Ejemplo de demostración de una identidad
Demuestra que
\[ x^3 - y^3 \equiv (x-y)(x^2+xy+y^2).\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado derecho de la ecuación, \((x-y)(x^2+xy+y^2) \).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2) \equiv x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ x^3 - y^3 \equiv (x-y)(x^2+xy+y^2)\}]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Por ejemplo, \(3x + 6 = 3 (x + 2) \) es válido para todos los valores de \(x\). Esto significa que es una identidad, por lo que podemos escribir \(3x + 6 = 3 (x + 2) \).
Considera la ecuación \(x + 3 = 2x-5\).
Esta ecuación es válida para determinados valores de \(x\).
Cuando \(x = 8\), entonces esta ecuación es cierta. Sin embargo, esta ecuación no se cumple para ningún otro valor de \(x\); por tanto, no es una identidad.
Veamos ahora cómo demostrar una identidad. Cuando resolvemos una ecuación, podemos manipular términos de un lado a otro. Sin embargo, no podemos hacerlo en el caso de una identidad. Debemos partir de un lado de la identidad y luego trabajar hacia el otro lado. Sólo entonces podremos decir que nuestra identidad está demostrada.
Al examinar por primera vez una identidad, puede ser una buena idea sustituir algunos valores en la identidad para comprobar que ésta se mantiene y que entendemos cómo funciona. Sin embargo, esto no significa que la identidad esté demostrada: no podemos comprobar infinitas posibilidades de números, y un valor podría seguir sin funcionar. Esto significa que tenemos que demostrar inequívocamente que la identidad se cumple.
Vamos a demostrar este punto. Supongamos que queremos comprobar si la ecuación \(x^2 + 4x + 2 = 9x-4\) es una identidad. Para ello, tenemos que demostrar que funciona para todos los valores de \(x\).
Comprobemos algunos valores. Comprobemos \(x = 2\). En el lado izquierdo (LHS), obtenemos \(2^2 + 4 (2) + 2 = 14\), y del mismo modo, en el RHS, también obtenemos \(14 = 9 (2) -4\). Esto significa que aún no hemos demostrado la identidad, pero igualmente, no está refutada.
Ahora comprobemos \(x = 3\). En el LHS, obtenemos \(3^2 + 4 (3) + 2 = 23\), y obtenemos \(9 (3) -4 = 23\) en el RHS. Hasta ahora, esto parece prometedor, ya que tenemos dos valores que se mantienen.
Ahora, comprobemos \(x = 0\). En el lado izquierdo, obtenemos \(2\), mientras que, en el lado derecho, obtenemos \(-4\), lo que significa que esto no funciona y, por tanto, no es una identidad. Esto demuestra que el hecho de que tengamos un par de casos que funcionan no significa que tengamos una prueba.
Demostrar una identidad algebraica
Con cualquier identidad, hay numerosas formas de demostrarla. Sin embargo, cuando tenemos una identidad, podemos aplicar un conjunto de pasos para demostrarla.
Paso 1: Elige un lado de la identidad para trabajar con él. Éste debe ser el lado con el que parezca más fácil trabajar.
Paso2 : Intenta manipular este lado. Algebraicamente, normalmente se parecerá a una multiplicación o a una factorización.
Paso3 : Intenta simplificar esta expresión y, si es necesario, manipúlala más hasta que tu expresión original sea la misma que la expresión equivalente.
Paso 4: Se demuestra la identidad.
Consideremos una identidad algebraica para entenderlo mejor.
\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el LHS de la ecuación, \((x+y)(x-y) \).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)(x+y) \equiv x^2 + xy - yx + y^2.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^2 + xy - yx + y^2 \equiv x^2 - y^2 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Veamos otro ejemplo.
\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado izquierdo de la ecuación, \((x-y)^3 \). Podemos escribirla como \( (x-y)(x-y)(x-y)\).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)^3 \equiv (x-y)(x-y)(x-y) \equiv x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\3]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\}]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado derecho de la ecuación,
\[(x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\]
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ \begin{align} (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) &\equiv x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \\& & \quad- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \\quad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \quad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 . \end{align}\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ \begin{align} &x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \ & \quad- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \ & \quad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \\quad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 \equiv x^2+y^2+z^2 - xyz-xz . \fin{align} \]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\z].
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Demostrar una identidad trigonométrica
Como con cualquier identidad, intentamos demostrar que ambos lados de la identidad son equivalentes. Seguimos pasos similares a los anteriores.
A veces es difícil decidir por qué lado de una identidad empezar. Como guía, el lado más complicado es un buen comienzo. Esto significa que debería haber más pasos posibles para reducirla al lado más sencillo, en lugar de añadir términos al lado más complejo.
Si estás atascado, a menudo un buen principio es convertir cada función trigonométrica en una combinación de funciones seno y coseno. Profundizaremos en este tema en las identidades trigonométricas, pero de momento, veamos un ejemplo para hacernos una idea del método.
\[ \sec^2x - \csc^2x \equiv \tan^2x - cot^2x \]
dado que
|sin^2x + \cos^2x = 1\].
para todos los valores de \(x\).
Empecemos manipulando el lado derecho. Por definición
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \mbox { y } \cot x = \frac{1}{\tan x}, \].
por lo que
\tan^2x - cot^2x \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.\frac].
Entonces, simplificando en una fracción, obtenemos
\frac{{sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \equiv \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x}. \]
Por diferencia de dos cuadrados, obtenemos
\frac{{sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} .\}
Ahora podemos utilizar nuestra identidad dada, para obtener
\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} .\\]
Ahora podemos dividir la fracción para obtener
\frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } .\]
Ahora podemos utilizar la definición de secante y cosecante para obtener
\[\frac{1}{\cos^2 x } - x]. \Tan^2x - cot^2x = \text{ LHS}.\}]
Así queda demostrada la identidad.
Demostrar una identidad - Puntos clave
Una identidad es una ecuación formada por variables que siempre es cierta para todos los valores de la variable.
Para demostrar la identidad, tienes que demostrar que ambos lados (lado izquierdo y lado derecho) son iguales simplificando las expresiones. Tienes que seguir los pasos lógicos para demostrar que un lado de la ecuación puede convertirse en el otro lado de la ecuación.
Para demostrar identidades, empieza siempre por el lado complejo de la ecuación, ya que es más fácil eliminar o descomponer términos de una función compleja para hacerla simple que encontrar términos para hacer compleja una función simple.
El signo \(\equiv\) significa equivalente y se muestra en las identidades en lugar del signo igual.
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