Expresiones Lineales: Álgebra, Ecuaciones

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¿Qué son las expresiones lineales?

Las expresiones lineales son expresiones algebraicas que contienen constantes y variables elevadas a la potencia de 1.

Por ejemplo $x + 4 - 2$ es una expresión lineal porque la variable $x$ también es una representación de $x^{1}$ . En el momento en que existe $x^{2}$ deja de ser una expresión lineal.

He aquí algunos ejemplos más de expresiones lineales:

1. $3 x + y$

2. $x + 2 - 6$

3. $34 x$

¿Qué son las variables, los términos y los coeficientes?

Las variables son las letras componentes de las expresiones. Son lo que diferencia las operaciones aritméticas de las expresiones. Los términos son los componentes de las expresiones que se separan por adición o sustracción, y los coeficientes son los factores numéricos que multiplican a las variables.

Por ejemplo, si nos dieran la expresión $6 x y + (- 3)$ , x e y podrían identificarse como los componentes variables de la expresión. El número 6 se identifica como el coeficiente del término $6 x y$ . El número $- 3$ se denomina constante. Los términos identificados aquí son $6 x y$ y $- 3$ .

Podemos tomar algunos ejemplos y clasificar sus componentes en variables, coeficientes o términos.

$\frac{4}{5} y + 14 x - 3$
$2^{} - 4 x$
$\frac{1}{2} + x y^{}$

Variables	Coeficientes	Constantes	Términos
x e y	$\frac{4}{5} a n d 14$	-3	$\frac{4}{5} y, 14 x a n d - 3$
x	-4	2	$2^{} a n d - 4 x$
x e y	1 (aunque no se muestre, técnicamente es el coeficiente de xy)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} a n d x y$

Las variables son lo que diferencia las expresiones de las operaciones aritméticas

Escribir expresiones lineales

Escribir expresiones lineales consiste en escribir las expresiones matemáticas a partir de problemas de palabras. La mayoría de las veces hay palabras clave que ayudan a saber qué tipo de operación hay que hacer al escribir una expresión a partir de un problema de palabras.

Operación	Suma	Resta	Multiplicación	División
Palabras clave	Sumado aMásSuma deAumentado porTotal deMás de	Restado deMenosMenos queDiferenciaDisminuido porMenos queQuitado	Multiplicado porVecesProducto deVeces de	Dividido porCociente de

Podemos pasar a poner ejemplos de cómo se hace.

Escribe la frase siguiente como una expresión.

$14$ más que un número $x$

Solución:

Esta frase sugiere que sumemos. Sin embargo, debemos tener cuidado con la posición. 14 más que $x$ significa que se añade 14 a un número determinado $x$ .

$14 + x$

Escribe la frase siguiente como una expresión.

La diferencia de 2 y 3 veces un número $x$ .

Solución:

Aquí debemos fijarnos en nuestras palabras clave, "diferencia" y "veces". "Diferencia" significa que vamos a restar. Por tanto, vamos a restar 3 veces un número de 2.

$2 - 3 x$

Simplificar expresiones lineales

Simplificar expresiones lineales es el proceso de escribir expresiones lineales en sus formas más compactas y sencillas, de modo que se mantenga el valor de la expresión original.

Hay unos pasos a seguir cuando se quieren simplificar expresiones, y son los siguientes

Eliminar los paréntesis multiplicando los factores si los hay.
Sumar y restar los términos semejantes.

Simplificar la expresión lineal.

$3 x + 2 (x - 4)$

Solución:

Aquí, primero operaremos sobre los paréntesis multiplicando el factor (fuera del paréntesis) por lo que hay entre los paréntesis.

$3 x + 2 x - 8$

Sumaremos los términos semejantes.

$5 x - 8$

Esto significa que la forma simplificada deid="5109803" role="math" $3 x + 2 (x - 4)$ isid="5109804" role="math" $5 x - 8$ y poseen el mismo valor.

Las ecuaciones lineales son también formas de expresiones lineales. Expresiones lineales es el nombre que engloba las ecuaciones lineales y las inecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales son expresiones lineales que poseen un signo igual. Son las ecuaciones de grado 1. Por ejemplo, id="5109805" role="math" $x + 4 = 2$ . Las ecuaciones lineales tienen la forma estándar

$a x + b y = c$

whereid="5109813" role="math" $a$ andid="5109807" role="math" $b$ son coeficientes

$x$ y $y$ son variables.

$c$ es constante.

Sin embargo $x$ también se conoce como intersección x, mientras que $y$ es también la intersección y. Cuando una ecuación lineal posee una variable, la forma estándar se escribe como;

$a x + b = 0$

donde $x$ es una variable

$a$ es un coeficiente

$b$ es una constante.

Graficación de ecuaciones lineales

Como ya hemos dicho antes que las ecuaciones lineales se representan gráficamente en línea recta, es importante saber que con una ecuación de una variable, las rectas de las ecuaciones lineales son paralelas al eje x porque sólo se tiene en cuenta el valor x. Las líneas graficadas a partir de ecuaciones de dos variables se colocan donde las ecuaciones exigen que se coloque, aunque siguen siendo rectas. Podemos seguir adelante y tomar un ejemplo de ecuación lineal en dos variables.

Traza la gráfica de la línea id="5109817" role="math" $x - 2 y = 2$ .

Solución:

En primer lugar, convertiremos la ecuación a la forma id="5109818" role="math" $y = m x + b$ .

De este modo, podremos saber también cuál es la intersección y.

Esto significa que haremos de y el sujeto de la ecuación.

$x - 2 y = 2$

$- 2 y = 2 - x$

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{2}{- 2} - \frac{x}{- 2}$

$y = \frac{x}{2} - 1$

Ahora podemos explorar los valores de y para distintos valores de x, ya que también se considera función lineal.

