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Exponentes racionales

Hasta ahora, hemos visto expresiones exponenciales como las siguientes.

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Last Updated: 01.01.1970
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$3^{2} = 3 \times 3 = 9 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 {(\frac{4}{9})}^{2} = \frac{4^{2}}{9^{2}} = \frac{4 \times 4}{9 \times 9} = \frac{16}{81}$

Observa que cada número de los ejemplos anteriores está elevado a un exponente (o potencia) en forma de número entero. Ahora, considera las expresiones siguientes.

$3^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{4}}, {(\frac{4}{9})}^{\frac{3}{5}}$

Aquí, los exponentes tienen forma de fracción. Se denominan exponentes racionales. En este artículo exploraremos dichas expresiones junto con sus propiedades y su relación con las expresiones radicales.

Propiedades de los exponentes

Los exponentes tienen varias propiedades que pueden ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes racionales. Familiarizándonos con estas reglas, podemos resolver dichas expresiones rápidamente sin necesidad de largos cálculos. En la tabla siguiente se describen estas propiedades, seguidas de un ejemplo.

Propiedad	Derivación	Ejemplo
Regla del producto	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{7} = 2^{3 + 7} = 2^{10}$
Regla de potencia	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$	${(2^{3})}^{7} = 2^{3 \cdot 7} = 2^{21}$
Producto a potencia	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$	${(10)}^{3} = {(2 \cdot 5)}^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3}$
Regla del cociente	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a \neq 0)$	$\frac{2^{3}}{2^{7}} = 2^{3 - 7} = 2^{- 4}$
Regla del exponente cero	$a^{0} = 1 (a \neq 0)$	$2^{0} = 1$
Regla del cociente a la potencia	${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} (b \neq 0)$	${(\frac{2}{5})}^{3} = \frac{2^{3}}{5^{3}}$
Regla del exponente negativo	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} (a \neq 0)$	$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$

Exponentes racionales y radicales

Recuerda la definición de expresión radical.

Una expresión radical es una expresión que contiene un símbolo radical √ en cualquier índice n, $\sqrt[n]{}$ . Se conoce como función raíz. Por ejemplo

$\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \sqrt{x}, e t c .$

Supongamos que nos dicen que tenemos que resolver el producto de dos expresiones radicales. Por ejemplo

$\sqrt{23} \times \sqrt{3}$

¿Cómo calcularíamos el producto de estas expresiones radicales? Esto puede resultar algo difícil debido a la presencia de símbolos radicales. Sin embargo, existe una solución a este problema. En este artículo introduciremos el concepto de exponente racional. Los exponentes racionales pueden utilizarse para escribir expresiones que incluyan radicales. Al escribir una expresión radical en forma de exponentes racionales, podemos simplificarlas fácilmente. A continuación se explica la definición de exponente racional.

Los exponentes racionales se definen como exponentes que pueden expresarse de la forma $\frac{p}{q}$ donde q ≠ 0.

La notación general de los exponentes racionales es $x^{\frac{m}{n}}$ . Aquí, x se llama base (cualquier número real) y $\frac{m}{n}$ es un exponente racional.

Los exponentes racionales también se pueden escribir como $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ .

Esto nos permite realizar operaciones como exponentes, multiplicaciones y divisiones. Para adentrarnos en este tema, empecemos con el siguiente ejemplo. Recordemos que elevar un número al cuadrado y sacar la raíz cuadrada de un número son operaciones inversas. Podemos investigar tales expresiones suponiendo que los exponentes fraccionarios se comportan como exponentes integrales.

Los exponentes integrales son exponentes expresados en forma de número entero.

1. Volviendo al ejemplo anterior $\sqrt{23} \times \sqrt{3}$ ahora podemos hacer lo siguiente

$\sqrt{23} \times \sqrt{3} = 23^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}$

Aplicando la regla del producto a la potencia, obtenemos

$23^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} = {(23 \times 3)}^{\frac{1}{2}} = 69^{\frac{1}{2}}$

Ahora, volviendo a la raíz cuadrada, obtenemos

$69^{\frac{1}{2}} = \sqrt{69}$

2. Escribir el cuadrado de un número como una multiplicación

${(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$

Sumando ahora los exponentes

$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Simplificando, obtenemos

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = a^{1} = a$

Por tanto, el cuadrado de $a^{\frac{1}{2}}$ es igual a a. Por tanto $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Hay dos formas de exponentes racionales a considerar en este tema, a saber

$a^{\frac{1}{n}}$ y $a^{\frac{m}{n}}$ .

