + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8k -9 + 8 & = (3^{2k+2} + 8k -9) + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8 + 8 \ {\} & = f(k) + 8 \cdot 3^{2k+2} + 8. \fin{align} \]

El primer término es divisible por 8 debido a la suposición, y el segundo y el tercero son múltiplos de 8, por lo que también son divisibles por 8. Como se trata de la suma de distintos términos que son todos divisibles por 8, $f(k+1)$ también debe ser divisible por 8, suponiendo que la hipótesis inductiva sea cierta. Por tanto, has demostrado el paso inductivo.

Paso 4: Por último, acuérdate de escribir la conclusión. Debería ser algo así

Si es cierto que $f(k)$ es divisible por 8, entonces también será cierto que $f(k+1)$ es divisible por 8. Como es cierto que $f(1)$ es divisible por 8, es cierto que $f(n)$ es divisible por 8 para todos los enteros positivos $n$.

Demuestra que para cualquier entero no negativo $n$,

$$||sin(nx)|\le n\sin x,$$

para $x\text{en}(0,\pi )$.

Solución

Paso 1: El caso base está claro, ya que al sustituir en $n=1$ se cumple la desigualdad $||sinx|\le \sin x$, que es cierta para $x\in (0,\pi )$.

Paso 2: Para la hipótesis de inducción, supongamos que

$$||sin(mx)||leqm\sin x.$$

Paso 3: Ahora debes demostrar que $||sin((m+1)x)|\le (m+1)\sin x.$ En primer lugar, puedes expandir el paréntesis del lado izquierdo:

$$||sin((m+1)x)|=||sin(mx+x)|$$.

Ahora puedes utilizar la fórmula trigonométrica de la suma de ángulos para la función seno.

|[|seno{((m+1)x)}| = |seno{(mx)} |cos{(m)} + |cos{(mx)} |seno{(m)}|].

A partir de aquí, puedes utilizar la desigualdad triangular para los valores absolutos: $|a+b|\le |a|+|b|$.

$$||sin((m+1)x)|\le ||sin(mx)\cos (x)|+|\cos (mx)|sin(x)|.$$

Recuerda que $\cos (mx)$ y $\cos (x)$ son menores que uno. Por tanto, puedes crear un nuevo límite superior estimando las funciones coseno como 1:

A partir de aquí, fíjate en que hay $||sin(mx)|$ en el lado izquierdo. Aquí es donde puedes utilizar la hipótesis inductiva. Sabes que $|sin(mx)|\le m\sin x$, así que puedes crear otro límite superior:

Por último, como se dijo en el caso base, $||sin(x)|\le \sin (x)$. S ,

$$|sin((m+1)x)|\le m\sin (x)+\sin (x)=(m+1)\sin (x),$$

según sea necesario.

Paso 4: Por último, expón la conclusión. Hemos demostrado que la desigualdad se cumple para $n=m+1$ si se cumple para $n=m.$ Puesto que se cumple para $n=1$, por inducción se cumplirá para todos los enteros positivos.

Demuestra que cualquier número entero $n\ge 2$ puede escribirse como producto de primos.

Solución

Paso 1: Primero, demuestra el caso base, que en este caso requiere $n=2$. Como $2$ ya es un número primo, ya está escrito como producto de primos, y por tanto el caso base es cierto.

Paso 2: A continuación, enuncia la hipótesis inductiva. Supondrás que para cualquier $2\le n\le k$, $n$ puede escribirse como producto de primos.

Paso 3: Por último, debes utilizar la hipótesis para demostrar que $n=k+1$ puede escribirse como un producto de primos. Hay dos casos:

• $k+1$ es un número primo, en cuyo caso está claro que ya se escribe como producto de primos.
• $k+1$ no es un número primo y debe haber un número compuesto.

Si $k+1$ no es un número primo, significa que debe ser divisible por un número distinto de sí mismo o de 1. Esto significa que existen $a_1$ y $a_2$, con $2\le a_1$ y $a_2\le k$, tales que $k+1=a_1{a}_2.$ Por la hipótesis inductiva, $a_1$ y $a_2$ deben tener una descomposición prima, ya que $2\le a_1$ y $a_2\le k$. Esto significa que existen números primos $p_1,puntos,p_i$ y $q_1,puntos,q_j$ tales que

$$\text{Missing end{align}}$$

Por último, como \ (k+1 = a_1 a_2, \) tienes:

$$k+1=p_1\text{puntos}{p}_i{q}_1\text{puntos}{q}_j$$

que es un producto de primos. Por tanto, se trata de una descomposición en primos para $k+1$.

Paso 4: $k+1$ tendrá una descomposición prima si todos los números $n$, $2\le n\le k$ también tienen una descomposición prima. Como 2 tiene una descomposición prima, por inducción todo número entero positivo mayor o igual que 2 debe tener una descomposición prima.

