En este artículo hablaremos de expresiones, de cómo son y de cómo factorizarlas y simplificarlas.
Definición de una expresión
Una expresión puede utilizarse para describir una situación en la que existe un Número desconocido o un valor variable. Ayuda a resolver problemas del mundo real de forma más simplificada y explícita.
Un valor variable es un valor que cambia con el tiempo.
Para construir una expresión de este tipo, tendrías que determinar qué cantidad es desconocida en la circunstancia, y luego definir una variable para representarla. Antes de profundizar en este tema, definamos primero las expresiones.
Las expresiones son enunciados matemáticos que tienen al menos dos términos que contienen variables, números o ambos. Las expresiones son tales que contienen también, al menos, una operación matemática: suma, resta, multiplicación y división.
Veamos un ejemplo de expresión.
La siguiente es una expresión matemática,
\[2x+1\]
porque contiene una variable, \(x\), dos números, \(2\) y \(1\), y una operación matemática, \(+\).
Las expresiones están muy organizadas, de modo que una afirmación que tenga un operador justo después de otro no es una expresión válida. Por ejemplo
\[2x+\times 1.\]
También están organizadas en el sentido de que cuando se abre un paréntesis, tiene que haber un cierre. Por ejemplo
\[3(4x+2)-6\]
es una expresión válida. Sin embargo
\[6-4(18x\]
no es una expresión válida.
Componentes de una expresión
Las expresiones en Álgebra contienen al menos una variable, números y una operación aritmética. Sin embargo, hay bastantes términos relacionados con las partes de una expresión. Estos elementos se describen a continuación.
Variables: Las variables son las letras que representan un valor desconocido en un enunciado matemático.
Términos: Los términos son números o variables (o números y variables) que se multiplican y dividen entre sí y están separados por el signo de suma (+) o de resta (-).
Coeficiente: Los coeficientes son los números que multiplican a las variables.
Constante: Las constantes son los números de las expresiones que no cambian.
Componentes de una expresión
Ejemplos de expresiones
He aquí algunos ejemplos de expresiones matemáticas.
1) \((x+1)(x+3)\)
2) \(6a+3\)
3) \(6x-15y+12)
4) \(y^2+4xy)
5) \(\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\)
Observa que todas ellas contienen los componentes necesarios para ser consideradas expresiones. Todas tienen variables, números y al menos una operación matemática que las compone.
En concreto, en el primer ejemplo, encontrarás una multiplicación implícita en el paréntesis que une los dos términos \(x+1\) y \(x+3\); por tanto, es una expresión válida. En el cuarto ejemplo, en el segundo término, las variables \(x\) y \(y\) se multiplican y se escribe como \(xy\). Por tanto, ésa también es una expresión válida.
Escribir expresiones
En este segmento de nuestro debate, nos introduciremos en la escritura de expresiones, en particular en la traducción de problemas de palabras en problemas matemáticos. Esta habilidad es importante a la hora de resolver una pregunta determinada. Al hacerlo, ¡podemos visualizar cualquier cosa en términos de números y operaciones aritméticas!
Traducir problemas de palabras en expresiones
Dada una frase que ilustra un enunciado matemático, podemos traducirlos en expresiones que incluyan los componentes adecuados de las expresiones que habíamos mencionado antes y los símbolos matemáticos. La tabla siguiente muestra varios ejemplos de problemas de palabras que se han traducido en expresiones.
Frase | Expresión |
Cinco más que un número | \[x+5\] |
Tres cuartos de un número | \[\frac{3y}{4}\] |
Ocho más que un número | \[a+8\] |
El producto de un número por doce | \[12z\] |
El cociente de un número y nueve | \[\frac{x}{9}\}] |
Tipos de expresiones matemáticas
Expresiones numéricas
Frente a lo que son las expresiones, hay expresiones que no contienen variables. Se llaman expresiones numéricas.
Las expresionesnuméricas son una combinación de números con operadores matemáticos que los separan.
Pueden ser tan largas como sea posible y contener también tantos operadores matemáticos como sea posible.
He aquí algunos ejemplos de expresiones numéricas.
