Definición de expresiones racionales
¿Cuál es entonces la definición de las expresiones racionales? Pues...
Una expresión racional es una expresión cuyo numerador y denominador son polinomios.
A partir de esta definición, ¿cuáles de estas crees que son expresiones racionales?
\( (1) \)\[ \frac{2x}{x+1} \]
\((2) \)\[ \frac{x^3 + 3x^2 + x + 12}{x^2 + 3x + 5} \}
\( (3) \)\[ \frac{cuadrado{3x}}{4x^2} \}
¡\((1)\) y \( (2) \)! ¿Lo has entendido bien? El número \(3\) no es una expresión racional porque el numerador no es un polinomio.
Ahora que hemos aprendido a reconocer las Funciones Racionales, deberíamos saber cómo clasificarlas. Esto no es demasiado complicado, ya que sólo hay que recordar dos categorías: Funciones Racionales propias e impropias.
¿Reconoces estos términos de alguna parte? Bueno, ¡también son dos categorías de fracciones!
Con las fracciones, puedes recordar que una fracción propia tiene un grado mayor en el denominador que en el numerador, y que una fracción impropia tiene un numerador mayor que el denominador.
\[ \frac{2}{3} \text{ es una Fracción Propia} \]
\es una fracción impropia].
Pues bien, las expresiones racionales son muy parecidas. De hecho, una expresión racional propia tiene un grado mayor el denominador que el numerador, y una expresión racional impropia tiene un grado mayor en el numerador que en el denominador.
\text{ es una Expresión Racional Propia} \text{ es una Expresión Racional Propia} \text{ es una Expresión Racional Propia} \text{ es una Expresión Racional Propia} \text{ es una Expresión Racional Propia].
|frac{3x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + 2x + 4} {texto} es una expresión racional impropia. \es una expresión racional impropia. \]
El grado de un polinomio es la mayor potencia de cualquier término del polinomio.
Simplificación de expresiones racionales
A veces, puedes tener una expresión racional que no esté en su forma más simple. En casos así, tu trabajo consiste en simplificarlas. Esto suele implicar cancelar los factores comunes del numerador y el denominador.
Tomemos, por ejemplo, la siguiente expresión racional.
\[ \frac{x(x+1)}{x(2x+7)} \]
¿Qué factor común comparten el numerador y el denominador? \( x \) ¡por supuesto! Igual que cuando simplificas fracciones, cuando encuentras un factor común entre el numerador y el denominador, puedes sacarlo y cancelarlo:
\[ \frac{x(x+1)}{x(2x+7)} = \frac{{cancelar{x}(x+1)}{{cancelar{x}(2x+7)} .\]
Así que tu expresión racional simplificada es
\[ \frac{(x+1)}{(2x+7)}. \]
Veamos algunos ejemplos más.
Simplifica las siguientes expresiones racionales.
(a)
\[ \frac{10(3x+2)(x-1)}{5(4x - 7)(x-1)} \frac].
(b)
\[ \frac{(2x-3)(x+4)}{(2x - 3)} \} (b)
(c)
\[ \frac{(3x-10)}{2(3x-10)} \]
Solución:
(a)
La expresión racional puede simplificarse anulando los factores comunes, \(5\) y \((x-1)\). Eso te da
\[ \nvuelve a {align} \frac{10(3x+2)(x-1)}{5(4x - 7)(x-1)} &= \frac{5\cdot2(3x+2)(x-1)}{5(4x-7)(x-1)} &= \frac{\cancelar{5} \cdot2(3x+2){{cancelar{(x-1)}} {{cancelar{5}(4x - 7){{cancelar{(x-1)}} &= \frac{2(3x+2)}{(4x - 7)} .\end{align} \]
(b)
La expresión racional puede simplificarse anulando el factor común, \((2x-3)\), para obtener
\[\iniciar{alinear} \frac{(2x-3)(x+4)}{(2x - 3)} &= \frac{{cancelar{(2x-3)}(x+4)}{{cancelar{(2x - 3)}}. \\ y= frac {(x+4)} {1} \\ &= x+4 fin{align} \]
(c)
La expresión racional puede simplificarse anulando el factor común, \((3x-10)\), para obtener
\[ \iniciar{señalar} \frac{(3x-10)}{2(3x-10)} &= \frac{{cancelar{(3x-10)}}{2{cancelar{(3x-10)}}. \\ &= \frac{1}{2} .\end{align}\]
Factorización de expresiones racionales
Los ejemplos anteriores no eran demasiado complicados de simplificar. Sólo había que encontrar los factores comunes en el numerador y el denominador y anularlos. Pues bien, las expresiones racionales no siempre tienen esa bonita forma factorizada simple. Por suerte, esto es algo que puedes hacer tú mismo.
Si factorizas los polinomios numerador y denominador de una expresión racional, a menudo encontrarás un término común entre ambos que puedes cancelar para simplificar.
Veamos algunos ejemplos. Si necesitas que te refresquemos la memoria sobre cómo factorizar polinomios, visita nuestra explicación sobre Factorización de polinomios.
Factoriza y luego simplifica las siguientes expresiones racionales.
