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Por ejemplo, supongamos que un ingeniero aeronáutico necesita una ecuación que demuestre la elevación de un avión para poder estudiar la precisión de su vuelo. O un analista de datos quiere determinar una fórmula que prediga los futuros gastos e ingresos rentables de una empresa. O tal vez quiera dar con una receta especial que calcule tus ahorros a lo largo del año a partir de todo ese dinero de bolsillo que has guardado.
¿Y si te dijera que todo esto se puede hacer? En este artículo aprenderás las distintas formas de escribir ecuaciones.
Definición de ecuaciones
Comenzaremos nuestro debate definiendo el tema que nos ocupa.
Escribir ecu aciones es el proceso de escribir un enunciado matemático que contenga signos iguales.
Para ello, podemos utilizar símbolos matemáticos para expresar problemas de forma breve y concisa, de modo que las soluciones puedan hallarse mediante procesos matemáticos.
Considera que tienes una frase que dice "un número \(x\) por 3 es igual a 120".
Encontrar este número representado como \(x\) puede ser una tarea bastante ardua de hacer mentalmente o por ensayo y error. Sin embargo, cuando se modela en una ecuación, resulta bastante más sencillo de abordar.
Esta frase puede representarse como
\[3x=120\]
Para encontrar una solución a esto, tenemos que aislar la x dividiendo cada lado por 3. Lo que nos llevará a 40. Por tanto, el Número x aquí es 40.
Escribir ecuaciones utilizando símbolos
Escribir ecuaciones utilizando símbolos implica representar enunciados complejos con símbolos, de modo que puedan abordarse con un enfoque más matemático.
En esta sección, cuando se te presenten problemas de palabras, tienes que decir claramente con qué quieres representar cada variable. Cuando te encuentres con problemas de este tipo, ten en cuenta los siguientes consejos para resolverlos.
Familiarízate con el problema y compréndelo.
Convierte el problema en una ecuación identificando las variables e indicando lo que representan.
Veamos un ejemplo que demuestra esta técnica.
Si Kelvin tiene tres manzanas, y su hermano Mike, al volver del colegio le compra 5 más, ¿cuántas manzanas tiene Kelvin en total?
Solución
Examinando detenidamente el problema, nos damos cuenta de que la variable aquí es la cantidad desconocida que debemos hallar. Podemos representarla con \(x\). Si Kelvin ya tiene 3, y su hermano añade 5 más, entonces son 3 + 5. La ecuación puede modelizarse entonces como
\[3+5=x\]
Podemos seguir adelante y resolverlo para ver cuántas manzanas debe tener ahora Kelvin.
\[8=x\]
Esto también significa
\[x=8\]
Por tanto, a partir del problema, Kelvin debe tener ahora 8 manzanas.
Aquí tienes otro ejemplo
La entrada a un santuario de monos costó 162 $ para 12 niños y 3 adultos. En el mismo santuario, 8 niños y 3 adultos también gastaron 122 $ en entradas. ¿Cuánto tuvo que pagar cada niño y cada adulto?
Solución
Entender el problema significa que tendremos que desglosarlos lo suficiente.
12 niños y 3 adultos gastan 162 $
8 niños y 3 adultos gastan 122
Identifiquemos ahora las variables de la ecuación.
Que \(x\) represente el coste de las entradas de los niños
Que \(y\) represente el coste de las entradas de los adultos
El precio de la entrada de 12 niños + 3 adultos es de 162 $.
El coste de las entradas para 8 niños + 3 adultos es de 122 $.
\[12x+3y=162\]
\[8x+3y=122\]
Veamos ahora si podemos resolverlos matemáticamente. Se llaman sistemas de ecuaciones. Poseen dos variables (en este caso, \(x\) y \(y\)) y requieren dos ecuaciones para resolverse.
Para hallar los valores de las variables en una ecuación como ésta, hay que hacerlo por sustitución o por el método de eliminación. Utilicemos aquí el método de eliminación.