1) \(13-3\)
2) \(3-7+14-9\)
3) \(12+\frac{4}{17}-2\times 11+1\)
4) \(4-2-1\)
Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas son expresiones que contienen incógnitas. Las inc ógnitas son variables que suelen representarse con letras. En la mayoría de los casos a lo largo de nuestro programa de estudios, estas letras son \(x\), \(y\) y \(z\).
Sin embargo, a veces también podemos obtener expresiones que incluyan letras griegas. Por ejemplo, \(\alfa), \(\beta) y \(\gamma). A continuación tienes varios ejemplos de expresiones algebraicas.
1) \(\frac{2x}{7}+3y^2\)
2) \(4\alfa-3\beta + 15\)
3) \(x^2+3y-4z)
Evaluación de expresiones matemáticas
En esta sección, nos introduciremos en la evaluación de expresiones matemáticas. Aquí resolveríamos esencialmente una expresión dada basándonos en las operaciones aritméticas entre los números o variables. Estas operaciones aritméticas básicas (o símbolos matemáticos) incluyen la suma, la resta, la multiplicación y la división. También veremos cómo estas operaciones pueden ayudarnos a factorizar y simplificar dichas expresiones.
Suma y resta de expresiones
La suma y la resta son las acciones principales que se realizan al sumar y restar Fracciones. Se realizan sobre términos semejantes. Aquí hay que tener en cuenta dos pasos, a saber
Paso1: Identificar y reordenar los términos semejantes para agruparlos.
Paso2: Sumar y restar términos semejantes.
A continuación se muestra un ejemplo práctico.
Suma las expresiones \(5a-7b+3c\) y \(-4a-2b+3c\).
Solución
Paso 1: Primero juntaremos las dos expresiones para poder reordenarlas.
\[5a-7b+3c+(-4a-2b+3c)\]
Entonces
\[5a-7b+3c-4a-2b+3c\]
A continuación
\[5a-4a-7b-2b+3c+3c\]
Paso 2: Ahora podemos sumar con éxito todos los términos semejantes.
\[a-9b+6c\]
Aquí tienes otro ejemplo práctico.
Suma las expresiones
\(7x^2+8y-9y\), \(3y+2-3x^2\) y \(3-y+3x^2\).
Solución
Paso 1: Las anotaremos para poder reordenarlas
\[7x^2+8y-9+3y+2-3x^2+3-y+3x^2\]
Entonces
\[7x^2+3x^2-3x^2+8y-y+3y-9+2+3\]
Paso 2: Suma los términos semejantes
\[7x^2+10y-4\]
Factorización de expresiones
Se trata de un elemento importante a la hora de tratar expresiones. Nos ayuda a agrupar términos semejantes para que podamos realizar operaciones aritméticas de forma más estructurada.
Factorizar es el proceso de invertir la expansión de los paréntesis.
La forma factorizada de las expresiones siempre está entre paréntesis. El proceso consiste en sacar los máximos Factores Comunes (FCH) de todos los términos, de forma que al sacar los Factores y multiplicarlos por los valores entre paréntesis, lleguemos a la misma expresión que teníamos al principio.
Por ejemplo, supongamos que tienes la expresión siguiente
\[4x^2+6x\]
Observa aquí que los coeficientes de \(x^2\) y \(x\) tienen ambos un factor de 2, ya que 4 y 6 son divisibles por 2. Además, \ (x^2\) y \(x\) tienen un factor común de \(x\). Por lo tanto, puedes quitar estos dos factores de esta expresión, haciendo que la forma de las fábricas sea equivalente a
\[2x(2x+3)\}
Vamos a explicarlo de nuevo con otro ejemplo.
Factoriza la expresión
\[6x+9\]
Solución
Para factorizarla necesitamos hallar el HCF de \(6x\) y 9. Ese valor resulta ser 3. Por tanto, anotaremos el valor y tendremos en cuenta el paréntesis.
\[3(?+?)\]
El signo del paréntesis anterior se obtiene del signo de la expresión inicial. Para saber qué valores debe haber en los paréntesis, dividiremos por 3 los términos de las expresiones de las que hemos factorizado el 3.
\[\frac{6x}{3}=2x\]
y
\[\frac{9}{3}=3\]
Entonces, llegaremos a
\[3(2x+3)\]
Podemos evaluar si la respuesta que tenemos es correcta expandiendo los paréntesis.
\[(3 veces 2x)+(3 veces 3)=6x+9\]]
¡como teníamos antes!
