Ecuación de una circunferencia con centro y radio (forma estándar)
Tomando prestada la definición de círculo, recuerda que
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo dado.
Traduciendo la definición a una ecuación, obtenemos
\[OP^2=(x-h)^2+(y-k)^2\]
donde \((x,y)\) representa todos los puntos del círculo y, por tanto, varía. es el punto fijo desde el que se mide la distancia. Las coordenadas del punto fijo antes mencionado son las del Centro del círculo desde el que se mide la distancia a todos los puntos. Las coordenadas son aquí las variables, ya que describen la posición de cada punto del círculo respecto al origen.
Fig. 1. Un círculo con radio r y centro (h, k), StudySmarter Originals
Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, podemos calcular la distancia entre y como sigue
\[OP=\sqrt{(x-h)^2+(y-h)^2}\]
Podemos introducir el término "radio" como la distancia entre \((x,y)\) y el centro del círculo y denotarlo por \(r=OP\). Ahora, con el nuevo símbolo \(r\) para el radio del círculo, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior, se elimina la raíz cuadrada:
\[r^2=(x-h)^2+(y-k)^2\]
Que no es otra que la ecuación con la que empezamos, utilizando la definición de círculo. La ecuación obtenida es la ecuación estándar de una circunferencia con centro y radio. La forma anterior es especialmente útil cuando las coordenadas del centro se dan directamente.
Da la ecuación de la circunferencia cuyo radio es \((-1, -2)\) y radio es \(5\).
Solución
Recuerda la forma general
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) es el radio. Sustituyendo \((h,k)\) por \((-1,-2)\) y \(r=5\), obtenemos
\[(x+1)^2+(y+2)^2=25\]
Por tanto, la ecuación de la circunferencia de radio \(5\) y centro \((-1, -2)\) viene dada por \((x+1)^2+(y+2)^2=25\).
Ecuación de una circunferencia en la forma general
Supongamos que nos dan una ecuación en la que todos los términos de la ecuación están expandidos y \(h\), \(k\) no se pueden deducir directamente. En ese caso, nos basamos en la ecuación obtenida de un círculo y deducimos otra forma de ella, que es más general que la anterior.
Expandiendo la ecuación anterior, se reduce a
\[x^2-2xh-h^2+y^2-2yk+k^2=r^2\]
que puede reordenarse como una cuadrática estándar con los términos al cuadrado primero, seguidos de los términos lineales y luego la constante:
\[x^2+y^2-2xh-2xk+h^2+k^2=r^2\]
Para diferenciar y evitar el conflicto de constantes entre esta ecuación y la anterior, introducimos un conjunto de nuevas constantes \(h=-a\), \(k=-b\) y \(c=h^2+k^2-r^2\) para simplificar el término constante.
Después de hacer estas sustituciones, tenemos la siguiente ecuación de una circunferencia en forma general:
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
El radio del círculo viene dado ahora por:
\[r^2=a^2+b^2-c\]
\[r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
Ten en cuenta que debe cumplirse la condición \(a^2+b^2>c\), de lo contrario el radio no será un número real positivo y el círculo no existirá.
Se pueden hacer pequeñas comprobaciones después de resolver un ejemplo, sólo para asegurarse de que la respuesta tiene sentido, como por ejemplo
El coeficiente de \(x^2\) y \(y^2\) debe ser siempre igual, si no es así, la ecuación no describe una circunferencia.
Se cumple la desigualdad \(a^2+b^2>c\) (de lo contrario, el radio es un número complejo, lo que no puede ser).
Basta con que una de las condiciones no se cumpla para que la respuesta en cuestión no represente un círculo.
También cabe preguntarse cómo se puede construir la ecuación de un círculo si nos dan dos puntos sobre él. La respuesta es que no se puede. Existe un número infinito de circunferencias que pasan por dos puntos cualesquiera. De hecho, para tener una circunferencia única, deben conocerse al menos tres puntos de la misma para poder averiguar su ecuación.
Ecuación de una circunferencia centrada en el origen
La forma más común de una circunferencia será una circunferencia centrada en el origen. En la mayoría de los casos, se da una circunferencia y podemos situar nuestro plano cartesiano alrededor de ella de forma que sea más fácil estudiar sus propiedades. Y el lugar más conveniente para situar nuestra circunferencia en un plano cartesiano es centrarla en el origen (ya que el centro es \((0,0)\) y los cálculos son mucho más sencillos).
Fig. 2.- Un círculo centrado en el origen, StudySmarter Originals
Recuerda que la forma general de un círculo viene dada por:
\[(x-h)^2+(y-h)^2=r^2\]
Donde \((h, k)\) representa el centro, que ahora puede sustituirse por \((0,0)\):
\[x^2+y^2=r^2\]
Que es la Ecuación de una Circunferencia centrada en el origen.
Ecuación de una circunferencia dados su centro y un punto de la circunferencia
Supongamos que no nos dan el radio y el centro de una circunferencia, sino que nos dan un punto de la circunferencia \((x_1,y_1)\) y el centro \((h,k)\). Pero la fórmula que tenemos para la ecuación del círculo se aplica cuando se conoce el radio, por lo que necesitamos hallar el radio a partir de los datos dados.