A continuación se describe cómo se escribe cada una de estas formas en términos de radicales.

Formas de exponentes racionales

Hay dos formas de exponentes racionales que debemos considerar aquí. En cada caso, expondremos la técnica utilizada para simplificar cada forma, seguida de varios ejemplos trabajados para demostrar cada método.

Caso 1

Si a es un número real y n ≥ 2, entonces

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Escribe lo siguiente en su forma radical

$a^{\frac{1}{3}}$ y ${(4 b)}^{\frac{1}{5}}$

Soluciones

1. $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$

2. ${(4 b)}^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{4 b}$

Expresa lo siguiente en su forma exponencial

$\sqrt[7]{x}$ y $\sqrt{2 y}$

Soluciones

1. $\sqrt[7]{x} = x^{\frac{1}{7}}$

2. $\sqrt{2 y} = {(2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Caso 2

Para cualquier número entero positivo m y n

a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Escribe lo siguiente en su forma radical

a^{\frac{2}{3}}

{(7 b)}^{\frac{5}{4}}

Soluciones

1. $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^{2}}$ que es lo mismo que $a^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{a})}^{2}$ .

2. ${(7 b)}^{\frac{5}{4}} = {(\sqrt[4]{7 b})}^{5}$

Por la regla de potencia, obtenemos

${(\sqrt[4]{7 b})}^{5} = {(\sqrt[4]{7})}^{5} {(\sqrt[4]{b})}^{5}$

Simplificando aún más, nuestra forma final es

${(\sqrt[4]{7})}^{5} {(\sqrt[4]{b})}^{5} = 7 (\sqrt[4]{7}) (\sqrt[4]{b^{5}})$

Expresa lo siguiente en su forma exponencial

$\sqrt[5]{x^{8}}$ y ${(\sqrt[8]{2 y})}^{3}$

Soluciones

1. $\sqrt[5]{x^{8}} = x^{\frac{8}{5}}$

2. ${(\sqrt[8]{2 y})}^{3} = {(2 y)}^{\frac{3}{8}}$

Evaluación de expresiones con exponentes racionales

En este apartado veremos algunos ejemplos trabajados que demuestran cómo podemos resolver expresiones en las que intervienen exponentes racionales.

Evalúa $27^{- \frac{1}{3}}$

Solución

Por la regla del exponente negativo,

27^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}}

Ahora, por la definición de Exponentes Racionales

$\frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Simplificando, obtenemos

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}} = \frac{1}{3}$

Evalúa $64^{\frac{2}{3}}$

Solución

Por la regla de potencias,

64^{\frac{2}{3}} = 64^{2 \cdot \frac{1}{3}}

Ahora, con la definición de Exponentes Racionales

$64^{2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64^{2}}$

Simplificando se obtiene

$\sqrt[3]{64^{2}} = \sqrt[3]{{(4^{3})}^{2}} = \sqrt[3]{4^{3} \cdot 4^{3}}$

Simplificando aún más esta expresión, tenemos

$\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4^{3}} = 4 \cdot 4 = 16$

Ejemplo del mundo real

El radio, r, de una esfera con volumen, V, viene dado por la fórmula

$r = {(\frac{3 V}{4 π})}^{\frac{1}{3}}$ .

¿Cuál es el radio de una esfera si su volumen es de 24 unidades3^?

Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Dada la fórmula anterior, el radio de una bola cuyo volumen es de 24 unidades3^viene dado por

$r = {(\frac{3 (24)}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = {(\frac{72}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = {(\frac{18}{π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = \sqrt[3]{(\frac{18}{π})} \Rightarrow r = 1.789400458 u n i t s$

Por tanto, el radio es de aproximadamente 1,79 unidades (correcto con dos decimales).

Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar exponentes racionales

Ahora que ya hemos establecido las propiedades de los exponentes, apliquemos estas reglas para simplificar exponentes racionales. A continuación te mostramos algunos ejemplos prácticos.

Simplifica lo siguiente.

$x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

Solución

Por la regla del producto

$x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{13}{15}}$

Simplifica la expresión siguiente.

${(x^{4})}^{\frac{3}{7}}$

Solución

Por la regla de la potencia

${(x^{4})}^{\frac{3}{7}} = x^{4 \cdot \frac{3}{7}} = x^{\frac{12}{7}}$

Simplifica lo siguiente.

\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{9}}}

Solución

Por la regla del cociente

$\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{9}}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{9}} = x^{\frac{23}{36}}$

Simplifica la siguiente expresión.

${(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{2}}$

Solución

Por la regla del producto a la potencia

${(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{8}}$

Simplifica lo siguiente

${(\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

Solución

Por la regla del producto

${(\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{{x^{\frac{1}{2}}}^{+ \frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

Seguido de la Regla del Cociente

${(\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{5}{4} - (- \frac{3}{2})}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{11}{4}}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

A continuación, por la regla del producto a la potencia

${(\frac{x^{\frac{11}{4}}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = \frac{x^{\frac{11}{4} \cdot \frac{1}{3}}}{y^{- \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{11}{12}}}{y^{- \frac{5}{12}}}$

Por último, por la regla del exponente negativo

$\frac{x^{\frac{11}{12}}}{y^{- \frac{5}{12}}} = \frac{x^{\frac{11}{12}}}{(\frac{1}{y^{\frac{5}{12}}})} = x^{\frac{11}{12}} \cdot y^{\frac{5}{12}}$

Expresiones con exponentes racionales

Para determinar si una expresión en la que intervienen exponentes racionales está totalmente simplificada, la solución final debe cumplir las siguientes condiciones:

Condición	Ejemplo
No hay exponentes negativos	En lugar de escribir ^3-2, debemos simplificarla como $\frac{1}{3^{2}}$ por la regla del exponente negativo
El denominador no tiene forma de exponente fraccionario	Dado que $\frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$ deberíamos expresarlo como $\frac{3}{\sqrt{4}}$ por la definición de exponentes racionales
No es una fracción compleja	En lugar de escribir $\frac{5}{\frac{3}{\sqrt{2}}}$ podemos simplificarlo como $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ ya que $\frac{5}{\frac{3}{\sqrt{2}}} = 5 \div \frac{3}{\sqrt{2}} = 5 \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
El índice de cualquier radical restante es el menor número posible	Digamos que tenemos un resultado final de $\sqrt{32}$ . Podemos reducirlo aún más observando que $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

Propiedades de los exponentes racionales - Puntos clave

Una expresión radical es una función que contiene una raíz cuadrada.
Los exponentes racionales son exponentes que pueden expresarse de la forma $\frac{p}{q}$ donde q ≠ 0.
Formas de exponentes racionales
Forma Representación
$a^{\frac{1}{n}}$ Si a es un número real y $n \geq 2$ $\Rightarrow a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
$a^{\frac{m}{n}}$ Para cualquier número entero positivo m y n $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ o $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Propiedades de los exponentes

Propiedad	Derivación
Regla del producto	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Regla de la potencia	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Regla del producto a la potencia	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$
Regla del cociente	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$
Regla del exponente cero	$a^{0} = 1$
Regla del cociente a la potencia	${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
Regla del exponente negativo	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

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Preguntas frecuentes sobre Exponentes racionales

¿Qué son exponentes racionales?

Los exponentes racionales son fracciones donde el numerador indica la potencia y el denominador la raíz.

¿Cómo se simplifican los exponentes racionales?

Para simplificar exponentes racionales, convierte la fracción a una expresión usando potencias y raíces.

¿Cuál es la diferencia entre exponentes enteros y racionales?

A diferencia de los enteros, los exponentes racionales pueden representar raíces además de potencias.

¿Cómo resolver exponentes racionales con base negativa?

Para bases negativas, verifica si el exponente es fracción par o impar para determinar si el resultado es real o complejo.

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