Evaluación y graficación de polinomios: 'Algebra', 'Funciones'

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En primer lugar, recordemos qué entendemos por polinomios.

Lospolinomios son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos. Además, cada término puede estar multiplicado por coeficientes.

Lasfunciones pol inómicas son funciones que siguen la forma estándar:

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{(n - 1)} x^{(n - 1)} + a_{(n - 2)} x^{(n - 2)} + . . . + a_{1} x + a_{0}$

Como puedes ver, las funciones polinómicas en forma estándar se escriben en orden decreciente, del mayor exponente al menor. También a partir de la ecuación anterior, puedes observar las siguientes características de un polinomio:

$a_{n} x^{n}$ es el término principal del polinomio, ya que es el de mayor exponente.
$a_{n}$ es el coeficiente principal, porque es el coeficiente del término principal del polinomio.
La mayor potencia o exponente presente en un polinomio se denomina grado del polinomio. En este caso, el grado es n.
$a_{0}$ es una constante porque este término no va acompañado de una variable.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ es un polinomio de grado 2

$f (x) = 2 x^{- 1} + 5$ no es un polinomio porque tiene exponente negativo

Evaluación de polinomios

Hay un par de métodos que puedes utilizar para evaluar polinomios, que son la sustitución directa y la sustitución sintética.

Sustitución directa

Para evaluar un polinomio mediante sustitución directa, basta con sustituir x por un número para hallar su solución.

Evalúa $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ en $x = 4$ mediante sustitución directa

f (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) + 5

$f (4) = 3 \times 16 + 8 + 5$

$f (4) = 48 + 13$

$f (4) = 61$

Sustitución sintética

Utilizando la sustitución sintética, el proceso es diferente. Vamos a evaluar la función polinómica del ejemplo anterior para explicar los pasos que debes seguir utilizando este método alternativo.

Evalúa $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ en $x = 4$ utilizar la sustitución sintética

Los pasos a seguir con la sustitución sintética son:

Paso 1. Escribe los coeficientes de cada término de la función polinómica en orden descendente. Paso 2. A la izquierda del coeficiente principal, escribe el valor de x con el que estás evaluando la función polinómica, como se muestra a continuación.

Recuerda añadir los términos que falten con coeficiente cero (0).

Paso 2. Baja el coeficiente principal por debajo de la línea horizontal. Multiplica el coeficiente principal por el valor de x. Escribe el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores de la segunda columna teniendo en cuenta sus signos. Escribe el resultado de la suma justo debajo de la línea horizontal.

Anota el coeficiente principal, que es 3

Multiplica el coeficiente principal por el valor de x: $3 \times 4 = 12$ y pon el resultado debajo del coeficiente siguiente

Suma los valores de la segunda columna: $2 + 12 = 14$

Paso 3. Multiplica el resultado de la suma por el valor de x, y pon el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores teniendo en cuenta sus signos. Repite este paso para todos los coeficientes. El valor final por debajo de la línea horizontal será el valor de $f (x)$ en este caso, $f (4)$ .

Multiplica 14 por el valor de x $14 \times 4 = 56$ , y pon el resultado bajo el siguiente coeficiente

Suma los valores de la tercera columna: $5 + 56 = 61$

No es necesario repetir este paso, porque ya no quedan coeficientes.

f (4) = 61

Observa que es el mismo resultado que obtuvimos con el método anterior.

Gráficas de polinomios

Las gráficas de polinomios son representaciones gráficas de funciones polinómicas.

Tipos de gráficas de polinomios

Hay distintos tipos de gráficas de polinomios según su grado:

Observa que el grado de un polinomio coincide con el número de cambios de dirección en su gráfica y con el número de ceros o intersecciones x.

Grado 1 - Lineal	Grado 2 - Cuadrática

Grado 3 - Cúbico	Grado 4 - Cuártico

Grado 5 - Quíntico	Grado 6 - Hexico

¿Cómo resolver polinomios mediante gráficas?

Como el comportamiento de las funciones de mayor exponente no es tan predecible como el de las rectas o las parábolas, para obtener una representación más exacta de su curva, necesitamos utilizar algunas características clave.

Características clave de las gráficas de polinomios

1. Encontrar los ceros: Los ceros de una función son los valores de x que hacen que la función sea igual a cero. También se conocen como intersecciones x.

Para hallar los ceros de una función, tienes que hacer que la función sea igual a cero y utilizar el método que sea necesario (factorización, división de polinomios, completar el cuadrado o fórmula cuadrática) para hallar las soluciones de x. Consulta el artículo Factorización de polinomios si necesitas que te lo recuerden.

Tras realizar la división polinómica y la factorización de la función polinómica $x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12 = 0$ obtenemos el resultado $(x - 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ .

Según esto, los ceros o intersecciones x son:

$x = 1$ , $x = - 3$ y $x = - 4$

Si un cero aparece como parte de la solución dos veces (se repite), entonces la curva de la función tocará el eje x en ese valor de x, y luego rebotará en el eje x cambiando de dirección.