El método de eliminación consiste en sumar o restar las ecuaciones de modo que se elimine una variable de la ecuación. De este modo, la variable restante puede hallarse algebraicamente.
Ahora resta la segunda ecuación de la primera.
\[12x+3y-(8x+3y)=162-122\]
Esto se convierte en
\[4x=40\]
A continuación, simplifica la ecuación obtenida
\[x=10\]
Ahora podemos sustituir el valor de \(x\) en cualquiera de las ecuaciones para hallar \(y\). Para este ejemplo, lo sustituiremos en la segunda ecuación.
\[8(10)+3y=122\implies 80+3y=122\]
Entonces
\[3y=122-80\ implica 3y=42\}]
y finalmente
\[y=14\]
¿Recuerdas que dejamos que \(x\) represente las entradas de los niños, y \(y\) las de los adultos? Esto significa que la entrada cuesta 10 $ para los niños y 14 $ para los adultos.
Escribir ecuaciones en forma estándar
En este segmento, se te introducirá a la escritura de ecuaciones en forma estándar. Antes de empezar, definamos qué significa que una ecuación esté en forma estándar.
La Forma Estándar es una manera de representar conceptos matemáticos, como las ecuaciones, con reglas específicas, de forma que aparezcan de una manera común.
Las distintas formas de ecuaciones tienen distintos modos de representarse en forma estándar, y esto se va a tratar a continuación.
Ecuaciones lineales en forma estándar
Las ecuaciones lineales son tales que aparecen en línea recta cuando se representan gráficamente. En su definición, se menciona que el mayor exponente de la variable no es mayor que 1.
Por tanto, la forma estándar de las ecuaciones lineales en una variable se representa como
\[ax+b=10\]
donde \(a\neq 0\) y \(x\) es una variable. He aquí un ejemplo.
\(5x+3=0\)
Lasecuaciones lineales de dos variables en forma estándar se presentan como;
\[ax+by+c=0\]
donde \(a,b\neq 0\), siendo \(x\) y \(y\) variables. A continuación se muestra un ejemplo de esta naturaleza de ecuaciones lineales.
\(2x+6y-3=0\)
Ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de grado 2. Esto significa que el mayor exponente de su variable es 2. Esto significa que el mayor exponente de su variable es 2. Hay un buen número de formas en que se representan las ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, la forma estándar de las ecuaciones cuadráticas es
\[ax^2+bx+c=0\]
donde \(a\neq 0\) y
\(a\) = coeficiente de \(x^2\);
\(b\) = coeficiente de \(x\);
\(c\) = constante
siendo \(a\), \(b\) y \(c\) Números Reales. He aquí un ejemplo.
\(2x^2-7x+8=0\)
Escribir ecuaciones a partir de una tabla
Dada una tabla, podemos utilizar su información para escribir una ecuación incluso sin trazar la gráfica. Suponiendo que tengamos una ecuación lineal, lo que realmente significa es que hay un incremento lineal en los valores de \(x\) proyectados a \(y\). Por eso son rectas cuando se representan en una gráfica.
Para hallar ecuaciones lineales, por ejemplo a partir de una tabla, necesitas hallar la pendiente de la recta con su fórmula,
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
entonces podemos hallar algebraicamente el intersticio \(y\). Veamos un ejemplo.
Dada la tabla siguiente, en la que los valores \(x\) se corresponden con los \(y\) respectivamente, escribe la ecuación en la forma pendiente-intersección asociada a la información.
| \(x\) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| \(y\) | 14 | 20 | 26 | 32 | 38 |
Solución
Identifiquemos qué es realmente la forma pendiente-intersección de una recta antes de llegar a encontrar la solución.
\[y=mx+b\]
donde
\(y\) = valores de \(y\) en el plano de coordenadas
\(m\) = pendiente de la recta
\(x\) = \(x\) valores en el plano de coordenadas
\(b\) = \(y\)-intercepto
En primer lugar, hallaremos la pendiente de la recta a partir de la información. La fórmula de la pendiente de la recta es
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Esto significa que si tomamos un valor del eje \(x\)-, tomaremos otro valor correspondiente del eje \(y\)-.
si \(y_2=20\), entonces \(x_2=200\);
si \(y_1=14\), entonces \(x_1=100\).
