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Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es un tipo de ecuación que implica derivadas. En otras palabras, una ecuación diferencial representa una situación en la que la velocidad de cambio de una cantidad depende del estado actual de la cantidad.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican a grandes rasgos en dos tipos:
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): Implican derivadas con respecto a una sola variable. Se clasifican a su vez en función del orden (la derivada más alta de la ecuación) y del grado (la potencia de la derivada más alta de la ecuación).
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): Implican derivadas con respecto a más de una variable.
Las ecuaciones diferenciales suelen representarse simbólicamente. Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria podría escribirse como \[f'(x) = \frac{dy}{dx}\].
Esto equivale a "cambio en y dividido por cambio en x". Las variables x e y pueden sustituirse por cualquier otra letra.
En el caso de las derivadas parciales, las "d "s se representarían en su lugar con el símbolo ∂: \(f'(x) = \frac{∂y}{∂x}\).
El apóstrofo (') escrito detrás de la letra que simboliza una función denota que la ecuación que sigue no es la ecuación original, sino su derivada. Al diferenciar una función y 'respecto a x' (es decir, x es el valor de la parte inferior de la fracción) se obtiene la derivada y '. Si la función se representa como f (x), su derivada puede representarse como f'(x).
Hagamos un repaso rápido de cómo hallar el gradiente de la gráfica de una recta:
Ejemplo de gradiente de una recta,
Sin embargo, si observamos una gráfica cuadrática, no está claro cómo hallar su gradiente. Esto se debe a que cambia en distintos puntos de la gráfica a medida que la recta se curva, haciéndose más o menos empinada.
Un posible método sería trazar una tangente en un punto determinado y hallar su ecuación. Pero esto sólo nos daría el gradiente en ese punto, ¿y si quisiéramos hallar una expresión general para el gradiente de cualquier punto de la gráfica?
Utilizamos la diferenciación para hallar una función para el gradiente de una gráfica. El método es muy sencillo:
Disminuye la potencia de x en uno
Multiplica por la potencia anterior
Por tanto, como regla general, al diferenciar xn, tu resultado es \(nx^{n-1}\).
¿Cómo se diferencia un polinomio?
Supongamos que tenemos la siguiente gráfica de \(y = x^2 + x+2\) y queremos hallar el gradiente en el punto x = 1.
Para diferenciar la función, tomamos cada potencia de x y realizamos sobre ella los pasos anteriores: reducimos la potencia en 1 y multiplicamos por la potencia anterior.
\(y = x^2 + x +2\)
\(x^2 Flecha derecha 2x^{2-1} = 2x)
\(x Flecha derecha x^{1-1} = x^0 = 1)
2 no es una potencia de x, por lo que no podemos aplicar aquí nuestro método habitual.
Para entender cómo diferenciarlo, tenemos que fijarnos en la representación de la diferenciación \(\frac{dy}{dx}\). Como recordatorio, esto significa "el cambio en y dividido por el cambio en x".
Como 2 es una constante, los cambios en x e y no afectan a su valor, y viceversa. Esto significa efectivamente que para el gradiente no importa cuál sea el valor, sólo es importante en el contexto de la función original. Por esta razón, la derivada de una constante se define como 0.
Ahora que hemos hallado la derivada de cada uno de los términos de nuestra función, podemos crear una función para el gradiente en cualquier punto dado:
\(y = x^2 + x+2)
\(\frac{dy}{dx} = 2x +1\)
Por tanto, para hallar el gradiente en el punto en que x = 1, sustituye este valor en nuestra nueva ecuación:
\(m = 2(1) + 1 = 3\)
¿Qué es la diferenciación por los primeros principios?
La diferenciación por los primeros principios nos habla del concepto de diferenciación.
Consideremos esta curva que forma parte de una gráfica que queremos diferenciar. Hemos elegido dos puntos a lo largo de ella, (x, f (x)) y (x + h, f (x + h)), y nos gustaría encontrar la pendiente en el punto (x, f (x)):
Sabemos que para hallar el gradiente entre estos puntos, hallamos el cambio en y dividido por el cambio en x:
\(m = \frac{f(x+h) - f(x)}{x+h-x} = \frac{(x+h)-f(x)}{h})Cuanto más acerquemos esos dos puntos, mejor será nuestra estimación del gradiente en (x, f (x)). A medida que h se acerque más y más a 0, la estimación será cada vez mejor. Podemos escribir esto como la fórmula
\(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h})
Sabemos que la derivada de x2 es 2x, pero podemos demostrarlo sustituyéndolo en la fórmula
\(f(x) x^2)
\(f'(x) = \frac {(x+h)^2-x^2}{h} = \frac {x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \frac {h \rightarrow 0}{h(2x+h)}{h} = \frac {h \rightarrow 0}{h(2x+h)}{h} = \frac {h \rightarrow 0} 2x + h)
\
Por último, tenemos que considerar lo que ocurre en el límite a medida que h se acerca a 0: h desaparece, y sólo nos queda nuestra respuesta 2x.
