Ecuaciones Simultáneas

Volvamos a nuestras ecuaciones originales:

$2x+y=5$

$x-y=1$

Podemos ver que si sumamos cada lado de las dos ecuaciones, podremos eliminar fácilmente y. (Puedes sumar o restar las ecuaciones según la situación.) ¡Probemos!

$2x+y+x-y=3x$

$5+1=6$

Esto nos deja con la ecuación única:

$3x=6$

$\Rightarrow x=2$

Ahora podemos sustituirla en una de las ecuaciones originales para hallar y:

$2-y=1$

$\Rightarrow y=1$

Por último, es importante que compruebes siempre tu trabajo sustituyendo estos valores en la otra ecuación. Esto es crucial para ayudarte a detectar los errores que puedas haber cometido.

$2x+y=5$

$2\left(2\right)+1=5$

Resuelve $x+4y=11$ $x-y=1$

Para empezar, puedes restar cada lado de una ecuación de la otra para eliminar la x;

$(x+4y)-(x-y)=5y$

$11-1=10$

Ahora puedes trabajar con las respuestas para formar una nueva ecuación que resuelva y;

$5y=10$

$y=2$

Ahora puedes sustituir esta respuesta en una de las ecuaciones originales para resolver la x;

$x-y=1$

$x-2=1$

$x=1+2=3$

Por último, no olvides comprobar tus respuestas sustituyéndolas en una de las ecuaciones;

$x+4y=11$

$3+4\left(2\right)=11$

Resuelve $4x+2y=44$ $7x+4y=83$

Para ello primero tienes que hacer que dos de los coeficientes sean iguales, para ello podemos multiplicar la primera ecuación por 2, lo que nos da estas ecuaciones;

$8x+4y=88$

$7x+4y=83$

Ahora puedes restar una ecuación de la otra para eliminar y y resolver para x;

$8x+4y-7x-4y=x$

$88-83=5$

$x=5$

Ahora puedes introducir la x en una de las ecuaciones para resolver la y;

$4x+2y=44$

$4\left(5\right)+2y=44$

$20+2y=44$

$y=\frac{24}{2}$

$y=12$

No olvides que es posible comprobar tus respuestas sustituyendo ambas respuestas en la ecuación y comprobando que funciona;

$4\left(5\right)+2\left(12\right)=44$

1) $5x+y=28$

2) $y=2x$

Para utilizar el método de sustitución, puedes empezar sustituyendo la ecuación 2 en la y de la ecuación 1 para ayudarte a encontrar x;

$5x+y=28$

$5x+2x=28$

$x=\frac{28}{7}$

$x=4$

Ahora puedes sustituir 4 en una de las ecuaciones para hallar y;

$y=2x$

$y=2\left(4\right)$

$y=8$

1) $2x+y=5$

2) $x-y=1$

En este caso tenemos que reordenar la ecuación 2 para obtenerla en términos de y, haciendo esto podremos sustituirla en la ecuación 1 y resolver para x;

3) $y=x-1$

4) $2x+(x-1)=5$

$\Rightarrow 3x-1=5$

$\Rightarrow 3x=6$

$\Rightarrow x=2$

El último paso sigue siendo el mismo: simplemente utilizamos este valor en la segunda ecuación, lo que nos da y = 1 como antes. A continuación, ¡asegúrate de comprobar tu respuesta!

1) $y-3x=6$

2)$y=x^2+2x$

En una gráfica, estas ecuaciones tendrían el siguiente aspecto:

Lo primero que tenemos que hacer en este caso es reordenar la primera ecuación. La clave está en hacer que ambas sean iguales a y, (es decir, iguales a la misma cosa), porque eso significa que podemos hacer que ambas sean iguales entre sí.

3) $y=3x+6$

$\Rightarrow x^2+2x=3x+6$

$\Rightarrow x^2-x-6=0$

Ahora tenemos una ecuación cuadrática que puedes resolver utilizando el método que prefieras. En este ejemplo vamos a utilizar la factorización. (Si necesitas practicar un poco, consulta nuestro artículo sobre Factorización de expresiones cuadráticas).

$x^2-x-6=0$

$\Rightarrow (x-3)(x+2)$

$\Rightarrow x=3orx=-2$

Como puedes ver, tenemos dos valores posibles para x. Esto significa que tenemos que volver a sustituir cada uno de ellos para encontrar dos pares de soluciones para nuestras ecuaciones simultáneas:

1) $y=3\left(3\right)+6=15$ o 1)$y=3(-2)+6=0$

Esto nos da los pares

$x=3,y=15$o $x=-2,y=0$

comprobar:

2) $y=x^2+2x$

$y={\left(3\right)}^2+2\left(3\right)=9+6=15$

$y={(-2)}^2+2(-2)=4-4=0$

Ali compra 2 toffees y 3 gumballs. Bea compra 3 caramelos y 2 chicles. El total de Ali asciende a 0,10 ¤ y Bea paga 0,15 ¤. ¿Cuánto cuestan los toffees y las gominolas?

Primero tenemos que identificar las variables. En este caso son los toffees y las bolas de chicle. Podemos ver que 2 toffees y 3 gumballs cuestan 10 peniques, y 3 toffees y 2 gumballs cuestan 15 peniques. Con esta información podemos escribir las siguientes ecuaciones, en las que g representa las bolas de chicle y t representa los caramelos:

1) $3g+2t=10$

2) $2g+3t=15$

Como ves, se trata de uno de los conjuntos de ecuaciones simultáneas de antes.