Expansión Binomial

El teorema binomial

El teorema binomial nos permite expandir una expresión de la forma \ ( (x+y)^n\) en una suma. Una fórmula general para una expresión binómica es

\[ (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ puntos + \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n.\]

Que puede simplificarse a

\(x+y)^n &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k &= suma de límites_k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} . \end{align}\]

Donde tanto \(n\) como \(k\) son números enteros. También se conoce como fórmula binómica. La notación

\[ \binom{n}{k}\}]

se puede denominar "\(n\) elige \(k\)" y da un número llamado coeficiente binomial, que es el número de combinaciones distintas de ordenar \(k\) objetos de un total de \(n\) objetos. La ecuación del coeficiente binomial (\(n\) elige \(k\) o \(^nC_r\) en una calculadora) viene dada por

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\}].

Donde "!" significa factorial. Factorial significa el producto de un entero por todos los enteros inferiores a él. Por ejemplo, para \(5\) elegir \(3\), tendríamos:

\[ \begin{align} \binom{5}{3} &= \frac{5!}{3!(5-3)!} \\ &= \frac{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}(3\cdot 2\cdot 1)(2\cdot 1)} &= 10. \fin]]

¿Cómo se hace una expansión binómica?

Para entender cómo hacer una expansión binómica, veremos un ejemplo. Supongamos que queremos expandir \( (x+y)^4\). En este caso, \(n = 4\) y \(k\) variarán entre \(0\) y \(4\). Utilizando la fórmula de la expansión binómica, podemos escribir:

\[ (x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3+ \binom{4}{4}x^0y^4.\]

Ahora podemos utilizar la ecuación del coeficiente binomial para hallar todos los términos constantes de esta expresión. Para el primer término tenemos

\[ \begin{align} \binom{4}{0} &= \frac{4!}{0!(4-0)!} \\ ¾ &= ¾frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 )} ¾ &= 1. \fin \]

Repitiendo esto para los cinco coeficientes, acabamos con coeficientes binomiales de \(1\), \(4\), \(6\), \(4\), \(1\) en orden. Por tanto, nuestra expresión para la expansión binómica se simplifica a

\[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\]

Fórmula de la expansión binómica

Para resumir la explicación anterior, la fórmula de expansión puede escribirse como

\[(x+y)^n = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k = \suma _{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}\]

Donde \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial de cada término.

Expansión binómica para potencias fraccionarias y negativas

A veces te encontrarás con expresiones algebraicas en las que n no es un entero positivo, sino un entero negativo o una fracción. Consideremos la expresión \(\sqrt{1-2x}\) que también puede escribirse como

\[ (1- 2x)^\dfrac{1}{2}\] donde \(x < 0,5\). En este caso, resulta difícil encontrar la fórmula para hallar los coeficientes binomiales,

porque no podemos encontrar los factoriales para un número negativo o racional. Sin embargo, si miramos un ejemplo para un número entero positivo, podemos encontrar una expresión más general que luego podemos aplicar también a los números negativos y fraccionarios. Por ejemplo, para

\[ \binom{6}{3}\]

tenemos

\[ \begin{align} \binom{6}{3}&= \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!} \\ y= ¡frac{6(6-1)(6-2)}{3!}. \fin].

A partir de aquí observamos que

\[ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\dots (n-k+1)}{k!}].

y, por tanto, la expresión más general del teorema del binomio es la fórmula infinita

\[ (a+b)^n = \frac{a^n}{0!} + \frac{na^{n-1}b}{1!} + \frac{n(n-1)a^{n-2}b^2} ¡2!} + \frac{n(n-1)(n-2)a^{n-3}b^3}{3!} + \ puntos \]

Veamos \(\sqrt{1-2x}\). En este caso \(a = -2x\), \(b = 1\) y \(n =1/2\). Sustituyendo esto obtenemos

\[ \begin{align} \(-2x)^-\frac{1}{2}{0!} &+ \frac {Izquierda(-\frac{1}{2}}derecha) (-2x)^-\frac{1}{2}{cdot 1 }{1!} \\ (-2x)^-\frac {3}{2}{dot 1^2} ¡2! \\ &\quad + \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{1}{2}}derecha) \frac(-\frac{3}{2}}derecha) (-2x)^{-\frac{5}{2} {\cdot 1^3 }{3!} + puntos fin].

Preguntas sobre la expansión binómica

Hemos recopilado algunas preguntas con soluciones paso a paso para ayudarte a comprender cómo se puede aplicar el teorema del binomio y la expansión binómica o preguntar sobre ellos en un examen.