Distancia de un Punto a una Línea

Definición de distancia de un punto a una recta

Analicemos este problema mediante el siguiente diagrama.

Si se nos pidiera hallar la distancia entre el punto A y la recta l , entonces sería realmente ambiguo, ya que hay varias, de hecho infinitas, formas en que podemos conectar el punto y la recta.

Por tanto, hay que concretar sobre qué distancia se pregunta. Algunas de las distancias se muestran mediante los segmentos verdes en el diagrama anterior.

Pero la única distancia específica que se puede nombrar y se puede cuantificar es la distancia más corta entre el punto y la recta.

La distancia más corta entre la recta y el punto se muestra medianteel segmento de recta rosa en el diagrama anterior.

El segmento de recta más corto es perpendicular a la propia recta. Como cualquier otro segmento de recta formará un ángulo agudo u obtuso con la recta, la distancia más corta sólo será posible cuando sea perpendicular a la recta.

Esta distancia puede verse alternativamente como el camino más corto por el que se puede llevar el punto A a la recta l.

Pero, ¿cómo se puede determinar la distancia entre un punto y una recta utilizando la ecuación de una recta y las coordenadas del punto? Exploremos cómo podemos llegar a esa fórmula.

Fórmula de la distancia de un punto a una recta

Sea D una recta cuya ecuación viene dada por $ax+by+c=0$ donde $a,b$ no son simultáneamente 0, y un punto A $\left(x_0,y_0\right)$ fuera de la recta, es decir, que no pertenece a la recta.

El objetivo es encontrar la distancia más corta entre la recta D y el punto P. Sea Q el punto en el que el segmento de recta más corto interseca a la recta, cuyas coordenadas son $\left(x_1,y_1\right)$.

La distancia entre el punto y la recta D es la misma que la longitud del segmento de recta formado por los puntos A y Q o la distancia entre ellos. Para ello podemos utilizar la fórmula de la distancia, pero para ello necesitamos conocer las coordenadas de Q en función de $x_{0}and{y}_0$ para ello.

La distancia entre un punto y una recta, StudySmarter Originals

Recordemos que el gradiente de una recta con ecuación $ax+by+c=0$ viene dada por $m_1=-\frac{a}{b}$. Ahora el segmento de recta AQ es perpendicular a la recta, por lo que su pendiente será $m_2=\frac{b}{a}$. La razón es que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es siempre -1, es decir$m_1{m}_2=-1$.

Ahora tenemos la pendiente de la recta que une AQ y las coordenadas de un punto A de la misma. Con esta información, podemos formar la ecuación de la recta AQ,

$y-y_0=m_2\left(x-x_0\right)$

$y-y_0=\frac{b}{a}\left(x-x_0\right)$

$ay-a{y}_0=bx-b{x}_0$

Como Q se encuentra en esta recta, podemos sustituir $\left(x_1,y_1\right)$ por $\left(x,y\right)$ para hallar las incógnitas $x_{1}and{y}_1$.

$a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$

Pero Q también está sobre la recta $ax+by+c=0$$ax+by+c=0$por lo que satisfará la ecuación de la recta D, por lo que tenemos

$a{x}_1+b{y}_1+c=0$$a{x}_1+b{y}_1+c=0$

Las dos rectas anteriores se cruzan en Q y, por tanto, pueden resolverse simultáneamente para determinar las incógnitas $x_{1}and{y}_1$escribiendo la primera ecuación en términos de $x_1$,

$x_1=\frac{-c-b{y}_1}{a}$

Sustituyendo la expresión de $x_1$ en $a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$obtenemos

$a{y}_1-a{y}_0=b\left(\frac{-c-b{y}_1}{a}\right)-b{x}_0$$-bc-b^2{y}_1-a^2{y}_1+a^2{y}_0-ab{x}_0=0$

Resolviendo para$y_1$ obtenemos

$a{y}_1=a{y}_0-\frac{b}{a}\left(c+b{y}_1\right)-b{x}_0$

Expandiendo los paréntesis y reordenando los términos, obtenemos

$a{y}_1=\frac{a^2{y}_0-bc-b^2{y}_1-ab{x}_0}{a}$

Multiplicando ambos lados por $a$obtenemos

$a^2{y}_1+b^2{y}_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

$\left(a^2+b^2\right)y_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

Ahora dividiremos por $a^2+b^2$para obtener

$y_1=\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}$

Sustituyendo esto de nuevo en $x_1=\frac{-c-b{y}_1}{a}$ para determinar $x_1$obtenemos

$x_1=\frac{-c}{a}-\frac{b}{a}\left(\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\right)$

Reduciendo a un denominador común, obtenemos

$x_1=\frac{-c(a^2+b^2)-b{a}^2{y}_0+a{b}^2{x}_0+b^{2}c}{a\left(a^2+b^2\right)}$

Simplificando, tenemos

$x_1=\frac{-a^{2}c-b^{2}c-a^{2}b{y}_0+a{b}^2{x}_0+b^{2}c}{a(a^2+b^2)}$

Si simplificamos aún más eliminando los términos semejantes, obtenemos

$x_1=\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2}$

Ahora hemos obtenido las coordenadas del punto Q en función de las constantes que conocemos,

$Q\left(\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2},\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\right)$

Ahora podemos calcular la distancia entre A y Q utilizando la distancia, que no es otra cosa que la distancia del punto a la recta , como hemos comentado antes. Denotémosla por d y apliquemos la fórmula de la distancia,

$d^2={\left(x_1-x_0\right)}^2+{\left(y_1-y_0\right)}^2$

Sustituyendo $x_1,y_1$ obtenemos

$d^2=\left(\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac-a^2{x}_0-b^2{x}_0}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{a^2{y}_0-ab{y}_0-bc-a^2{y}_0-b^2{y}_0}{a^2+b^2}\right)$

Simplificando aún más, obtenemos

$d^2=\frac{a^2{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2+b^2{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{{(a^2+b^2)}^2}$

$d^2=\frac{\left(a^2+b^2\right){\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

$d^2=\frac{{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{a^2+b^2}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos

$d=\pm \frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Como d es distancia, no puede ser negativa, así que rechazamos la raíz negativa, lo que nos da,

$d=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Pero sigue existiendo la posibilidad cuando el numerador $a{x}_0+b{y}_0+c$ sea negativo. Para evitar que sea negativo, hay que tomar su módulo,

$d=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

No nos encontramos con ese problema, ya que el denominador es una suma de cuadrados de números distintos de cero, por lo que siempre será positivo.

Para escribir la misma expresión de una forma más cómoda (y fácil de recordar), definamos la ecuación de la recta como $f\left(x,y\right)=ax+by+c$ para obtener $f\left(x_0,y_0\right)=a{x}_0+b{y}_0+c$quedando

$d=\frac{\left|f\left(x_0,y_0\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Apliquemos ahora esta fórmula mediante un par de ejemplos.

Calcular la distancia de un punto a una recta

Calcular la distancia de una recta a un punto es un proceso relativamente sencillo. Se dará la ecuación de una recta y el punto hasta el que se debe calcular la distancia.

Ejemplo de distancia de un punto a una recta