Demuestra que para cualquier número entero positivo $n$,

$$1^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Solución

Paso 1: Primero, considera el caso base, cuando $n=1$. El lado izquierdo es claramente sólo 1, mientras que el lado derecho se convierte en

$$\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1.$$

Por tanto, el caso base es correcto.

Paso 2: A continuación, escribe la hipótesis de inducción. Ésta es que

\1^2 + puntos + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}. \]

Paso 3: Por último, demuestra el paso inductivo. El lado izquierdo, para $n=m+1$, será:

$$1^2+puntos+m^2+(m+1{)}^2=(1^2+puntos+m^2)+(m+1{)}^2.$$

Los primeros $n$ términos están en la hipótesis inductiva. Por tanto, puedes sustituirlos por el lado derecho de la hipótesis inductiva:

$$\begin{array}{rlr}{1}^2+puntos+m^2+(m+1{)}^2& =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(m+1{)}^2& =\frac{m(m+1)(2m+1)+6(m+1{)}^2}{6}\\ ¾& =¾frac(m+1)¾izquierda[m(2m+1)+6(m+1)¾derecha]6.\end{array}$$

A continuación, expande el trozo que hay dentro de los corchetes, con lo que tendrás una cuadrática. Entonces puedes resolver la cuadrática normalmente:

\[ $$\begin{array}{rl}{1}^2+puntos+m^2+(m+1{)}^2& =\frac{(m+1)[2m^2+1m+6m+6]}{6}.\\ y=frac(m+1)[2m^2+7m+66\\ & =\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}|=\frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6},\end{array}$$\}].

como es debido. Así, has demostrado el paso inductivo.

Paso 4: Por último, escribe la conclusión. Si la fórmula de la suma de cuadrados es cierta para cualquier número entero positivo $m$, entonces será cierta para $m+1$. Como es cierta para $n=1$, es cierta para todos los enteros positivos.

Demuestra la Fórmula de Binet utilizando la inducción.

Solución

Paso 1: Primero, demuestra la base de inducción. Esto será para $F_0$ y $F_1$. Para $F_0$:

$$\frac{{\varphi }^0-{\hat{\varphi }}^0}{\sqrt{5}}=\frac{1-1}{5}=0,$$.

que es el valor de $F_0$ como se esperaba.

Para $F_1$:

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

que es la respuesta esperada. Por tanto, la base de inducción está demostrada.

Paso 2: A continuación, establece la hipótesis de inducción. En este caso, hay que utilizar la inducción fuerte. La hipótesis es que para cualquier $0\le i\le k+1,$

$$F_i=\frac{{\varphi }^i+{\hat{\varphi }}^i}{\sqrt{5}}.$$

Paso 3: Ahora debes demostrar el paso de inducción, que es que

\F_{k+2} = \frac{\phi^{k+2} + \hat{\phi}^{{k+2}} {{sqrt{5}}.

Empieza por el lado derecho e intenta simplificarlo hasta llegar al lado izquierdo. Primero, empieza por dividir la potencia de $k+2$ en 2 términos separados, uno con la potencia de $k$ y el otro con la potencia de $2$.

$$\frac{{\varphi }^{k+2}+{\hat{\varphi }}^{k+2}}{cuadrado5}=\frac{{\varphi }^2{\varphi }^k+{\hat{\varphi }}^2{\hat{\varphi }}^k}{cuadrado5}$$

Ahora puedes utilizar el resultado de que ${\varphi }^2=1+\varphi$ y \( \hat{\phi}^2 = 1 + \hat{\phi}\}).

\frac{\fi}^2 = 1 + \frac{\fi}^2 = 1 + \frac{\fi}. \frac{\phi^{k+2} + \hat{\phi}^{k+2} {cuadrado{5}} & = \frac{(1+\phi) \phi^{k} + (1+{\hat{\phi}}) \hat{\phi}^{k}} {{cuadrado=5}}. \ & = \frac{\phi^{k} + \hat{\phi}^{k} + \phi^{k+1} + \hat{\phi}^{k+1} {{sqrt{5}} \ & = \frac{\phi^{k} + \hat{\phi}^{k}}{cuadrado5}} + \frac {\phi^{k+1}} + \hat{\phi}^{k+1}{\qrt{5}} \ & = F_k + F_{k+1} \ y = F_{k+2}. \fin{align} \]

Y así se ha demostrado el paso de inducción. El paso que obtiene la respuesta a $F_k+F_{k+1}$ requiere el uso de la hipótesis de inducción para llegar a ella.

Paso 4: Por último, la conclusión: Si la Fórmula de Binet se cumple para todos los enteros no negativos hasta $k+1$, entonces la fórmula se cumplirá para $k+2$. Como la fórmula se cumple para $F_0$ y $F_1$, la fórmula se cumplirá para todos los enteros no negativos.