2. Halla la intersección y: Sustituye x = 0 en la función polinómica original. El resultado será la coordenada y donde la curva cruza el eje y.

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

$f (0) = 0^{3} + 6 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12$

$f (0) = - 12$

El punto donde la curva de la función cruza el eje y es (0, -12)

3. Comportamiento final: Las curvas de los polinomios de grado 2 o más son líneas continuas y suaves que pueden tener puntos máximos o mínimos en los que cambian de dirección en el tramo medio de la curva, y en cualquiera de sus extremos tienden a dirigirse hacia el infinito positivo o negativo.

¿Cómo se determina el comportamiento final de una función?

Prueba del coeficiente principal: Como ya se ha dicho, el término principal de un polinomio es el término con mayor exponente. Tendrás que fijarte en si su exponente es par o impar y en el signo de su coeficiente para ayudarte a determinar el comportamiento final de la curva.

Función impar (es decir $x^{3}, x^{5}, x^{7}$ )

a) Coeficiente principal positivo: En este caso, la función apuntará hacia abajo a la izquierda y hacia arriba en el extremo derecho de la curva.

Evaluación y graficación de polinomios Comportamiento final función impar coeficiente positivo StudySmarter Comportamiento final - función impar y coeficiente positivo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coeficiente principal negativo : En este caso, la función apuntará hacia arriba en el extremo izquierdo y hacia abajo en el extremo derecho de la curva.

Evaluación y graficación de polinomios Comportamiento final función impar coeficiente negativo StudySmarter Comportamiento final - función impar y coeficiente negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Función par (es decir $x^{2}, x^{4}, x^{6}$ )

a) Coeficiente principal positivo: En este caso, la función apuntará hacia arriba en ambos extremos de la curva.

Evaluación y graficación de polinomios Comportamiento final función par coeficiente positivo StudySmarter Comportamiento final - función par y coeficiente positivo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coeficiente principal negativo: En este caso, la función apuntará hacia abajo en ambos extremos de la curva.

Evaluación y graficación de polinomios Comportamiento final función par coeficiente negativo StudySmarter Comportamiento final - función par y coeficiente negativo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Para resumir el comportamiento final de la gráfica polinómica tenemos la siguiente tabla:

	Función impar				Función par
Signo del coeficiente principal	Positivo		Negativo		Positivo		Negativo
Comportamiento final	Izquierda	Derecha	Izquierda	Derecha	Izquierda	Derecha	Izquierda	Derecha
Comportamiento final	↓	↑	↑	↓	↑	↑	↓	↓

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

El término principal de la función polinómica es $x^{3}$ lo que significa que es una función impar con coeficiente principal positivo. Por tanto, el comportamiento final de la curva será así

Izquierda	Derecha
↓	↑

4. Esboza la curva de la función.

Evaluación y graficación de polinomios Ejemplo de graficación de polinomios StudySmarter Ejemplo de croquis de una gráfica de polinomios, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Método alternativo para representar gráficamente polinomios

Otra forma de graficar polinomios en la que no necesitas tener el polinomio en forma factorizada es la siguiente:

Haz una tabla de valores utilizando la sustitución directa de unos cuantos valores de x.
Traza los puntos en el plano de coordenadas para determinar la sección media de la gráfica.
Une los puntos con una curva suave y continua.
Utiliza la prueba del coeficiente principal para determinar el comportamiento final de la gráfica.

Evaluación y representación gráfica de polinomios - Puntos clave

Los métodos que puedes utilizar para evaluar polinomios son la sustitución directa y la sustitución sintética.
Para evaluar un polinomio mediante sustitución directa, sustituye x por un número para hallar su solución.
Las gráficas de polinomios son representaciones gráficas de funciones polinómicas.
El grado de un polinomio coincide con el número de cambios de dirección en su gráfica y el número de ceros o intersecciones x.
Factorizar un polinomio te permite encontrar los ceros o interceptos x, que son los valores de x en los que la gráfica intercepta el eje x.
Tendrás que fijarte en si el exponente del término principal del polinomio es par o impar y en el signo de su coeficiente, para ayudarte a determinar el comportamiento final de la curva.

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Preguntas frecuentes sobre Evaluación y graficación de polinomios

¿Qué es la evaluación de polinomios?

La evaluación de polinomios implica calcular el valor de un polinomio para un valor específico de la variable.

¿Cómo se grafica un polinomio?

Graficar un polinomio implica representar sus puntos y su curva en un sistema de coordenadas, identificando raíces y vértices.

¿Qué herramienta se utiliza para evaluar polinomios?

La herramienta comúnmente usada es la regla de Ruffini para evaluar polinomios eficientemente.

¿Qué se debe considerar al graficar polinomios?

Al graficar polinomios, se deben considerar las raíces, la dirección de la curva y los puntos críticos.

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