Diagrama de Argand

Números complejos en un diagrama de Argand

Empecemos por mencionar qué son los números complejos.

Los números complejos pueden representarse en un plano. Este plano se llama diagrama de Argand, plano de Argand o plano complejo.

El diagrama de Argand es similar al plano cartesiano, salvo que el eje \(x\)-es ahora el eje real, mientras que el eje \(y\)-es el eje imaginario.

Para representar un número complejo en el diagrama de Argand, primero debes situar el número real en el eje horizontal y, a continuación, el número imaginario en el eje vertical. Así, el número \(z=3+2i\), corresponde al punto \((3,2)\) en el plano de Argand.

Figura 1. Diagrama de Argand con el número complejo \(3+2i\)

Cuadrantes en un diagrama de Argand

Al igual que el plano cartesiano, el diagrama de Argand también se divide en cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

Dependiendo de la parte real e imaginaria de un número complejo, estará en su cuadrante respectivo.

• En el primer cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) > 0\) y \(\text{Im}(z) > 0\).

• En el segundo cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) < 0\) y \(\text{Im}(z) > 0\).

• En el tercer cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) < 0\) y \(\text{Im}(z) < 0\).

• En el cuarto cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z ) > 0\) y \(\text{Im}(z) < 0\).

Figura 2. Diagrama de Argand dividido en cuadrantes

Fórmulas en un diagrama de Argand

Como ya se ha dicho, el número complejo \(z=a+bi\) corresponde al punto \((a,b)\) en el plano complejo. Pero también es posible localizarlo utilizando coordenadas polares.

Observa que si trazas una recta desde el origen hasta el punto \((a,b)\), entonces la localización del punto viene determinada por la longitud de esa recta junto con el ángulo que forma con el eje real.

Figura 3. Coordenadas polares

Utilizando esta idea, un número complejo \(z=a+bi\) también puede escribirse como

\[z=re^{i\theta},\]

donde \(r\) es la longitud de la recta que une el número complejo con el origen (o \(r=|z|\)), dada por la fórmula

\[r=\sqrt{a^2+b^2}.\]

El valor de \(\theta\) depende de la ubicación del número complejo.

Tabla 1. Valor de \(\theta\).

Círculos en un diagrama de Argand

Una circunferencia está formada por un conjunto de puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro.

Como ya se ha dicho, la cantidad \(|z|\) mide la distancia de \(z\) al origen. Así, el conjunto \(|z|=k\) con \(k\geq 0\), está formado por todos los números complejos \(z\) tales que su distancia al origen es \(k\), que es un círculo con centro en el origen y radio \(k\). Se denota por

\[|z|=k.\]

En general, un círculo de radio \(k\) con centro en un número complejo \(z_0) se denota por

\[|z-z_0|=k.\]

Loci en un diagrama de Argand

Ahora que ya sabes graficar círculos, veamos qué otros conjuntos puedes visualizar en el plano complejo.

Lugar geométrico de Re(z)=k

Para un número real \(k\), el lugar geométrico de \(texto{Re}(z)=k\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) tales que su parte real es igual al valor \(k\).

Por tanto, el lugar geométrico de \(\text{Re}(z)=k\) es una recta paralela al eje imaginario, que pasa por el valor \(k\) en el eje real.

Lugar de \text(\text{Im}(z)=k\)

Para un número real \(k\), el lugar geométrico de \(\text{Im}(z)=k\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) cuya parte imaginaria es igual al valor \(k\).

Por tanto, el lugar geométrico de \text{Im}(z)=k\) es una recta paralela al eje real, que pasa por el valor \(k\) en el eje imaginario.

Lugar geométrico de (z-a|=z-b||)

Dados \(a\\) y \(b\), dos números complejos, el lugar geométrico de \(|z-a|=|z-b|\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) tales que su distancia a \(a\) es igual a su distancia a \(b\).

Por tanto, el lugar geométrico de (z-a|=z-b||) es la mediatriz del segmento de recta que une los dos números complejos (a) y (b).

Ejemplo de diagrama de Argand

Veamos un ejemplo para aplicar lo que has visto hasta ahora.

Veamos otro ejemplo.