Exponentes racionales

Hasta ahora, hemos visto expresiones exponenciales como las siguientes.

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    32=3×3=953=5×5×5=125492=4292=4×49×9=1681

    Observa que cada número de los ejemplos anteriores está elevado a un exponente (o potencia) en forma de número entero. Ahora, considera las expresiones siguientes.

    323, 514, 4935

    Aquí, los exponentes tienen forma de fracción. Se denominan exponentes racionales. En este artículo exploraremos dichas expresiones junto con sus propiedades y su relación con las expresiones radicales.

    Propiedades de los exponentes

    Los exponentes tienen varias propiedades que pueden ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes racionales. Familiarizándonos con estas reglas, podemos resolver dichas expresiones rápidamente sin necesidad de largos cálculos. En la tabla siguiente se describen estas propiedades, seguidas de un ejemplo.

    PropiedadDerivaciónEjemplo
    Regla del productoam·an=am+n23·27=23+7=210
    Regla de potencia(am)n=am·n237=23·7=221
    Producto a potenciaabm=ambm103=2·53=23·53
    Regla del cocienteaman=am-n (a0)2327=23-7=2-4
    Regla del exponente ceroa0=1 (a0)20=1
    Regla del cociente a la potenciaabm=ambm (b0)253=2353
    Regla del exponente negativoa-n=1an (a0)2-3=123

    Exponentes racionales y radicales

    Recuerda la definición de expresión radical.

    Una expresión radical es una expresión que contiene un símbolo radical √ en cualquier índice n, n. Se conoce como función raíz. Por ejemplo

    2,53,x, etc.

    Supongamos que nos dicen que tenemos que resolver el producto de dos expresiones radicales. Por ejemplo

    23 × 3

    ¿Cómo calcularíamos el producto de estas expresiones radicales? Esto puede resultar algo difícil debido a la presencia de símbolos radicales. Sin embargo, existe una solución a este problema. En este artículo introduciremos el concepto de exponente racional. Los exponentes racionales pueden utilizarse para escribir expresiones que incluyan radicales. Al escribir una expresión radical en forma de exponentes racionales, podemos simplificarlas fácilmente. A continuación se explica la definición de exponente racional.

    Los exponentes racionales se definen como exponentes que pueden expresarse de la forma pqdonde q ≠ 0.

    La notación general de los exponentes racionales es xmn. Aquí, x se llama base (cualquier número real) y mn es un exponente racional.

    Los exponentes racionales también se pueden escribir como .

    Esto nos permite realizar operaciones como exponentes, multiplicaciones y divisiones. Para adentrarnos en este tema, empecemos con el siguiente ejemplo. Recordemos que elevar un número al cuadrado y sacar la raíz cuadrada de un número son operaciones inversas. Podemos investigar tales expresiones suponiendo que los exponentes fraccionarios se comportan como exponentes integrales.

    Los exponentes integrales son exponentes expresados en forma de número entero.

    1. Volviendo al ejemplo anterior 23×3ahora podemos hacer lo siguiente

    23 × 3 = 2312 × 312

    Aplicando la regla del producto a la potencia, obtenemos

    2312 × 312 = 23×312 = 6912

    Ahora, volviendo a la raíz cuadrada, obtenemos

    6912 = 69

    2. Escribir el cuadrado de un número como una multiplicación

    a122=a12·a12

    Sumando ahora los exponentes

    a12·a12=a12+12

    Simplificando, obtenemos

    a12+12=a1=a

    Por tanto, el cuadrado de a12es igual a a. Por tanto a12=a

    Hay dos formas de exponentes racionales a considerar en este tema, a saber

    a1n y amn.

    A continuación se describe cómo se escribe cada una de estas formas en términos de radicales.

    Formas de exponentes racionales

    Hay dos formas de exponentes racionales que debemos considerar aquí. En cada caso, expondremos la técnica utilizada para simplificar cada forma, seguida de varios ejemplos trabajados para demostrar cada método.

    Caso 1

    Si a es un número real y n ≥ 2, entonces

    a1n=an.

    Escribe lo siguiente en su forma radical

    a13 y4b15

    Soluciones

    1. a13=a3

    2. 4b15=4b5

    Expresa lo siguiente en su forma exponencial

    x7 y2y

    Soluciones

    1. x7=x17

    2. 2y=2y12

    Caso 2

    Para cualquier número entero positivo m y n

    amn=(an)m o amn=amn,

    Escribe lo siguiente en su forma radical

    a23y7b54

    Soluciones

    1. a23=a23que es lo mismo que a23=(a3)2.

