Estos números se han hecho tan populares que incluso tienen su propio plano, llamado plano complejo (aunque no tiene nada de complejo), también conocido como diagrama de Argand.
En este artículo aprenderás a situar los números complejos en su plano no tan complejo.
Números complejos en un diagrama de Argand
Empecemos por mencionar qué son los números complejos.
Un número complejo \(z\) es un número de la forma \(z=a+bi\). donde \(i\) se llama unidad imaginaria y satisface \(i^2=-1\), y \(a,b\) son números reales.
El número \(a\) suele denominarse la parte real de \(z\), o \(\text{Re} (z)\), y \(b\) la parte imaginaria de \(z\), o \(\text{Im} (z)\).
También puedes ver la parte real escrita como \(\Re(z)\) y la parte imaginaria como \(\Im(z)\).
Los números complejos pueden representarse en un plano. Este plano se llama diagrama de Argand, plano de Argand o plano complejo.
El diagrama de Argand es similar al plano cartesiano, salvo que el eje \(x\)-es ahora el eje real, mientras que el eje \(y\)-es el eje imaginario.
Para representar un número complejo en el diagrama de Argand, primero debes situar el número real en el eje horizontal y, a continuación, el número imaginario en el eje vertical. Así, el número \(z=3+2i\), corresponde al punto \((3,2)\) en el plano de Argand.
Figura 1. Diagrama de Argand con el número complejo \(3+2i\)
Cuadrantes en un diagrama de Argand
Al igual que el plano cartesiano, el diagrama de Argand también se divide en cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
Dependiendo de la parte real e imaginaria de un número complejo, estará en su cuadrante respectivo.
En el primer cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) > 0\) y \(\text{Im}(z) > 0\).
En el segundo cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) < 0\) y \(\text{Im}(z) > 0\).
En el tercer cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z) < 0\) y \(\text{Im}(z) < 0\).
En el cuarto cuadrante están los números complejos \(z\) tales que \(\text{Re}(z ) > 0\) y \(\text{Im}(z) < 0\).
Figura 2. Diagrama de Argand dividido en cuadrantes
Fórmulas en un diagrama de Argand
Como ya se ha dicho, el número complejo \(z=a+bi\) corresponde al punto \((a,b)\) en el plano complejo. Pero también es posible localizarlo utilizando coordenadas polares.
Observa que si trazas una recta desde el origen hasta el punto \((a,b)\), entonces la localización del punto viene determinada por la longitud de esa recta junto con el ángulo que forma con el eje real.
Figura 3. Coordenadas polares
Utilizando esta idea, un número complejo \(z=a+bi\) también puede escribirse como
\[z=re^{i\theta},\]
donde \(r\) es la longitud de la recta que une el número complejo con el origen (o \(r=|z|\)), dada por la fórmula
\[r=\sqrt{a^2+b^2}.\]
El valor de \(\theta\) depende de la ubicación del número complejo.
Tabla 1. Valor de \(\theta\).
Localización de \(z\) | Valor de \(zeta) |
\(\text{Im}(z)=0\) y \(\text{Re}(z)>0\) | \(0\) |
Primer cuadrante | \(arctan izquierda (drac {b} {a} derecha)) |
\(\text{Im}(z)>0) y (\text{Re}(z)=0) | \(drac {pi} {2}) |
Segundo cuadrante | \(\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)+\pi\) |
\(\text{Im}(z)=0) y (\text{Re}(z)<0) | \(\pi\) |
Tercer cuadrante | \(\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)-\pi\) |
\(\text{Im}(z)<0) y (\text{Re}(z)=0) | \(\dfrac{3\pi}{2}) |
Cuarto cuadrante | \(\arctan \izquierda(\dfrac{b}{a}derecha)\) |
Para saber más sobre esta notación, visita el artículo El módulo y el argumento de un número complejo.
Círculos en un diagrama de Argand
Una circunferencia está formada por un conjunto de puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro.
Como ya se ha dicho, la cantidad \(|z|\) mide la distancia de \(z\) al origen. Así, el conjunto \(|z|=k\) con \(k\geq 0\), está formado por todos los números complejos \(z\) tales que su distancia al origen es \(k\), que es un círculo con centro en el origen y radio \(k\). Se denota por
\[|z|=k.\]
En general, un círculo de radio \(k\) con centro en un número complejo \(z_0) se denota por
\[|z-z_0|=k.\]
Grafica todos los números complejos tales que \(|z-3+5i|=4\).
Solución:
En primer lugar, observa que
\[|z-3+5i|=|z-(3-5i)|.\]
Por tanto, considerando la fórmula del círculo, este conjunto es un círculo con centro en \(3-5i\) y radio \(4\).
Figura 4. El gráfico de \(|z-3+5i|=4\)
Loci en un diagrama de Argand
Ahora que ya sabes graficar círculos, veamos qué otros conjuntos puedes visualizar en el plano complejo.
