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\Imagina que vas en un monopatín y patinas a lo largo de un puente colgante como el de la foto de abajo. En cualquier punto, ¿cuál es la pendiente de la recta que apunta en la misma dirección que tu monopatín? Si conocieras la forma de la línea que traza el puente, esto sería una tarea sencilla; sólo tienes que diferenciar esta línea e introducir el punto en el que se encuentra tu monopatín en ese momento. Pero, ¿qué forma tiene el puente? Resulta que las funciones hiperbólicas tienen la respuesta: un puente colgante es una curva catenaria, nombre de la curva creada por la función coseno hiperbólica. Así pues, para averiguar la dirección de tu monopatín, necesitas saber diferenciar la función coseno hiperbólico.
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Un puente colgante, como cualquier otra curva creada dejando que algo cuelgue entre dos puntos de forma natural por gravedad, es una curva catenaria. Este es el nombre de la curva trazada por la función coseno hiperbólica. Hans Braxmeier, Pixabay.
Las funciones trigonométricas hiper bólicas son similares a las funciones trigonométricas normales, pero en lugar de trazar el círculo unitario, trazan la hipérbola unitaria.
Fig. 1. El seno y el coseno hiperbólicos pueden derivarse de la hipérbola unitaria (\(x^2 - y^2 = 1 \)) de un modo muy similar a como las funciones seno y coseno estándar pueden derivarse del círculo unitario.
Las funciones hiperbólicas estándar son:
Análogamente, las funciones hiperbólicas recíprocas son:
Para más información sobre las funciones hiperbólicas, incluidas sus formas exponenciales, consulta Funciones hiperbólicas.
Las derivadas de lasfunciones hiperbólicas estándar son:
\[\begin{align} \frac{d}{dx} \& = \cosh{x}, \frac{d}{dx} \& = sinh{x}, \frac{d}{dx} \& = \sech^{2}{x}. \fin \]
Las derivadas de las funciones hiperbólicas recíprocas son:
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \sech{x}, & = - \sech{x} \tanh{x}, \frac{d}{dx} \csch{x}, & = - \csch{x} x, & = - \csch{x}, & = - \csch{x}, & = - \coth{x}, \frac{d}{dx} \& = - \csch^2{x}. \end{align}\}]
Fíjate en lo mucho que se parecen a las derivadas de las funciones trigonométricas; la diferencia clave es si el resultado es positivo o negativo cuando se trata de un seno hiperbólico.
Para demostrar estas derivadas, suele ser útil tener las funciones hiperbólicas en forma exponencial.
Demuestra que la derivada de \( \cosh(x) \) es \( \sinh(x) \).
Contesta:
En primer lugar, escribe \( \cosh(x) \) en forma exponencial .
\[ \cosh{x} = \frac{e^{x}} + e^{-x}}{2} = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{-x}}{2}.\]
Ahora, al tomar la derivada, puedes utilizar la regla de la cadena y el hecho de que \( \frac{d}{dx} e^x = e^x\):
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \cosh{x} & = \frac{e^{x}}{2} - \frac {e^-x}{2} \\ & = \frac {e^{x}} - e^{-x}} {2} \\ y = sinh{x}. \fin \]
Puedes utilizar el mismo método para demostrar que la derivada de \( \sinh{x} \) es \( \cosh{x} \). Para demostrar las derivadas de las funciones hiperbólicas recíprocas, puedes utilizar la regla del cociente.
Demuestra que \(\frac{d}{dx} \sech{x} = - \sech{x} \tanh{x} \).
