Encontrar máximos y mínimos mediante derivadas
En el ejemplo anterior, se nos proporcionó una gráfica, y encontrar los extremos relativos fue una tarea visual. Sin embargo, no siempre nos darán la gráfica de una función. ¿Qué podemos hacer en estos casos?
Podemos utilizar lo que se conoce como pruebas de la primera y la segunda derivadas. Estas pruebas se basan en el Teorema de Fermat sobre los puntos estacionarios.
El Teorema de Fermat afirma que, si una función tiene un extremo relativo en \(x=c\) y la función es diferenciable en ese punto, entonces \(f'(c)=0\).
Los puntos en los que la derivada de una función es igual a \(0\) se llaman puntos estacionarios. La pendiente de la función en un punto estacionario es igual a \(0\).
Si volvemos al ejemplo de la función cúbica, podemos observar que el máximo y el mínimo relativos son también puntos en los que la pendiente de la gráfica es igual a 0. ¡Tracemos rectas tangentes en los extremos relativos!
Fig. 1. Gráfica de una función cúbica con rectas tangentes en sus extremos relativos.
Debe haber una relación entre las derivadas y los extremos relativos.
Encontrar máximos y mínimos mediante la prueba de la primera derivada
Encontrar los puntos estacionarios es lo que se conoce como Prueba de la Primera Derivada. Un punto estacionario puede ser un máximo local o un mínimo local, o puede no ser ninguno de los dos. Para determinarlo, utilizamos lo que se conoce como Prueba de la Segunda Derivada .
La prueba de la segunda derivada establece que si \(f\) es una función con segunda derivada, y \(x=c\) es un punto estacionario, entonces:
- Si \(f''(c)<0\), entonces \(f(c)\) es un máximo local de \(f\).
- Si \(f''(c)>0\), entonces \(f(c)\) es un mínimo local de \(f\).
En palabras, la Prueba de la Segunda Derivada nos dice lo siguiente:
Si la segunda derivada en un punto estacionario es negativa, la función tiene un máximo local en ese punto.
Si la segunda derivada en un punto estacionario es positiva, la función tiene un mínimo local en ese punto.
Intentemos comprender este proceso con un ejemplo.
Encuentra los máximos y mínimos locales de la función \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+4\), si los hay.
Solución:
Halla la derivada de \(f(x)\) utilizando la Regla de Potencia.
$$f'(x)=6x^2-6x-12$$
Evalúa en un punto crítico.
$$f'(c)=6c^2-6c-12$$
Aplica el Teorema de Fermat
$$6c^2-6c-12=0$$
Resuelve c mediante factorización. Empieza dividiendo la ecuación por \(6\):$$c^2-c-2=0$$
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.$$(c+1)(c-2)=0$$
por lo que
$$c=-1$$
$$c=2$$
Halla la segunda derivada de $$f''(x)\$$:
$$f''(x)=12x-6$$
Evalúa la segunda derivada en cada punto crítico:
$$f''(-1)=-18$$
$$f''(2)=18$$
Como \(f''(-1)<0\) entonces, hay un máximo local en \(x=-1\). Su valor es \(f(-1)=11\). Como \(f''(2)>0\) entonces, hay un mínimo local en \(x=2\). Su valor es \(f(2)=-16\). Echemos un vistazo a la gráfica de la función para ver si esto tiene algún sentido.
Fig. 3. Gráfica de la función cúbica con sus extremos relativos.
Hemos encontrado el extremo relativo exacto de la función.
Es importante señalar que si \(f''(c)=0\) la prueba no es concluyente. Esto puede ocurrir porque las gráficas tienen puntos con pendiente cero que no son extremos relativos. En tales casos, puede merecer la pena inspeccionar la gráfica de la función.
Halla los extremos relativos de la función \(f(x)=x^3-2\).
Solución:
Halla la derivada de \(f(x)\) utilizando la Regla de Potencia:
$$f'(x)=3x^2$$
Evalúa en un punto crítico:
$$f'(c)=3c^2$$
Aplica el Teorema de Fermat:
$$3c^2=0$$
Resuelve para \(c\):
$$c=0$$
Halla la segunda derivada de \(f\):
$$f''(x)=6x$$
Evalúa la segunda derivada en el punto crítico:
$$f''(0)=0$$
Como $$f''(0)=0$$ no podemos concluir nada de estas pruebas. Veamos ahora la gráfica de la función:
Fig. 4. Gráfica de una función cúbica sin extremos relativos.
Observa que esta función no tiene extremos relativos, incluso cuando comprobamos que su derivada en \(x=0\) es igual a cero. Este punto sigue siendo crítico porque la pendiente de la función es igual a \(0\) en ese punto. ¡Observa que la función tampoco tiene un máximo ni un mínimo globales!
Se puede obtener más información sobre la función encontrando más de sus derivadas, suponiendo que existan. Esto se conoce como la prueba de la derivada de orden superior.
¿Existe una fórmula para encontrar máximos y mínimos?
Por desgracia, no existe una fórmula concreta para hallar los máximos y mínimos de una función. Localizar los extremos depende completamente del tipo de función y de la forma de su gráfica.
¡Observar la gráfica de la función es siempre un buen primer paso! Por ejemplo, si la función es una Parábola que se abre hacia abajo, puedes encontrar su máximo global hallando su vértice. Si necesitas encontrar máximos y mínimos locales sin una gráfica, puedes utilizar las pruebas de la primera y segunda derivadas que hemos explorado anteriormente.
Encontrar máximos y mínimos mediante derivadas parciales
La búsqueda de máximos y mínimos mediante derivadas parciales no está contemplada en el plan de estudios de Cálculo de los institutos estadounidenses. Consulta nuestra sección universitaria para obtener más información sobre este tema.
Encontrar máximos y mínimos mediante derivadas - Puntos clave
- Elmáximo absoluto omáximo global de una función es la mayor salida en su rango.
- Elmínimo absoluto omínimo global de una función es la menor salida en su rango.
- Un máximo relativo omáximo local de una función es una salida mayor que las salidas circundantes.
- Un mínimo relativo o mínimo local de una función es una salida menor que las salidas circundantes.
- Mínimo es el plural de mínimo. Máximo es el plural de máximo. Colectivamente se conocen comoextremos.
- La prueba de la primera derivada puede utilizarse para encontrar un posible máximo o mínimo local. La prueba dela segunda derivada nos dice si el punto es un máximo o un mínimo local.
- La prueba de la segunda derivada no es concluyente si \(f''(c)=0\), en cuyo caso echar un vistazo a la gráfica podría ser una mejor idea.
- No existe una fórmula para encontrar máximos o mínimos. Depende de la función que estés estudiando.
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