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Observa que cada número de los ejemplos anteriores está elevado a un exponente (o potencia) en forma de número entero. Ahora, considera las expresiones siguientes.
Aquí, los exponentes tienen forma de fracción. Se denominan exponentes racionales. En este artículo exploraremos dichas expresiones junto con sus propiedades y su relación con las expresiones radicales.
Propiedades de los exponentes
Los exponentes tienen varias propiedades que pueden ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes racionales. Familiarizándonos con estas reglas, podemos resolver dichas expresiones rápidamente sin necesidad de largos cálculos. En la tabla siguiente se describen estas propiedades, seguidas de un ejemplo.
Propiedad | Derivación | Ejemplo |
Regla del producto | ||
Regla de potencia | ||
Producto a potencia | ||
Regla del cociente | ||
Regla del exponente cero | ||
Regla del cociente a la potencia | ||
Regla del exponente negativo |
Exponentes racionales y radicales
Recuerda la definición de expresión radical.
Una expresión radical es una expresión que contiene un símbolo radical √ en cualquier índice n, . Se conoce como función raíz. Por ejemplo
Supongamos que nos dicen que tenemos que resolver el producto de dos expresiones radicales. Por ejemplo
¿Cómo calcularíamos el producto de estas expresiones radicales? Esto puede resultar algo difícil debido a la presencia de símbolos radicales. Sin embargo, existe una solución a este problema. En este artículo introduciremos el concepto de exponente racional. Los exponentes racionales pueden utilizarse para escribir expresiones que incluyan radicales. Al escribir una expresión radical en forma de exponentes racionales, podemos simplificarlas fácilmente. A continuación se explica la definición de exponente racional.
Los exponentes racionales se definen como exponentes que pueden expresarse de la forma donde q ≠ 0.
La notación general de los exponentes racionales es . Aquí, x se llama base (cualquier número real) y es un exponente racional.
Los exponentes racionales también se pueden escribir como .
Esto nos permite realizar operaciones como exponentes, multiplicaciones y divisiones. Para adentrarnos en este tema, empecemos con el siguiente ejemplo. Recordemos que elevar un número al cuadrado y sacar la raíz cuadrada de un número son operaciones inversas. Podemos investigar tales expresiones suponiendo que los exponentes fraccionarios se comportan como exponentes integrales.
Los exponentes integrales son exponentes expresados en forma de número entero.
1. Volviendo al ejemplo anterior ahora podemos hacer lo siguiente
Aplicando la regla del producto a la potencia, obtenemos
Ahora, volviendo a la raíz cuadrada, obtenemos
2. Escribir el cuadrado de un número como una multiplicación
Sumando ahora los exponentes
Simplificando, obtenemos
Por tanto, el cuadrado de es igual a a. Por tanto
Hay dos formas de exponentes racionales a considerar en este tema, a saber
y .
A continuación se describe cómo se escribe cada una de estas formas en términos de radicales.
Formas de exponentes racionales
Hay dos formas de exponentes racionales que debemos considerar aquí. En cada caso, expondremos la técnica utilizada para simplificar cada forma, seguida de varios ejemplos trabajados para demostrar cada método.
Caso 1
Si a es un número real y n ≥ 2, entonces
.Escribe lo siguiente en su forma radical
y
Soluciones
1.
2.
Expresa lo siguiente en su forma exponencial
y
Soluciones
1.
2.
Caso 2
Para cualquier número entero positivo m y n
o ,Escribe lo siguiente en su forma radical
ySoluciones
1. que es lo mismo que .
2.
Por la regla de potencia, obtenemos
Simplificando aún más, nuestra forma final es
Expresa lo siguiente en su forma exponencial
y
Soluciones
1.
2.
Evaluación de expresiones con exponentes racionales
En este apartado veremos algunos ejemplos trabajados que demuestran cómo podemos resolver expresiones en las que intervienen exponentes racionales.
Evalúa
Solución
Por la regla del exponente negativo,
Ahora, por la definición de Exponentes Racionales
Simplificando, obtenemos
Evalúa
Solución
Por la regla de potencias,
Ahora, con la definición de Exponentes Racionales
Simplificando se obtiene
Simplificando aún más esta expresión, tenemos
Ejemplo del mundo real
El radio, r, de una esfera con volumen, V, viene dado por la fórmula
.
¿Cuál es el radio de una esfera si su volumen es de 24 unidades3?
Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Dada la fórmula anterior, el radio de una bola cuyo volumen es de 24 unidades3viene dado por
Por tanto, el radio es de aproximadamente 1,79 unidades (correcto con dos decimales).
Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar exponentes racionales
Ahora que ya hemos establecido las propiedades de los exponentes, apliquemos estas reglas para simplificar exponentes racionales. A continuación te mostramos algunos ejemplos prácticos.
Simplifica lo siguiente.
Solución
Por la regla del producto
Simplifica la expresión siguiente.
Solución
Por la regla de la potencia
Simplifica lo siguiente.
Solución
Por la regla del cociente
Simplifica la siguiente expresión.
Solución
Por la regla del producto a la potencia
Simplifica lo siguiente
Solución
Por la regla del producto
Seguido de la Regla del Cociente
A continuación, por la regla del producto a la potencia
Por último, por la regla del exponente negativo
Expresiones con exponentes racionales
Para determinar si una expresión en la que intervienen exponentes racionales está totalmente simplificada, la solución final debe cumplir las siguientes condiciones:
Condición | Ejemplo |
No hay exponentes negativos | En lugar de escribir 3-2, debemos simplificarla como por la regla del exponente negativo |
El denominador no tiene forma de exponente fraccionario | Dado que deberíamos expresarlo como por la definición de exponentes racionales |
No es una fracción compleja | En lugar de escribir podemos simplificarlo como ya que |
El índice de cualquier radical restante es el menor número posible | Digamos que tenemos un resultado final de . Podemos reducirlo aún más observando que |
Propiedades de los exponentes racionales - Puntos clave
- Una expresión radical es una función que contiene una raíz cuadrada.
- Los exponentes racionales son exponentes que pueden expresarse de la forma donde q ≠ 0.
- Formas de exponentes racionales
Forma Representación Si a es un número real y Para cualquier número entero positivo m y n o - Propiedades de los exponentes
Propiedad Derivación Regla del producto Regla de la potencia Regla del producto a la potencia Regla del cociente Regla del exponente cero Regla del cociente a la potencia Regla del exponente negativo
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