Perpendiculares: líneas que se encuentran en un ángulo recto (90°)
Bisectriz: partición de una recta en dos partes iguales
Por tanto, una bisectriz perpendicular es cuando una recta es dividida en un ángulo recto por otra recta en dos partes iguales, como se ve a continuación:
Fig. 1 - Una mediatriz.
Hallar la ecuación de la mediatriz
Una mediatriz se expresa como una ecuación lineal. Para crear una ecuación para la mediatriz de una recta, primero tienes que hallar el gradiente de la pendiente de la mediatriz y luego sustituir las coordenadas conocidas en una fórmula: o bien, \(y = m \cdot x + c\) o bien, \(y - y_1 = m (x - x_1)\). Si no conoces la coordenada de la bisección, tendrás que hallar el punto medio del segmento de recta.
Halla el gradiente de la pendiente de la mediatriz
El primer paso para crear una ecuación de la mediatriz es hallar el gradiente de su pendiente. Como las pendientes de la recta original y de la bisectriz son perpendiculares, podemos utilizar el gradiente de la recta original para calcular el gradiente de la bisectriz perpendicular.
La pendiente de la mediatriz es el recíproco inverso de la pendiente de la recta original. El gradiente de la mediatriz puede expresarse como -1 / m, donde m es el gradiente de la pendiente de la recta original.
La recta a tiene la ecuación \(y = 3x + 6\), es perpendicularmente bisecada por la recta l. ¿Cuál es el gradiente de la recta a?
Identifica el gradiente original: En la ecuación y = mx + c, m es el gradiente. Por tanto, el gradiente de la recta original es 3.
Halla el gradiente de la pendiente de la mediatriz: Sustituye el gradiente original, 3, en la fórmula \(-\frac{1}{m}\) para hallar el recíproco inverso porque es perpendicular. Por tanto, el gradiente de la recta es \(-\frac{1}{3}}).
Si no te dan la ecuación original, puede que primero tengas que calcular el gradiente de la ecuación de la recta utilizando dos coordenadas. La fórmula del gradiente es \(\frac{y_2 - y_1}{{x_2 - x_1}\).
La recta 1 va de (3, 3) a (9, -21) y es perpendicularmente bisecada por la recta 2. ¿Cuál es el gradiente de la pendiente de la recta 2?
- Identifica el gradiente original: Como no tenemos la ecuación de la recta 1, tendremos que calcular el gradiente de su pendiente. Para hallar el gradiente de la recta 1, tendrás que sustituir las coordenadas en la fórmula del gradiente: \( gradiente = \frac{cambio \, en \, y}{cambio \, en \, x} \). Por tanto, \(\frac{-21 - 3}{9 - 3} = \frac{-24}{6} = -4\).
- Halla el gradiente de la mediatriz: Sustituye -4 en la fórmula \(-\frac{1}{m}), porque las rectas son perpendiculares. Por tanto, el gradiente es \(\frac{-1}{-4}\), que es igual a \(\frac{1}{4}\).
Encontrar el punto medio de un segmento de recta
El punto medio es una coordenada que indica el punto medio de un segmento de recta. Si no te dan la ecuación de la recta original, tendrás que calcular el punto medio del segmento de recta, ya que es donde la bisectriz se cruzará con la recta original.
Un segmento de recta es la parte de una recta comprendida entre dos puntos.
Puedes hallar el punto medio haciendo la media a partir de las coordenadas x e y del extremo del segmento de recta. Por ejemplo, puedes hallar el punto medio del segmento de recta con los puntos extremos (a, b) y (c, d) mediante la fórmula \(\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}\right)\).
Fig. 2 - Una mediatriz en un gráfico
Un segmento de recta tiene los puntos extremos (-1, 8) y (15, 10). Halla las coordenadas del punto medio.