Entonces
\[m=\frac{20-14}{200-100}=\frac{6}{100}=0.06\]
Como hemos hallado la pendiente de la recta, ahora podemos sustituir los valores correspondientes de \(x\) y \(y\) en la ecuación que incluye la pendiente, de modo que podamos hallar cuál es la intersección \(y\). Utilicemos los primeros valores donde
\[x=100\]
\[y=14\]
Entonces, por la forma pendiente-intersección,
\[14=0.06(100)+b\implies 14=6+b\]
Resolviendo \(b\) se obtiene
\[b=14-6=8\]
Lo que podemos hacer ahora es sustituir la intersección \(y\) y la pendiente que hemos hallado en la ecuación en forma de intersección de pendiente. Por tanto, la ecuación de la recta aquí es
\y=0,06x+8\]
Escribir la ecuación de una recta
Escribir la ecuación de una recta suele asociarse con hallar la ecuación de una recta trazada en una gráfica. Con ello aprenderemos a escribir ecuaciones lineales a partir de dos puntos dados.
Hallando la pendiente de la recta.
Después, hallando la intersección \(y\)-.
La forma pendiente-intersección
La pendiente de una recta proyecta explícitamente el cambio en la coordenada \(y\) de una recta respecto a la coordenada \(x\). Para escribir una ecuación lineal en forma estándar, aislamos \(y\). El coeficiente de \(x\) se convierte en la pendiente, y la constante es entonces la \(y\)-intercepción. La forma en estrella de la pendiente de una recta viene dada como
\[y=mx+b\]
donde
\(y\) = valores de \(y\) en el plano de coordenadas
\(m\) = pendiente de la recta
\(x\) = \(x\) valores en el plano de coordenadas
\(b\) = \(y\)-intercepto
A continuación tienes un ejemplo de ecuación en esta forma.
\y(y=3x+2\)
Hallar la pendiente de una recta
La pendiente de una recta también se conoce como gradiente. Indica la inclinación de la recta. Una recta puede ser absolutamente horizontal y paralela al eje \(x-\)si la pendiente es 0. Sin embargo, si es paralela al eje \(y-\)entonces se considera indefinida.
Si nos dan dos coordenadas de \((2, 8)\) y \((4, 3)\), la pendiente de la recta se define como
\[\frac{3-8}{4-2}.\]
Esto significa que sólo restamos la componente \(y\) del segundo punto de la componente \(y\) del primer punto, mientras que restamos la componente \(x\) del segundo punto de la componente \(x\) del primer punto. Esto se modela en una fórmula como
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]
En este caso, tendrás
\[m=\frac{3-8}{4-2}.\]
En nuestro ejemplo, tendremos que nuestra pendiente es \(-2,5\).
Hallar la intersección y
Dados los valores \(x-\) y \(y-\)y hallada la pendiente, ahora tenemos suficiente información para sustituirla en la ecuación de forma estándar y hallar la intercepción \(y-\). Si introducimos un punto en la ecuación, debería poder darnos las incógnitas. Aquí utilizaremos el primer punto; \((2, 8)\).
\[y=mx+b\implica 8=-2,5(2)+b\implica 8=-5+b\]
Ahora resolviendo para \(b\) haciendo \(b\) el sujeto se obtiene,
\[b=8+5=13\]
Esto significa que la ecuación de esta recta es
\y=3,5x+13\]
Aquí tienes otro ejemplo trabajado.
Dados los puntos \((4, 3)\) y \((6, -2)\). Halla la ecuación de la recta.