¿Qué puede decirnos la diferenciación sobre las gráficas?
La diferenciación puede decirnos mucho sobre la naturaleza de las gráficas y sus puntos de inflexión. También se conocen como puntos críticos, ya que son puntos en los que la pendiente es igual a cero. Existen tres posibilidades cuando éste es el caso:
Cuando la gráfica es cuadrática, es obvio si el punto crítico es un máximo o un mínimo, ya que sólo hay uno, y basta con considerar la forma de la gráfica (utilizando el coeficiente del término x2 ). Sin embargo, cuando hay varios puntos críticos, no está tan claro.
Para determinar la naturaleza de un punto crítico en gráficas cúbicas, tienes que comprobar los gradientes a ambos lados del mismo.
Consideremos un máximo local:
Podemos ver que la primera parte de la gráfica es creciente según la dirección de la gráfica, luego, después del punto crítico, empieza a decrecer.
Si halláramos el gradiente de la parte creciente de la gráfica, sería positivo, y el de la parte decreciente sería negativo. En resumen:
\[\frac{dy}{dx} > 0 \quad \text{increciente}\]
\[\frac{dy}{dx} = 0 \quad \text{punto crítico}]
\[frac {dy} {dx} < 0 cuadrado texto {disminución}]
Veamos cómo determinar la naturaleza de un punto crítico.
\(y = x^2 + 4x +2\)
Ya sabemos que el punto crítico de esta gráfica va a ser un mínimo, porque x2 tiene coeficiente positivo. Sin embargo, lo demostraremos utilizando la diferenciación.
Primero, tenemos que diferenciar la función;
\(y' = 2x + 4\)
Ahora tenemos que hallar las coordenadas del punto crítico, el valor de x en el que la derivada de la función es cero. Podemos hacerlo resolviendo la ecuación \(2x + 4 = 0\), ya que sabemos que el gradiente es cero en ese punto.
\(2x + 4 = 0 \rightarrow 2x = -4 \rightarrow x = -2\)
Ahora podemos crear una tabla sencilla y subintroducir los valores de x a cada lado:
| x = -3 | x = -2 | x = -1 |
| x' = 2(-3) + 4 = -2 | x' = 0 | x' = 2(-1) + 4 = 2 |
| Negativo por tanto decreciente | Punto de inflexión | Positivo por tanto creciente |
Como el gradiente de la izquierda es decreciente y el de la derecha creciente, hemos demostrado que el punto de inflexión es un mínimo.
Si el gradiente de la izquierda fuera creciente y el de la derecha decreciente, el punto de inflexión sería un máximo.
Por último, si ambos son crecientes o ambos decrecientes, debe tratarse de un punto estacionario.
¿Qué nos puede decir la segunda derivada sobre las gráficas?
Otra posibilidad para determinar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto estacionario es utilizar la segunda derivada, ya que la segunda derivada de una gráfica te indica su curvatura.
Una curvaturapositiva significa que el gráfico se curva hacia la izquierda si se considera a lo largo del eje x (mínimo).
Unacurvatura negativa significaque la gráfica se curva hacia la derecha (máximo ).
Si la segunda derivada de una función es cero en un punto determinado, la curvatura es cero, y la gráfica es recta en ese punto (punto estacionario).
En nuestro ejemplo
\(y = x^2 + 4x+2\)
\(y' = 2x +4 \)
\(y'' = 2\)
Esto significa que la curvatura es positiva en cualquier punto de la gráfica y que el punto crítico es un máximo.
Reglas de diferenciación
Algunas reglas de diferenciación que te ayudan a hallar las derivadas de funciones más complejas son:La regla del producto
La regla del cociente
La regla de la cadena
La regla del producto
La regla del producto se puede utilizar para hallar la derivada de dos funciones multiplicadas entre sí. La fórmula es
Si y = uv, entonces \(y' = uv' + vu'\)
Donde u es la función f(x) y v es la función g(x), y f'(x), g'(x) son sus derivadas u' y v'.
Diferencia la función \(y = (x^2 + 1)(x^2+x)\)
Podríamos expandir los paréntesis en este ejemplo y hallar la derivada de la forma habitual, sin embargo, a menudo utilizar la regla del producto es más rápido y menos propenso a errores.
Para utilizar la regla del producto en esta función, tenemos que dejar que \(u = x^2 + 1\) y \(v = x^2 + x\)x.
A continuación, tenemos que diferenciarlas individualmente:
\(u' = 2x\)
\(v' = 2x+1\)
Por último, sustituimos estos valores en la fórmula del producto:
\(y' = (x^2 + 1)(2x+1) + 2x(x^2+x) = 2x^3 + x^2 + 2x + 1 + 2x^3 + 2x^2 = 4x^3 + 3x^2 + 2x +1\)La regla del cociente
La regla del cociente se puede utilizar para hallar la derivada de dos funciones divididas entre sí. La fórmula es \(y = \frac{u}{v}\)\(y' = \frac{vu' -uv'}{v^2}\)
Donde u es la función f (x) y v es la función g (x), y f '(x), g' (x) son sus derivadas u' y v'.