- Utilizando \(\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\), sustituye los puntos extremos (-1, 8) y (15, 10) para obtener \(\left(-\frac{1+15}{2}, \frac{8+10}{2}\right)\)= (7, 9)
Puedes reordenar la fórmula para utilizar el punto medio para hallar una de las otras coordenadas.
AB es un segmento de recta cuyo punto medio es (6, 6). Encuentra B cuando A es (10, 0).
- Puedes dividir (\ izquierda(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2} {derecha)\) en partes relativas a las coordenadas x e y cuyo centro es (m, n)
- Coordenada X: \(\frac{a + c}{2})= m
- Coordenada Y: \(\frac{b+d}{2} = n\)
A continuación, puedes sustituir las coordenadas conocidas en estas nuevas Ecuaciones
Coordenadas X: \(\frac{10+c}{2} = 6\)
Y coordinates:\(\frac{0+d}{2}=6\)
Reordenando estas ecuaciones obtendrías c = 2 y d = 12. Por tanto, B = (2, 12)
Crear la ecuación de una mediatriz
Para terminar de formular la ecuación de la mediatriz, tienes que sustituir el gradiente de la pendiente y el punto de bisección (el punto medio) en una fórmula de ecuación lineal.
Estas fórmulas son
\(y = m \cdot x + c\)
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(Ax + By = C\)
Puedes sustituir directamente en las dos primeras fórmulas, mientras que la última hay que reordenarla en esa forma.
Un segmento de recta que va de (4,10) a (10, 20) es bisecado perpendicularmente por la recta 1. ¿Cuál es la ecuación de la mediatriz?
- Halla el gradiente de la pendiente de la recta original: \(\frac{20 - 10}{10 - 4} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
- Halla el gradiente de la pendiente de la recta 1: \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}\)
- Halla el punto medio del segmento de recta \(izquierda(4+10}{2}, \frac{10+20}{2}derecha) = (7, 15)\)
- Sustituye en una fórmula: \(y - 15 = -\frac{3}{5}(x - 7)\f)
Un segmento de recta que va de (-3, 7) a (6, 14) es bisecado perpendicularmente por la recta 1. ¿Cuál es la ecuación de la mediatriz?
- Halla el gradiente de la pendiente de la recta original: \(\frac{14-7}{6 - (-3)} = \frac{7}{9}\)
- Halla el gradiente de la pendiente de la recta 1: \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{7}{9}} = -\frac{9}{7})
- Halla el punto medio del segmento de recta \(\izquierda(-\frac{3}{2}+6, \frac{7}{2}+14 \derecha) = \izquierda(\frac{3}{2}, \frac{21}{2}derecha)\)
- Sustitúyelo en una fórmula: \(y - \frac{21}{2} = -\frac{9}{7}(x - \frac{21}{2})\)
Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento de recta es
\y(y - \frac{21}{2} = - \frac{9}{7}(x - \frac{21}{2})\frac{9}{7}x + \frac{189}{14}frac{9}{7}x + y = \frac{189}{14} + \frac{21}{2}\frac{9}{7}x + y = \frac{189+147}{14}\frac{9}{7}x + y = \frac{189+147}{14}\frac{9}{7}x + y = \frac{336}{14}\frac{9}{7}x + y = 24\frac{9}{7}x + y - 24 = 0\)
Ecuación de una mediatriz - Aspectos clave
Una mediatriz es una recta que parte perpendicularmente por la mitad a otra recta. La mediatriz se expresa siempre como una ecuación lineal.
Para calcular el gradiente de una recta perpendicular, se toma el recíproco negativo del gradiente de la pendiente de la recta original.
Si no te dan una ecuación para la pendiente de la recta original, tienes que encontrar el punto medio del segmento, ya que es el punto de bisección. Para calcular el punto medio, sustituye los puntos extremos de un segmento de recta en la fórmula:\(\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\)
Para crear la ecuación de la mediatriz, tienes que sustituir el punto medio y el gradiente en una fórmula de ecuación lineal.
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