    2. 7b54=7b45

    Por la regla de potencia, obtenemos

    7b45=745b45

    Simplificando aún más, nuestra forma final es

    745b45=774b54

    Expresa lo siguiente en su forma exponencial

    x85y2y83

    Soluciones

    1. x85=x85

    2. 2y83=2y38

    Evaluación de expresiones con exponentes racionales

    En este apartado veremos algunos ejemplos trabajados que demuestran cómo podemos resolver expresiones en las que intervienen exponentes racionales.

    Evalúa 27-13

    Solución

    Por la regla del exponente negativo,

    27-13=12713

    Ahora, por la definición de Exponentes Racionales

    12713=1273

    Simplificando, obtenemos

    1273=1333=13

    Evalúa 6423

    Solución

    Por la regla de potencias,

    6423=642·13

    Ahora, con la definición de Exponentes Racionales

    642·13=6423

    Simplificando se obtiene

    6423=4323=43·433

    Simplificando aún más esta expresión, tenemos

    43·433=4·4=16

    Ejemplo del mundo real

    El radio, r, de una esfera con volumen, V, viene dado por la fórmula

    r=3V4π13.

    ¿Cuál es el radio de una esfera si su volumen es de 24 unidades3?

    Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Dada la fórmula anterior, el radio de una bola cuyo volumen es de 24 unidades3viene dado por

    r=3(24)4π13r=724π13r=18π13r=18π3r=1.789400458 units

    Por tanto, el radio es de aproximadamente 1,79 unidades (correcto con dos decimales).

    Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar exponentes racionales

    Ahora que ya hemos establecido las propiedades de los exponentes, apliquemos estas reglas para simplificar exponentes racionales. A continuación te mostramos algunos ejemplos prácticos.

    Simplifica lo siguiente.

    x15·x23

    Solución

    Por la regla del producto

    x15·x23=x15+23=x1315

    Simplifica la expresión siguiente.

    x437

    Solución

    Por la regla de la potencia

    x437=x4·37=x127

    Simplifica lo siguiente.

    x34x19

    Solución

    Por la regla del cociente

    x34x19=x34-19=x2336

    Simplifica la siguiente expresión.

    x23y1412

    Solución

    Por la regla del producto a la potencia

    x23y1412=x23·12·y14·12=x13·y18

    Simplifica lo siguiente

    x12x34x-32y-5413

    Solución

    Por la regla del producto

    x12x34x-32y-5413=x12+34x-32y-5413=x54x-32y-5413

    Seguido de la Regla del Cociente

    x54x-32y-5413=x54--32y-5413=x114y-5413

    A continuación, por la regla del producto a la potencia

    x114y-5413=x114·13y-54·13=x1112y-512

    Por último, por la regla del exponente negativo

    x1112y-512=x11121y512=x1112·y512

    Expresiones con exponentes racionales

    Para determinar si una expresión en la que intervienen exponentes racionales está totalmente simplificada, la solución final debe cumplir las siguientes condiciones:

    CondiciónEjemplo

    No hay exponentes negativos

    En lugar de escribir 3-2, debemos simplificarla como 132 por la regla del exponente negativo

    El denominador no tiene forma de exponente fraccionario

    Dado que 3412deberíamos expresarlo como 34 por la definición de exponentes racionales

    No es una fracción compleja

    En lugar de escribir 532podemos simplificarlo como 523ya que 532=5÷32=5×23

    El índice de cualquier radical restante es el menor número posible

    Digamos que tenemos un resultado final de 32. Podemos reducirlo aún más observando que 32=16×2=162=42

    Propiedades de los exponentes racionales - Puntos clave

    • Una expresión radical es una función que contiene una raíz cuadrada.
    • Los exponentes racionales son exponentes que pueden expresarse de la forma pqdonde q ≠ 0.
    • Formas de exponentes racionales
      FormaRepresentación
      a1nSi a es un número real yn2a1n=an
      amnPara cualquier número entero positivo m y namn=anm o amn=amn
    • Propiedades de los exponentes
      PropiedadDerivación
      Regla del productoam·an=am+n
      Regla de la potencia(am)n=am·n
      Regla del producto a la potenciaabm=ambm
      Regla del cocienteaman=am-n
      Regla del exponente ceroa0=1
      Regla del cociente a la potenciaabm=ambm
      Regla del exponente negativoa-n=1an
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    Preguntas frecuentes sobre Exponentes racionales
    ¿Qué son exponentes racionales?
    Los exponentes racionales son fracciones donde el numerador indica la potencia y el denominador la raíz.
    ¿Cómo se simplifican los exponentes racionales?
    Para simplificar exponentes racionales, convierte la fracción a una expresión usando potencias y raíces.
    ¿Cuál es la diferencia entre exponentes enteros y racionales?
    A diferencia de los enteros, los exponentes racionales pueden representar raíces además de potencias.
    ¿Cómo resolver exponentes racionales con base negativa?
    Para bases negativas, verifica si el exponente es fracción par o impar para determinar si el resultado es real o complejo.
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