Existe un método tradicional para diferenciar funciones, sin embargo, nos centraremos en hallar el gradiente aún mediante diferenciación, pero a partir de los primeros principios. Esto significa utilizar los métodos estándar de las gráficas de rectas de \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) para hallar el gradiente de una función.
¿Cómo funciona la diferenciación a partir de los primeros principios?
La diferenciación por los primeros principios consiste en utilizar \frac {\frac {\Delta y} {\Delta x}) para calcular el gradiente de una función. A continuación veremos el proceso paso a paso:
PASO 1: Sea \(y = f(x)\) una función. Elige dos puntos x y \(x+h\).
Las coordenadas de x serán \((x, f(x))\) y las coordenadas de \(x+h\) serán (\(x+h, f(x + h)\)).
PASO 2: Halla \(\Delta y\) y \(\Delta x\).
\(\Delta y = f(x+h) - f(x); \Delta x = x+h-x = h\)PASO 3: Completa \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$PASO 4: Toma un límite:|[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
La fórmula de la diferenciación a partir de los primeros principios
La fórmula siguiente se encuentra a menudo en los cuadernillos de fórmulas que se dan a los alumnos para aprender la diferenciación a partir de los primeros principios:
\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].
Derivada de sen(x) utilizando los primeros principios
Para averiguar la derivada de sen(x) utilizando los primeros principios, tenemos que utilizar la fórmula de los primeros principios que vimos antes:
\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].
Aquí sustituiremos f(x) por nuestra función, sen(x):
\f'(x) = \frac{sin(x+h) - \sin (x)}{h}].
Utilizando la identidad trigonométrica, podemos llegar a la siguiente fórmula, equivalente a la anterior:
\f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}].
Ahora podemos factorizar el término \(\sin x\):
\f'(x) &= \frac {sin x(\cos h -1) + \sin h\cos x}{h}. \\ y= límite hasta 0 (fracción de la x (\cos h -1)} {h} + \frac {sin h \cos x} {h}) \\ &= lim_h \a 0} \frac {sin x (\cos h - 1)}{h} + lim_{h \a 0} {frac{sin h \cos x} {h} \\ &=(\sin x) \lim_h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + (\cos x) \lim_h \a 0} \frac {\sin h}{h} \fin \]
Aquí tenemos que utilizar algunos límites estándar: \(Lim_h hasta 0) Frac {sin h} {h} = 1), y (Lim_h hasta 0) Frac {cos h - 1} {h} = 0).
Usando éstas, llegamos a
\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].
Y así
\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]
Derivada del cos(x) utilizando los primeros principios
Para hallar la derivada de cos(x) utilizando los primeros principios, tenemos que utilizar la fórmula de los primeros principios que vimos antes:
\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].
Aquí sustituiremos f(x) por nuestra función, cos(x):
\f'(x) = \frac{cos(x+h) - \cos (x)}{h} {lim_{h}a 0}].
Para el siguiente paso, necesitamos recordar la identidad trigonométrica: \(cos(a +b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\).
Utilizando la identidad trigonométrica, podemos llegar a la siguiente fórmula, equivalente a la anterior:
\f'(x) = \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}].
Ahora podemos factorizar el término \(\cos x\):
\f'(x) = \frac {a 0} \frac {cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h} {h} = \frac {a 0} \frac {cos x(\cos h - 1)} {h} - \frac {sin x \cdot \sin h} {h}].
Ahora tenemos que cambiar los factores de la ecuación anterior para simplificar el límite más adelante. Para ello, necesitarás reconocer fórmulas que puedas resolver fácilmente.
Las ecuaciones que te serán útiles aquí son: \(\lim_{x_a 0} \frac{\sin x}{x} = 1; y \lim_{x_a 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\)
Si sustituimos las ecuaciones en la pista anterior, obtenemos
\frac {cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac {sin x \cdot \sin h}{h}. \frac {cos h -1 }{h}) - \frac {sin x (\frac {sin h}{h}) \frac {sin 0} \cos x(0) - \frac {sin x (1)\}].
Finalmente, podemos llegar a
\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\}.
Como no hay más variables h en la ecuación anterior, podemos suprimir el \(\lim_{h \to 0}\), y con ello obtenemos la ecuación final de:
\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].
Ejemplos prácticos de diferenciación a partir de los primeros principios
Veamos dos ejemplos, uno fácil y otro un poco más difícil.
Diferencia a partir de los primeros principios \(y = f(x) = x^3\).
SOLUCIÓN:
Pasos | Ejemplo resuelto |
PASO 1: Sea \(y = f(x)\) una función. Elige dos puntos x y x + h. | Las coordenadas son \((x, x^3)\) y \((x+h, (x+h)^3)\). Podemos simplificar \((x+h)^3 = x^3 + 3x^2 h+3h^2x+ h^3\) |
PASO 2: Halla \(\Delta y\) y \(\Delta x\). | \(\Delta y = (x+h)^3 - x = x^3 + 3x^2h + 3h^2x+h^3 - x^3 = 3x^2h + 3h^2x + h^3; \\Delta x = x+ h- x = h\) |
PASO 3:Completa \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3x^2h+3h^2x+h^3}{h} = 3x^2 + 3hx+h^2\) |
PASO 4: Toma un límite. | \(f'(x) = \lim_{h \a 0} 3x^2 + 3h^2x + h^2 = 3x^2\) |
RESPUESTA | \Sin embargo, toda la demostración es una diferenciación a partir de los primeros principios. |
Así que la diferenciación puede considerarse como tomar el límite de un gradiente entre dos puntos de una función. Verás que estas respuestas finales son las mismas que tomar derivadas.
Veamos otro ejemplo para intentar comprender realmente el concepto. Esta vez utilizaremos una función exponencial.
Diferencia a partir de los primeros principios \(f(x) = e^x\).
SOLUCIÓN:
| Pasos | Ejemplo resuelto |
PASO 1: Sea y = f(x) una función. Elige dos puntos x y x + h. | Las coordenadas son \((x, e^x)\) y \((x+h, e^{x+h})\). |
PASO 2: Halla \(\Delta y\) y \(\Delta x\) | \(\Delta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\)\(\Delta x = (x+h) - x= h\) |
PASO 3:Completa \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\) |
| PASO 4: Toma un límite. | |
| RESPUESTA | \(e^x\), pero, por supuesto, toda la demostración es una respuesta, ya que se trata de una diferenciación a partir de los primeros principios. |
Diferenciación desde los primeros principios - Puntos clave
- La diferenciación es el proceso de hallar el gradiente de una curva.
- El gradiente de una curva cambia en todos los puntos.
- La diferenciación puede tratarse como un límite que tiende a cero.
- La fórmula para diferenciar a partir de los primeros principios se encuentra en el cuadernillo de fórmulas y es \(f'(x) = \lim_{h \a 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
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