Diferenciación desde primeros principios

¿Cómo funciona la diferenciación a partir de los primeros principios?

La diferenciación por los primeros principios consiste en utilizar \frac {\frac {\Delta y} {\Delta x}) para calcular el gradiente de una función. A continuación veremos el proceso paso a paso:

La fórmula de la diferenciación a partir de los primeros principios

La fórmula siguiente se encuentra a menudo en los cuadernillos de fórmulas que se dan a los alumnos para aprender la diferenciación a partir de los primeros principios:

\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].

Derivada de sen(x) utilizando los primeros principios

Para averiguar la derivada de sen(x) utilizando los primeros principios, tenemos que utilizar la fórmula de los primeros principios que vimos antes:

\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].

Aquí sustituiremos f(x) por nuestra función, sen(x):

\f'(x) = \frac{sin(x+h) - \sin (x)}{h}].

Utilizando la identidad trigonométrica, podemos llegar a la siguiente fórmula, equivalente a la anterior:

\f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}].

Ahora podemos factorizar el término \(\sin x\):

\f'(x) &= \frac {sin x(\cos h -1) + \sin h\cos x}{h}. \\ y= límite hasta 0 (fracción de la x (\cos h -1)} {h} + \frac {sin h \cos x} {h}) \\ &= lim_h \a 0} \frac {sin x (\cos h - 1)}{h} + lim_{h \a 0} {frac{sin h \cos x} {h} \\ &=(\sin x) \lim_h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + (\cos x) \lim_h \a 0} \frac {\sin h}{h} \fin \]

Usando éstas, llegamos a

\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].

Y así

\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]

Derivada del cos(x) utilizando los primeros principios

Para hallar la derivada de cos(x) utilizando los primeros principios, tenemos que utilizar la fórmula de los primeros principios que vimos antes:

\[f'(x) = \lim_{h\a 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}].

Aquí sustituiremos f(x) por nuestra función, cos(x):

\f'(x) = \frac{cos(x+h) - \cos (x)}{h} {lim_{h}a 0}].

Utilizando la identidad trigonométrica, podemos llegar a la siguiente fórmula, equivalente a la anterior:

\f'(x) = \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}].

Ahora podemos factorizar el término \(\cos x\):

\f'(x) = \frac {a 0} \frac {cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h} {h} = \frac {a 0} \frac {cos x(\cos h - 1)} {h} - \frac {sin x \cdot \sin h} {h}].

Ahora tenemos que cambiar los factores de la ecuación anterior para simplificar el límite más adelante. Para ello, necesitarás reconocer fórmulas que puedas resolver fácilmente.

Si sustituimos las ecuaciones en la pista anterior, obtenemos

\frac {cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac {sin x \cdot \sin h}{h}. \frac {cos h -1 }{h}) - \frac {sin x (\frac {sin h}{h}) \frac {sin 0} \cos x(0) - \frac {sin x (1)\}].

Finalmente, podemos llegar a

\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\}.

Como no hay más variables h en la ecuación anterior, podemos suprimir el \(\lim_{h \to 0}\), y con ello obtenemos la ecuación final de:

\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].

Ejemplos prácticos de diferenciación a partir de los primeros principios

Veamos dos ejemplos, uno fácil y otro un poco más difícil.

Así que la diferenciación puede considerarse como tomar el límite de un gradiente entre dos puntos de una función. Verás que estas respuestas finales son las mismas que tomar derivadas.

Veamos otro ejemplo para intentar comprender realmente el concepto. Esta vez utilizaremos una función exponencial.

Diferencia a partir de los primeros principios \(f(x) = e^x\).

SOLUCIÓN:

Pasos	Ejemplo resuelto
PASO 1: Sea y = f(x) una función. Elige dos puntos x y x + h.	Las coordenadas son \((x, e^x)\) y \((x+h, e^{x+h})\).
PASO 2: Halla \(\Delta y\) y \(\Delta x\)	\(\Delta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\)\(\Delta x = (x+h) - x= h\)
PASO 3:Completa \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)	\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\)
PASO 4: Toma un límite.	\(f'(x) = \lim_{h \a 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} = e^x(1) = e^x\)Porque \(\lim_{h \a 0} \frac{(e^h-1)}{h} = 1\)
RESPUESTA	\(e^x\), pero, por supuesto, toda la demostración es una respuesta, ya que se trata de una diferenciación a partir de los primeros principios.