Así que toma x = 0

Esto significa que sustituiremos x en la ecuación para hallar y.

$y = \frac{0}{2} - 1$

y = -1

Toma id="5109819" role="math" $x = 2$

$y = \frac{2}{2} - 1$

y = 0

Toma x = 4

$y = \frac{4}{2} - 1$

y = 1

Lo que esto significa en realidad es que cuando

x = 0, y = -1

x = 2, y = 0

x = 4, y = 1

y así sucesivamente.

Ahora dibujaremos nuestra gráfica e indicaremos dónde están los ejes x e y.

Después trazaremos los puntos que tenemos y dibujaremos una recta que los atraviese.

Expresiones lineales, Graficar, StudySmarter Gráfica de la recta x - 2y = 2

Resolución de ecuaciones lineales

Resolver ecuaciones lineales implica encontrar los valores de x y/o y en una ecuación dada. Las ecuaciones pueden ser de una o dos variables. En la forma de una variable $x$ , que representa la variable, se hace el sujeto y se resuelve algebraicamente.

Con la forma de dos variables, se requiere otra ecuación para poder darte valores absolutos. Recuerda que en el ejemplo en el que resolvimos los valores de $y$ cuando $x = 0, y = - 1$ . y cuando $x = 2$ , $y = 0$ . Esto significa que mientras $x$ era diferente $y$ también iba a ser diferente. Podemos tomar un ejemplo para resolverlos a continuación.

Resuelve la ecuación lineal

3 y - x = 7 10 y + 3 x = - 2

Solución:

La resolveremos por sustitución. Haz que $x$ el sujeto de la ecuación en la primera ecuación.

$3 y - 7 = x$

Sustitúyela en la segunda ecuación

$10 y + 3 (3 y - 7) = - 2$

$10 y + 9 y - 21 = - 2$

19 y = - 2 + 21

$19 y = 19$

y = 1

Ahora podemos sustituir este valor de y en una de las dos ecuaciones. Elegiremos la primera ecuación.

$3 (1) - x = 7$

$3 - x = 7$

$- x = 7 - 3$

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$x = - 4$

Esto significa que con esta ecuación, cuando $x = - 4, y = 1$

Esto se puede evaluar para ver si la afirmación es cierta

Podemos sustituir los valores de cada variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones. Tomemos la segunda ecuación.

$10 y + 3 x = - 2$

$x = - 4$

$y = 1$

$10 (1) - 3 (- 4) = - 2$

$10 - 12 = - 2$

$- 2 = - 2$

Esto significa que nuestra ecuación es verdadera si decimos $y = 1$ cuando $x = - 4$ .

Desigualdades lineales

Son expresiones que se utilizan para hacer comparaciones entre dos números utilizando los símbolos de desigualdades como $<, >, \neq$ . A continuación veremos qué son los símbolos y cuándo se utilizan.

Nombre del símbolo	Símbolo	Ejemplo
No es igual	≠	$y \neq 7$
Menos que	<	$2 x < 4$
Mayor que	>	$2 > y$
Menor o igual que	≤	$1 + 4 x \leq 9$
Mayor o igual que	≥	$3 y \geq 9 - 4 x$

Resolución de inecuaciones lineales

El objetivo principal de la resolución de desigualdades es encontrar el intervalo de valores que satisfacen la desigualdad. Esto significa matemáticamente que la variable debe quedar a un lado de la desigualdad. La mayoría de las cosas que se hacen con las ecuaciones también se hacen con las desigualdades. Cosas como la aplicación de la regla de oro. La diferencia aquí es que algunas actividades operativas pueden cambiar los signos en cuestión de modo que < se convierta en >, > se convierta en <, ≤ se convierta en ≥, y ≥ se convierta en ≤. Estas actividades son;

Multiplicar (o dividir) ambos lados por un número negativo.
Intercambiar los lados de la desigualdad.

Simplifica la desigualdad lineal $4 x - 3 \geq 21$ y resuelve para $x$ .

Solución:

Primero tienes que sumar 3 a cada lado,

$4 x - 3 + 3 \geq 21 + 3$

$4 x \geq 24$

y luego dividir cada lado por 4.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{24}{4}$

El símbolo de desigualdad permanece en la misma dirección.

$x \geq 6$

Cualquier número 6 o mayor es una solución de la desigualdad $4 x - 3 \geq 21$ .

Expresiones lineales - Puntos clave

Las expresiones lineales son aquellos enunciados en los que cada término es una constante o una variable elevada a la primera potencia.
Las ecuaciones lineales son las expresiones lineales que poseen el signo igual.
Las inecuaciones lineales son aquellas expresiones lineales que comparan dos valores utilizando los símbolos <, >, ≥, ≤ y ≠.

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¿Cuál de ellas es una expresión lineal?

3x = 4

Di si el enunciado es una ecuación lineal o una desigualdad.

3x + 1 > 9 - 3(2)

Desigualdad lineal

Di si el enunciado es una ecuación lineal o una desigualdad.

x - 6 = 12

Ecuación lineal

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Preguntas frecuentes sobre Expresiones Lineales

¿Qué es una expresión lineal?

Una expresión lineal es una ecuación de primer grado con una variable, representada como ax + b = 0.

¿Cómo se resuelve una expresión lineal?

Para resolver una expresión lineal, despejamos la variable. Ejemplo: ax + b = 0, x = -b/a.

¿Cuál es la diferencia entre una expresión lineal y una ecuación cuadrática?

Una expresión lineal es de primer grado (ax + b), mientras que una ecuación cuadrática es de segundo grado (ax² + bx + c).

¿Cuáles son los elementos de una expresión lineal?

Los elementos de una expresión lineal son el coeficiente de la variable (a), la variable (x) y la constante (b).

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