Responde:
Escribe \( \sech{x} \) en términos de \( \cosh{x} \).
\[ \frac{d}{dx} \sech{x} = \frac{d}{dx} \frac{1}{cosh{x}}.\]
A partir de aquí, puedes utilizar la regla del cociente para obtener
\[ \begin{align} \dx]. \sech{x} & = \frac{\cosh{x} \frac{d}{dx} (1) - 1 \cdot \frac{d}{dx} (\cosh{x}) }{cosh^2{x}} \\ & = \frac{0- \sinh{x} 2{x}} {\cosh^2{x}} \\ y = -frac {sinh{x}}{cosh^2{x}}. \fin \]
Ahora, separa la fracción en las dos partes, \( \sech{x} \) y \( \tanh{x} \):
\[\frac{d}] \dx} \& = - frac {sinh{x}} {cosh^2{x}} \\ & = - \ izquierda(\frac{1}{cosh{x}}\ derecha) \ izquierda(\frac{\sinh{x}}{cosh{x}}\ derecha) \ izquierda(\frac{\sinh{x}}{cosh{x}}\ derecha) & = - \sec{x} \tanh{x}, \end{align} \]
según corresponda.
El método para demostrar las derivadas de \( \coth{x} \) y \( \csch{x} \) es el mismo.
Ahora que ya sabes diferenciar funciones hiperbólicas, puedes considerar otra forma de definir las funciones hiperbólicas. Las funciones trigonométricas seno y coseno son la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
con las condiciones iniciales \( c(0) = 1 \), \( s(0) = 0 \).
Pero ahora, considera el mismo sistema de ecuaciones diferenciales sin el signo menos. Aquí es donde entran en juego las funciones trigonométricas hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas son la solución del sistema de ecuaciones diferenciales:
con las mismas condiciones iniciales que antes.
Además, una solución de la ecuación diferencial de primer orden \( y' = y \) con condición inicial \( y(0) = 1 \) es \( e^x \). Pero, ¿qué pasa con la ecuación diferencial de segundo orden similar \( y'' = y \), con condiciones iniciales \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 0 \)?
Demuestra que \(\cosh{x}\) es una solución de la ecuación diferencial \( y'' = y \), con condiciones iniciales \( y(0) = 0 \), \( y'(0) = 0 \).
Contesta:
Establece \( y = \cosh{x} \). Puedes diferenciarlo utilizando las fórmulas que has visto antes, para obtener \( y' = \sinh{x} \). Si vuelves a diferenciarlo, obtendrás \( y'' = \cosh{x} = y \), por lo que satisface la ecuación diferencial de segundo orden.
Sólo te queda demostrar que las condiciones iniciales también se cumplen. Puesto que
\[ y(x) = \cosh{x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \] podemos sustituir \( x = 0 \) en esto para obtener:
\[ y(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1.\]
Por último, podemos escribir la diferencial de \( y\) en forma exponencial: \[y'(x) = \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \] y de nuevo podemos sustituir \( x = 0 \) en esto para obtener
\[ y'(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0,\]
Como es debido. Con esto concluye la demostración.
Observa que el seno hiperbólico también es una solución de la misma ecuación diferencial, pero con las condiciones iniciales \( y(0) = 0\), \( y'(0) = 0 \).
¿Qué otra cosa se puede hacer a un número, de modo que cuando se haga dos veces, el número quede igual pero con el signo contrario? Sería multiplicar el número por la unidad imaginaria \( i \). Para una recapitulación sobre los números imaginarios, consulta Núcleo Números complejos. Sustituyendo \(x\) por \(ix\) en las ecuaciones, obtienes los siguientes resultados:
A partir de aquí, puedes deducir una forma exponencial para las funciones trigonométricas, igual que la forma exponencial para las funciones hiperbólicas. Éstas son:
\[ \begin{align} \cos{x} & = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \ {sin{x} & = \frac{e^{ix}}{2} - e^{-ix}}{2i}. \end{align}\]
Estas fórmulas también se pueden encontrar utilizando las expansiones de la serie de Maclaurin. Ver Series de Maclaurin.