Volviendo a la definición de círculo, recuerda que el radio es la distancia entre el centro y cualquier punto del círculo, aquí es la distancia entre \((h,k)\) y \((x_1,y_1)\):
\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Y como conocemos la forma general como
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Podemos sustituir por
\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Dándonos
\[(x-h)^2+(y-k)^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Cuál es la ecuación de una circunferencia cuyo centro es \((h,k)\) y \((x_1,y_1)\) está sobre la circunferencia.
Ejemplos
Dado que el radio de la circunferencia \(x^2+y^2+2x+2y+k=0\) es \(5\), halla el valor de la constante real \(k\).
Solución:
Comparando la ecuación de la circunferencia con la forma general siguiente
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Podemos obtener el valor de \(a\), \(b\) y \(c\):
\[2a=2,\cuadrado 2b=2\]
\[a=1,\cuadra b=1\]
\[c=k\]
y el radio viene dado por \(r=qrt{a^2+b^2-c}\). Y sustituyendo los valores de \(a\), \(b\) y \(c\), obtenemos\[5=\sqrt{1^2+1^2-k}\]
\[k=-23\]
Por tanto, el valor de \(k\) es \(-23\).
Halla el centro y el radio de la circunferencia \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) utilizando los dos métodos: completando el cuadrado y la forma general.
Solución:
Paso 0: Comprueba si la ecuación dada es una circunferencia válida o no. Vemos que los coeficientes de los términos elevados al cuadrado son iguales, por tanto es una circunferencia.
Método 1: Utilizando el método del cuadrado completo
Reordenando los términos \(x\) juntos y los términos y juntos obtenemos
\[x^2-2x+y^2-2y-2=0\]
Completando el cuadrado para \(x\) y \(y\), sumando y restando \(1\), obtenemos
\[x^2-2x+1+y^2-2y+1-4=0\]
\[(x-1)^2+(y-1)^2=2^2\]
Comparándolo con la forma \(h\), \(k\), se observa que el centro es \((1, 1)\) y el radio es \(2\).
Método 2: Utilizando la forma general
Comparando la ecuación dada con la forma general
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Obtenemos \(a=b=-1\) y \(c=-2\) donde el centro tiene coordenadas \((-a,-b)\) que se convierte en \((1,1)\) y el radio es
\[r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
\[r=qrt{1+1+2}=2\]
Por tanto, el radio es \(2\) y el centro es \((1,1)\).
Como era de esperar, la respuesta es la misma utilizando ambos métodos.
Un punto relativo a un círculo
Supongamos que se nos dan las coordenadas de un punto cualquiera y también la ecuación de una circunferencia. Queremos determinar la posición del punto respecto a la circunferencia. Existen tres posibilidades
el punto está dentro del círculo
fuera del círculo
o sobre el círculo.
No hay ninguna otra posibilidad.
Para determinar dónde se encuentra el punto con respecto al círculo, tenemos que mirar la ecuación del círculo:
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c>0\), el punto \((x, y)\) está fuera del círculo;
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c<0\), entonces el punto \((x, y)\) está dentro del círculo;
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\), el punto \((x, y)\) está en la circunferencia (porque cumple la ecuación de la circunferencia).
Para ver por qué es así, recuerda la primera forma estándar del círculo,
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Si la distancia del punto al centro es mayor que el radio, está fuera de la circunferencia. Del mismo modo, si la distancia es menor que el radio de la circunferencia, el punto está dentro de la circunferencia.
Para la circunferencia dada por la ecuación \(x^2+y^2-4x+2y-1=0\), determina si los puntos \(A(1,0)\) y \(B(2,-1)\) están dentro, fuera o sobre la circunferencia.
Solución:
Para el punto \(A\), evaluamos la función en \((1, 0)\):
\[1+0-4+0-1=-4\]
\[-4<0\]
Por tanto, \(x^2+y^2-4x+2y-1<0\) en \(A\), lo que implica que el punto \(A\) está dentro de la circunferencia dada.
Para el punto \(B\), seguimos el mismo procedimiento:
\[2^2+(-1)^2-4(2)-2-1=-6\]
\[-6<0\]
Así pues, \(x^2+y^2-4x+2y-1<0\) para \(B\) y, por tanto, el punto \(B\) también está dentro de la circunferencia dada.
Halla la posición del punto \((1,2)\) respecto a la circunferencia \(x^2+y^2+x-y+3=0\), es decir, determina si está dentro, fuera o sobre la circunferencia.
Solución:
Queremos evaluar la función en \((1, 2)\),
\[1^2+2^2+1-2+3=7\]
\[7>0\]
Por tanto, \(x^2+y^2+x-y+3>0\) en \((1,2)\), lo que implica que el punto está fuera de la circunferencia.
Ecuación de un círculo - Puntos clave
- La ecuación de una circunferencia cuando están dados el centro \((h,k)\) y el radio \(r\) viene dada por \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
- La forma general (o la forma estándar) de un círculo viene dada por \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) donde el centro del círculo viene dado por \((-a,-b)\) y el radio viene dado por \(r=sqrt{a^2+b^2-c}\).
- Para el círculo \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\), un punto está fuera del círculo si \(x^2+y^2+2ax+2by+c>0\) en ese punto, dentro del círculo si \(x^2+y^2+2ax+2by+c<0\) y en el círculo si \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\).
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