Veamos un ejemplo más.
Simplifica la expresión
\[3y^2+12y\]
Solución
Tendremos que hallar el HCF. Normalmente, éstos se pueden descomponer aunque al principio resulten un poco complejos. Observando los coeficientes, nos damos cuenta de que 3 es el HCF. Lo sacaremos fuera del paréntesis.
\[3(?+?)\]
Ahora podemos dividir la expresión de la que se ha factorizado el 3 por el 3.
\[\frac{3y^2}{3}=y^2\]
y
\[\frac{12y}{3}=4y\]
Esto nos deja la expresión
\[3(y^2+4y)\]
Sin embargo, si observamos detenidamente la expresión, nos daremos cuenta de que se puede factorizar aún más. \La expresión 3(y) se puede factorizar a partir de la expresión entre paréntesis.
\[3y(?+?)\]
Repasaremos de nuevo el proceso dividiendo los valores de los que se ha factorizado y por \(y\).
\[\frac{y^2}{y}=y\]
y
\[\frac{4y}{y}=4\]
Esto nos deja la expresión final en su forma factorizada;
\[3y(y+4)\}]
Podemos evaluarla expandiendo los paréntesis.
\[(3veces y)+(3veces 4)=3y^2+12y\]
que, de nuevo, es lo que teníamos al principio.
Expresiones simplificadoras
El término simplificar procede de la raíz de la palabra "simple". Como sugiere la palabra, simplificar una expresión dada nos permite resolverlas de forma más eficiente. Cuando simplificamos una expresión, la estamos reduciendo a una forma más simple mediante la cancelación de los factores comunes y la reagrupación de los términos que comparten la misma variable.
Simplificarexpresiones es el proceso de escribir expresiones en sus formas más compactas y sencillas, de modo que se mantenga el valor de la expresión original.
Esto evita todo el trabajo prolongado que podrías tener que realizar y que puede dar lugar a errores por descuido no deseados. Seguro que ahora no querrías tener ningún error aritmético, ¿verdad?
Para simplificar expresiones hay que seguir tres pasos.
Elimina los paréntesis multiplicando los factores (si los hay);
Elimina los exponentes utilizando las reglas de los exponentes;
Sumar y restar términos semejantes.
Veamos algunos ejemplos prácticos.
Simplifica la expresión
\3x+2(x-4).
Solución
Aquí, primero operaremos sobre los paréntesis multiplicando el factor (fuera del paréntesis) por lo que hay entre los paréntesis.
\[3x+2x-8\]
Sumaremos los términos semejantes, lo que nos dará nuestra forma simplificada como
\[5x-8\]
que, efectivamente, tiene el mismo valor que la expresión que teníamos al principio.
He aquí otro ejemplo.
Simplifica la expresión
\[x(4-x)-x(3-x).\]
Solución
En este problema nos ocuparemos primero de los paréntesis. Multiplicaremos los factores por los elementos de los paréntesis.
\[x(4-x)-x(3-x)\]
Esto da como resultado
\[4x-x^2-3x+x^2\]
Aquí podemos seguir adelante para reordenarlos de forma que los términos semejantes se agrupen cerca unos de otros.
\[4x-3x-x^2+x^2\]
Hagamos ahora las sumas y restas, que a su vez nos dejarán
\[4x-3x-x^2+x^2=x\]
Expresiones - Puntos clave
- Las expresiones son enunciados matemáticos que tienen al menos dos términos que contienen variables, números o ambos.
- Los términos son números o variables, o números y variables que se multiplican entre sí.
- Las expresiones numéricas son una combinación de números con operadores matemáticos que los separan.
- La factorización es el proceso de invertir la expansión de los paréntesis.
- El proceso de factorización consiste en sacar los máximos factores comunes (MHC) de todos los términos, de forma que al sacar los factores y multiplicarlos por los valores de los paréntesis, lleguemos a la misma expresión que teníamos al principio.
- Simplificar expresiones es el proceso de escribir expresiones en sus formas más compactas y sencillas, de modo que se mantenga el valor de la expresión original.
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