Diferencia la función \(y = \frac{x}{x+2}\)
Dejamos que u sea el numerador y v el denominador, es decir, u = x y v = x + 2, y luego los diferenciamos individualmente como antes para obtener u' = 1 e y' = 1.
Por último, tenemos que sustituir estos valores en la fórmula:
\(y' = \frac{(x+2)(1) - (x)(1)}{(x+2)^2}\)
\(y' = \frac{2}{(x+2)^2}\)
La regla de la cadena
La regla de la cadena puede utilizarse para hallar la derivada de una función de una función. La fórmula es
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)Diferencia la función \(y = (x+2)^3\)
Dejamos que \(u = x+2\), y luego la sustituimos en la ecuación principal de forma que \(y = u^3\). Luego diferenciamos ambas individualmente, hallando así \(\frac{dy}{du}\) y \(\frac{du}{dx}\);
\(\frac{du}{dx} = u'(x) = 1\)
\(\frac{dy}{du} = y'(u) = 3u^2\)
Por último, los multiplicamos para obtener \(\frac{dy}{du} = 3u^2\) , y volvemos a sustituir u para obtener \(y' = 3(x+2)^2\).
Diferenciación paramétrica
A veces queremos diferenciar funciones en las que x e y están en términos de una tercera variable. En estas situaciones, necesitamos utilizar la diferenciación paramétrica.
\(y = 3t^2 + 2t -3\)
\(x = 4t + 5\)
Podemos utilizar la regla de la cadena para diferenciar en términos de x e y:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
Podríamos reordenar la ecuación en la que interviene x para que sea en términos de t. La ecuación anterior también podría escribirse como la siguiente, lo que facilitaría su diferenciación:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}\)
Probemos primero a reordenar y multiplicar nuestros resultados: \(x = 4t + 5 \Flecha derecha t = \frac{1}{4} (x-5) \flechaderecha t' = \frac{1}{4}\)
\(y = 3t^2 + 2t - 3 \flechaderecha y' = 6t + 2\)
\(\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{4} (6t +2) = \frac{3t +1}{2})
Ahora probemos el segundo método para asegurarnos de que obtenemos la misma respuesta. Todo lo que tenemos que hacer es diferenciar cada ecuación individualmente con respecto a t, y luego dividir \(\frac{dx}{dt}\) entre \(\frac{dy}{dt}\):
\(y = 3t^2 + 2t - 3 \rightarrow y' = 6t + 2\)
\(x = 4t + 5)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{6t+2}{4} = \frac{3t+1}{2})
Diferenciación implícita
Al diferenciar, normalmente nos enfrentamos a funciones explícitas, es decir, funciones que generalmente tienen el aspecto de \(y = x^2 + 3x +...\) . Sin embargo, ¿qué pasaría si quisiéramos diferenciar la ecuación \(x^2 + y^2 = 25\)?Para resolverla tenemos que utilizar una técnica llamada diferenciación implícita. Podemos abordar cada parte de la ecuación por separado y escribir:
\(\frac{d}{dx}x^2 + \frac{d}{dx}y^2 = \frac{d}{dx} 25\)
Sabemos diferenciar dos de las partes. La primera etapa para diferenciar la parte y es diferenciarla como normal, pero dejando \(\frac{dy}{dx}\);
\(2x + \frac{dy}{dx} 2y = 0\)
Ahora tenemos que reordenar la ecuación en términos de \(\frac{dy}{dx}\):
\(\frac{dy}{dx}2y = -2x\)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\)
Diferenciación - puntos clave
La diferenciación es un método para hallar tasas de cambio, es decir, gradientes de funciones.
El resultado de un cálculo de diferenciación se denomina derivada de una función.
El proceso de diferenciación se representa por \(\frac{dy}{dx}\).
- Para diferenciar un polinomio
Disminuye la potencia de x en uno
Multiplicar por la potencia anterior
- La derivada de una constante se define como 0.
- La diferenciación a partir de los primeros principios utiliza la fórmula, \(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
- \(frac{dy}{dx} > 0) creciente
- \(\frac{dy}{dx} = 0\)punto crítico
Cuando la derivada es igual a cero, existen tres posibilidades:
\(\frac{dy}{dx} < 0\) decreciente
La regla del producto es \(y'= uv'+vu'\)
La regla del cociente es \(y' = \frac{vu'-uv'}{v^2}\)
La regla de la cadena es \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx})
La diferenciación paramétrica utiliza la fórmula \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt})
La diferenciación implícita implica diferenciar cada parte de la ecuación por separado y reordenar para obtener \(\frac{dy}{dx}\)
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