Lugar geométrico de Re(z)=k
Para un número real \(k\), el lugar geométrico de \(texto{Re}(z)=k\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) tales que su parte real es igual al valor \(k\).
Por tanto, el lugar geométrico de \(\text{Re}(z)=k\) es una recta paralela al eje imaginario, que pasa por el valor \(k\) en el eje real.
Halla el lugar geométrico de \text{Re}(z)=-5\).
Solución:
El lugar geométrico de \(\text{Re}(z)=-5\) es una recta paralela al eje imaginario y pasa por \(-5\) en el eje real.
Figura 5. Lugar geométrico de \(\text{Re}(z)=-5\)
Lugar de \text(\text{Im}(z)=k\)
Para un número real \(k\), el lugar geométrico de \(\text{Im}(z)=k\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) cuya parte imaginaria es igual al valor \(k\).
Por tanto, el lugar geométrico de \text{Im}(z)=k\) es una recta paralela al eje real, que pasa por el valor \(k\) en el eje imaginario.
Halla el lugar geométrico de \(\text{Im}(z)=3\).
Solución
El lugar geométrico de \(\text{Im}(z)=3\) es una recta paralela al eje real y pasa por \(3\) en el eje imaginario.
Figura 6. Lugar geométrico de \(|text{Im}(z)=3\)
Lugar geométrico de (z-a|=z-b||)
Dados \(a\\) y \(b\), dos números complejos, el lugar geométrico de \(|z-a|=|z-b|\) se refiere al conjunto de todos los números complejos \(z\) tales que su distancia a \(a\) es igual a su distancia a \(b\).
Por tanto, el lugar geométrico de (z-a|=z-b||) es la mediatriz del segmento de recta que une los dos números complejos (a) y (b).
Halla el lugar geométrico de |z-1-i|=|z+1+i||.
Solución:
Observa que
\[|z-1-i|=|z-(1+i)|\]
y \[|z+1+i|=|z-(-1-i)|.|].
Por tanto, el lugar geométrico de |z-1-i|=|z+1+i|| es la mediatriz de la recta que une \(1+i) y \(-1-i).
Figura 7. Lugar geométrico de |z-1-i|=|z+1+i||)
Ejemplo de diagrama de Argand
Veamos un ejemplo para aplicar lo que has visto hasta ahora.
Localiza los números complejos \(4+3i\) y \(-3-4i\) y halla su expresión en coordenadas polares.
Solución:
Los números complejos se representan a continuación.
Figura 8. Los números complejos \(4+3i\) y \(-3-4i\) en un diagrama de Argand
Para hallar su expresión en coordenadas polares, tienes que utilizar la fórmula según el cuadrante donde se encuentre el número complejo.
Para \(4+3i\): el valor de \(r\) viene dado por
\[r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.\]
Para calcular \(\theta), observa que \(4+3i\) está en el primer cuadrante, por lo que
\[\theta=\arctan \izquierda(\frac{3}{4}\derecha)\aproximadamente 0,64.\]
Por tanto, el número complejo \(4+3i\) en coordenadas polares es \(5e^{0,64i}\).
Para \(-3-4i\): el valor de \(r\) viene dado por
\[r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5.\]
Para calcular \(\theta\), observa que \(-3-4i\) está en el tercer cuadrante, por lo que
\[\theta=\arctan \izquierda(\frac{-4}{-3}\derecha)-\pi\aproximadamente -2,21 .\]
Por tanto, el número complejo \(-3-4i\) en coordenadas polares es \(5e^{-2,21i}\).
Veamos otro ejemplo.
Encuentra el lugar geométrico \(\text{Im}(z) = -2\) y el lugar geométrico \(\text{Re}(z)= 4\). ¿Hay algún número que esté en ambos conjuntos?
Solución:
El lugar geométrico de \text{Im}(z) = -2\) es una recta horizontal que pasa por \(-2\), el lugar geométrico de \text{Re}(z)= 4\) es una recta vertical que pasa por \(4\) y el único valor en ambos conjuntos es el número complejo \(4-2i\).
Figura 9. El lugar geométrico de \(\text{Im}(z) = -2\) y \(\text{Re}(z)= 4\)
Diagrama de Argand - Puntos clave
- Un diagrama de Argand es un plano bidimensional que puedes utilizar para visualizar los números complejos.
- El diagrama de Argand también se llama plano de Argand o plano complejo.
- Un número complejo \(z=a+bi\) puede escribirse como \[z=re^{i\theta},\] donde \(r\) es la longitud de la recta que une el punto con el origen, dada por la fórmula \[r=sqrt{a^2+b^2},\] y \(\theta) es el ángulo de esta recta con el eje real.
- Una circunferencia con centro \(z_0) y radio \(k\) se escribe como \[|z-z_0|=k.\].
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