Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Una identidad es una ecuación que siempre es cierta para todos los valores de la variable. Utilizamos el símbolo \(\equiv\) en lugar de \(=\) en una igualdad para demostrar que es una identidad. También utilizamos los términos lado izquierdo (LHS) y lado derecho (RHS).
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Demostrar una identidad
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentariosDemuestra que
\[ x^3 - y^3 \equiv (x-y)(x^2+xy+y^2).\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado derecho de la ecuación, \((x-y)(x^2+xy+y^2) \).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2) \equiv x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ x^3 - y^3 \equiv (x-y)(x^2+xy+y^2)\}]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Por ejemplo, \(3x + 6 = 3 (x + 2) \) es válido para todos los valores de \(x\). Esto significa que es una identidad, por lo que podemos escribir \(3x + 6 = 3 (x + 2) \).
Considera la ecuación \(x + 3 = 2x-5\).
Esta ecuación es válida para determinados valores de \(x\).
Cuando \(x = 8\), entonces esta ecuación es cierta. Sin embargo, esta ecuación no se cumple para ningún otro valor de \(x\); por tanto, no es una identidad.
Veamos ahora cómo demostrar una identidad. Cuando resolvemos una ecuación, podemos manipular términos de un lado a otro. Sin embargo, no podemos hacerlo en el caso de una identidad. Debemos partir de un lado de la identidad y luego trabajar hacia el otro lado. Sólo entonces podremos decir que nuestra identidad está demostrada.
Al examinar por primera vez una identidad, puede ser una buena idea sustituir algunos valores en la identidad para comprobar que ésta se mantiene y que entendemos cómo funciona. Sin embargo, esto no significa que la identidad esté demostrada: no podemos comprobar infinitas posibilidades de números, y un valor podría seguir sin funcionar. Esto significa que tenemos que demostrar inequívocamente que la identidad se cumple.
Vamos a demostrar este punto. Supongamos que queremos comprobar si la ecuación \(x^2 + 4x + 2 = 9x-4\) es una identidad. Para ello, tenemos que demostrar que funciona para todos los valores de \(x\).
Comprobemos algunos valores. Comprobemos \(x = 2\). En el lado izquierdo (LHS), obtenemos \(2^2 + 4 (2) + 2 = 14\), y del mismo modo, en el RHS, también obtenemos \(14 = 9 (2) -4\). Esto significa que aún no hemos demostrado la identidad, pero igualmente, no está refutada.
Ahora comprobemos \(x = 3\). En el LHS, obtenemos \(3^2 + 4 (3) + 2 = 23\), y obtenemos \(9 (3) -4 = 23\) en el RHS. Hasta ahora, esto parece prometedor, ya que tenemos dos valores que se mantienen.
Ahora, comprobemos \(x = 0\). En el lado izquierdo, obtenemos \(2\), mientras que, en el lado derecho, obtenemos \(-4\), lo que significa que esto no funciona y, por tanto, no es una identidad. Esto demuestra que el hecho de que tengamos un par de casos que funcionan no significa que tengamos una prueba.
Con cualquier identidad, hay numerosas formas de demostrarla. Sin embargo, cuando tenemos una identidad, podemos aplicar un conjunto de pasos para demostrarla.
Paso 1: Elige un lado de la identidad para trabajar con él. Éste debe ser el lado con el que parezca más fácil trabajar.
Paso2 : Intenta manipular este lado. Algebraicamente, normalmente se parecerá a una multiplicación o a una factorización.
Paso3 : Intenta simplificar esta expresión y, si es necesario, manipúlala más hasta que tu expresión original sea la misma que la expresión equivalente.
Paso 4: Se demuestra la identidad.
Consideremos una identidad algebraica para entenderlo mejor.
\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el LHS de la ecuación, \((x+y)(x-y) \).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)(x+y) \equiv x^2 + xy - yx + y^2.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^2 + xy - yx + y^2 \equiv x^2 - y^2 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Veamos otro ejemplo.
\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado izquierdo de la ecuación, \((x-y)^3 \). Podemos escribirla como \( (x-y)(x-y)(x-y)\).
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ (x-y)^3 \equiv (x-y)(x-y)(x-y) \equiv x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3.\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3 .\]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\3]
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\}]
Paso 1: Considera un lado de la expresión.
Considera el lado derecho de la ecuación,
\[(x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\]
Paso 2: Multiplica las expresiones dentro de los paréntesis.
\[ \begin{align} (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) &\equiv x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \\& & \quad- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \\quad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \quad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 . \end{align}\]
Paso 3: Simplifica la expresión.
\[ \begin{align} &x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \ & \quad- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \ & \quad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \\quad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 \equiv x^2+y^2+z^2 - xyz-xz . \fin{align} \]
Paso 4: Ahora la ecuación está demostrada.
Vemos que el resultado es equivalente al LHS de la ecuación. Por tanto, la identidad
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\z].
se demuestra como LHS \(\equiv\) RHS.
Como con cualquier identidad, intentamos demostrar que ambos lados de la identidad son equivalentes. Seguimos pasos similares a los anteriores.
A veces es difícil decidir por qué lado de una identidad empezar. Como guía, el lado más complicado es un buen comienzo. Esto significa que debería haber más pasos posibles para reducirla al lado más sencillo, en lugar de añadir términos al lado más complejo.
Si estás atascado, a menudo un buen principio es convertir cada función trigonométrica en una combinación de funciones seno y coseno. Profundizaremos en este tema en las identidades trigonométricas, pero de momento, veamos un ejemplo para hacernos una idea del método.
\[ \sec^2x - \csc^2x \equiv \tan^2x - cot^2x \]
dado que
|sin^2x + \cos^2x = 1\].
para todos los valores de \(x\).
Empecemos manipulando el lado derecho. Por definición
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \mbox { y } \cot x = \frac{1}{\tan x}, \].
por lo que
\tan^2x - cot^2x \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.\frac].
Entonces, simplificando en una fracción, obtenemos
\frac{{sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \equiv \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x}. \]
Por diferencia de dos cuadrados, obtenemos
\frac{{sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} .\}
Ahora podemos utilizar nuestra identidad dada, para obtener
\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} .\\]
Ahora podemos dividir la fracción para obtener
\frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } .\]
Ahora podemos utilizar la definición de secante y cosecante para obtener
\[\frac{1}{\cos^2 x } - x]. \Tan^2x - cot^2x = \text{ LHS}.\}]
Así queda demostrada la identidad.
Una identidad es una ecuación formada por variables que siempre es cierta para todos los valores de la variable.
Para demostrar la identidad, tienes que demostrar que ambos lados (lado izquierdo y lado derecho) son iguales simplificando las expresiones. Tienes que seguir los pasos lógicos para demostrar que un lado de la ecuación puede convertirse en el otro lado de la ecuación.
Para demostrar identidades, empieza siempre por el lado complejo de la ecuación, ya que es más fácil eliminar o descomponer términos de una función compleja para hacerla simple que encontrar términos para hacer compleja una función simple.
El signo \(\equiv\) significa equivalente y se muestra en las identidades en lugar del signo igual.
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