Solución
Paso 1: Halla la pendiente de la recta.
\[m=\frac{-2-3}{6-4}=-2.5\]
Paso2: Halla la intersección con la recta.
Toma el primer punto y sustitúyelo en la forma estándar de ecuaciones lineales
\[3=-2.5(4)+b\implies 3=-10+b\]
Como antes, resolviendo \(b\) tenemos
\[b=3+10=13\]
Por tanto, la ecuación lineal aquí es
\[y=-2,5x+13\]
Escribir la ecuación de un círculo
En este último apartado, veremos cómo se escribe la ecuación de un círculo. Un círculo está formado por una curva continua unida de extremo a extremo. No tiene lados rectos ni esquinas. Un círculo pertenece a la categoría de formas bidimensionales. Esto significa que podemos construir su figura en un plano de coordenadas cartesianas que comprenda los ejes \(x\) y \(y-\)-. Antes de empezar, definamos un círculo.
Un círculo es un tipo de sección cónica altamente simétrica.
Una circunferencia se define por el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto dado, llamado centro.
Hay dos elementos principales que componen una circunferencia: el centro y el radio. El diagrama siguiente lo ilustra.
Fig. 1. Representación gráfica de un círculo.
Forma estándar de un círculo
La forma estándar de una circunferencia de radio \(r\) y centro \((h, k)\) viene definida por la ecuación
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
En algunos casos, podemos necesitar hallar el centro de una circunferencia dada. Para ello, podemos utilizar la fórmula del punto medio. Se muestra a continuación.
La fórmula del punto medio
Supongamos que disponemos de dos coordenadas de los puntos extremos del diámetro de una circunferencia dada. La fórmula del punto medio para hallar el centro \((h, k)\) de una circunferencia viene dada por
\[(h, k)=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}).\]
Por otra parte, si necesitamos hallar el radio de una circunferencia, podemos utilizar la fórmula de la distancia. Ésta se muestra a continuación.
La fórmula de la distancia
Supongamos que disponemos de dos coordenadas de los puntos extremos del diámetro de un círculo dado. La fórmula de la distancia para hallar el radio \(r\) de una circunferencia viene dada por
\[r=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}\]
He aquí un ejemplo de ecuación de un círculo.
Halla la ecuación de una circunferencia si los puntos extremos de uno de sus diámetros están en \((1, -2)\) y \((3, 4)\).
Solución
Sean \(( x_1, y_1)=(1, -2)\) y \((x_2, y_2)=(3, 4)\)
Comenzamos evaluando el centro del círculo mediante la fórmula del punto medio.
\[(h, k)=\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}\right)\]
Resolviendo esto se obtiene
\[(h, k)=(2, 1)\]
Ahora debemos hallar el radio mediante la fórmula de la distancia.
\[r=\sqrt{(4-(-2))^2+(3-1)^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\]
Simplificando se obtiene
\[r=2\qrt{10}\]
Por tanto, \ (r^2=40\). Ahora, introduciendo estos valores en la forma estándar de un círculo, obtenemos
\[(x-2)^2+(y-1)^2=40\]
Escribir ecuaciones - Puntos clave
- Escribir ecuaciones es el proceso de escribir un enunciado matemático que sí contiene signos iguales.
- La forma estándar es una forma de representar conceptos matemáticos, como las ecuaciones, con reglas específicas, de modo que aparezcan de forma común.
- La forma estándar de las ecuaciones lineales en una variable es \(ax+b=0\).
- La forma estándar de las ecuaciones lineales en dos variables es \(ax+by+c=0\).
- La forma estándar de una ecuación cuadrática es \(ax^2+bx+c=0\)
- La forma estándar de la pendiente-intersección de una recta es \(y=mx+b\).
- El proceso de hallar la ecuación de una recta a partir de una gráfica trazada significa hallar primero la pendiente de la recta, y luego hallar la intersección y.
- La forma estándar de una circunferencia es \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
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