Ahora, si multiplicas la segunda ecuación, \(\sin{x}\), por la unidad imaginaria \(i \), obtendrás
\[ i \sin{x} = \frac{e^{ix}} - e^{-ix}}{2}. \]
Por último, puedes añadir la fórmula exponencial para \( \cos{x}\) a la fórmula anterior para \(i \sin{x}\), para obtener:
\[ \in{align} \x + i \sin{x} & = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} |implica e^{ix} & = \cos{x} + i \sin{x}. \end{align}\}]
Esta ecuación se conoce como Fórmula de Euler. Es un resultado increíblemente famoso en matemáticas. Sustituyendo \(x = \pi \) en esta fórmula se obtiene el resultado conocido como Identidad de Euler:
\[ e^{i \pi} = -1. \]
Veamos una pregunta en la que debes hallar la diferencial de una función hiperbólica utilizando el producto y la regla de la cadena.
Halla \( \frac{dy}{dx} \), donde \( y = x^2 \sinh{e^x} \).
Respuesta:
En primer lugar, puedes utilizar la regla del producto para obtener
\[ \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{d}{dx} (x^2) \sinh(e^x) + x^2 \frac{d}{dx} (\sinh{e^x}) \ & = 2 x \sinh(e^x) + x^2 \frac{d}{dx} (\sinh{e^x}). \fin{align} \]
Ahora sólo queda diferenciar la parte del seno hiperbólico, \( \sinh{e^x} \). Utilizando la regla de la cadena \( \frac{d}{dx} ( \sinh{e^x} ) = e^x \cosh{e^x} \). Por tanto, la respuesta final es \[ \frac{dy}{dx} = 2 x \sinh{e^x} + x^{2} e^{x} \cosh{e^x}. \]
Otra forma de abordar cuestiones con funciones hiperbólicas es convertir primero la función hiperbólica en forma exponencial. Veamos cómo utilizar la forma exponencial de una función hiperbólica para simplificar la obtención de la derivada.
Diferencia \(f(x) = e^{x} \cosh{x} \). Primero, convirtámosla en forma exponencial. \[ \begin{align} f(x) & = e^{x} \cosh{x} \\ y = e^{x} \izquierda( frac e^x + e^-x} {2} derecha) & = frac e^{2x} {2} + \frac{1}{2}. \fin{align} \] Esta función es mucho más sencilla de diferenciar. Tomando la derivada, puedes ver que \[ f'(x) = e^{2x}. \]
Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas son:
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \Sinh^{-1}{x} & = \frac{1}{sqrt{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \cosh^{-1}{x} & = \frac{1}{sqrt{x^2 - 1}}, \frac{d}{dx} \& = \frac{1}{1-x^2}. \fin].
De nuevo, notarás un parecido con las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Conocer todas las derivadas hiperbólicas y trigonométricas inversas facilitará mucho la resolución de muchas integrales complicadas. Para más detalles, consulta Funciones hiperbólicas inversas.
Las preguntas habituales sobre la diferenciación de funciones hiperbólicas inversas podrían ser similares a las preguntas sobre la diferenciación de funciones hiperbólicas estándar. Podrían incluir las reglas de la cadena, del producto o del cociente, similares a las que has visto en este artículo. Otra cosa que podrían pedirte es que demuestres fórmulas similares a las anteriores. Por ejemplo, te pueden pedir que demuestres que
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a} \tanh^{-1}{bx} \right) = \frac{b}{a(1 - (bx)^2)}. \]
Para más información sobre cómo resolver cuestiones como éstas, consulta Funciones hiperbólicas inversas.
Si se diferencian las funciones hiperbólicas recíprocas, se obtiene:\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \sech{x} & = - \sech{x} \y = -sech{x},& = -sech{x} \csch{x} &= - \csch{x} \x}, \frac{d}{dx} \& = - \csch^2{x}. \end{align}\}]
Si se diferencian las funciones hiperbólicas inversas, se obtiene
\[ \begin{align} \dx]. \Sinh^{-1}{x} & = Ecsqrt{1+x^2}}, \frac {d}{dx} \cosh^{-1}{x} & = \frac{1}{sqrt{x^2 - 1}}, \frac{d}{dx} \tanh^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \fin{align} \]
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