(a)
\[ \frac{ x^2 -2x - 8 }{ x^2 + 5x + 6 } \]
(b)
\[ \frac{x^2 -2x - 3 }{x^2 -4x +3} \] (b)
(c)
\[ \frac{x^3 - x}{ x^2 - x } \]
Solución:
(a)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar el factor común de \((x+2)\). Así que
\[ \begin{align} \frac{ x^2 -2x - 8 }{ x^2 + 5x + 6 } &= \frac{(x+2)(x-4)}{(x+2)(x+3)} \frac{{cancelar{(x+2)}(x-4)}{cancelar{(x+2)}(x+3)} &= \frac{x-4}{x+3} .\final{align} \]
(b)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar el factor común de \((x-3)\), de modo que
\[ \iniciar{alinear} \frac{x^2 -2x - 3 }{x^2 -4x +3} &= \frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x-3)} &= \frac{(x+1)\cancel{(x-3)}}{(x-1)\cancel{(x-3)}}. \\y= frac{x+1}{x-1}.end \]
(c)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar los factores comunes, \(x\) y \( (x-1)\). Eso te da
\[ \nomenzar{alinear} \frac{x^3 - x}{ x^2 - x } &= \frac{x(x^2-1)}{x(x - 1)} &= \frac{x(x^2-1)}{x(x - 1)} &= \frac{x(x+1)(x-1)}{x(x - 1)} \frac{{cancelar{x}(x+1){{cancelar{(x-1)}}{{cancelar{x}{cancelar{(x - 1)}} \\ &= x + 1. \fin{align} \]
Expresiones racionales equivalentes
Quizá recuerdes haber trabajado con fracciones equivalentes. Es decir, fracciones con distintos denominadores que son iguales en valor. Por ejemplo
\[\frac{2}{4} = \frac{4}{8}.\]
Empezando por un lado de la ecuación, puedes reescribirla por pasos hasta llegar al otro lado. Para esta fracción puedes empezar por el lado derecho y demostrar que
\[\begin{align} \frac{4}{8} &= \frac{2\cdot 2 }{2 \cdot 2 \cdot 2} \frac{{cancelar{2}{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot \cancelar{2}} &= \frac{ 2}{2 \cdot 2 }{2 \cdot 2}. \\ &= \frac{2}{4}. \end{align}\]
Observa que has dejado de cancelar antes de terminar de cancelar todo. Esto se debe a que el objetivo es que se parezca al lado izquierdo de la ecuación, no cancelarlo todo.
Las expresiones racionales equivalentes funcionan de forma muy similar. Empieza por un lado y trabaja con él hasta que consigas que se parezca al otro lado.
Veamos un ejemplo.
¿Son equivalentes entre sí los siguientes pares de expresiones racionales?
(a) \frac[ \frac{x^2 + 2}{x^2 - 4}, \text{ y } \frac{2x^2 + 4}{2x^2 - 8}].
(b) \frac {(x-2)}{(x-2)(x+4)}, \text{ y \frac {(x+4)}{(x+4)^2}].
(c) \frac{x^2 + 2x + 1}{x}, \text{ y } \frac{x^2 + 2x + 1}{3x}}
Solución:
(a)
Conviene empezar por la de aspecto más complicado. Entonces
\[ \begin{align} \frac{2x^2 + 4}{2x^2 - 8} &={frac{2(x^2+2)}{2(x^2-4)} \frac{{cancelar{2}(x^2+2)}{{cancelar{2}(x^2-4)} . \fin{align}\]
Como has llegado a la otra expresión, has terminado y las expresiones racionales son equivalentes.
(b)
Otra forma de hacerlo es simplificar ambas expresiones racionales y ver si obtienes lo mismo. El numerador y el denominador de la primera expresión racional tienen un factor común de \((x-2)\), así que
\[\begin{align} \frac{(x-2)}{(x-2)(x+4)} &= \frac{{cancelar{(x-2)}}{{cancelar{(x-2)}(x+4)} &= \frac{1}(x+4)}. \end{align}\]
El numerador y el denominador de la segunda expresión racional tienen un factor común de \((x+4)\), por lo que
\[ \iniciar{alinear} \&= \frac{(x+4)}{(x+4)^2} &= \frac{(x+4)}{(x+4)(x+4)} &= \frac{1\cdot \frac{(x+4)}{(x+4)\frac(x+4)}{(x+4)}{(x+4)}{(x+4)}{(x+4)}{(x+4)}(x+4)}(x+4)}(x+4)}(x+4)}) \\ &= \frac{1}{(x+4)}. \end{align}\]
Como has obtenido lo mismo tras simplificar ambas, son expresiones racionales equivalentes.
(c)
Las dos expresiones racionales tienen el mismo numerador pero distinto denominador, por lo que no son iguales y, por tanto, no son expresiones racionales equivalentes.
Ejemplos con expresiones racionales
Veamos algunos ejemplos más para practicarlo todo.
¿Los siguientes términos son expresiones racionales?
( a) \[ \frac{4x^2 - 2}{x} \]
( b) \[ \frac{2}{2x - 4} \]
(c) \[2x + 5\]
Solución:
(a) Sí, ya que el numerador y el denominador son polinomios.
(b) Sí, ya que el numerador y el denominador son polinomios.
(c) Sí, ya que se puede escribir como
\[\frac{2x+5}{1}\]
Veamos cómo clasificar las expresiones racionales como propias o impropias.
Clasifica las siguientes expresiones racionales como propias o impropias .
(a ) \[ \frac{2x + 10}{x^2 - x + 20} \]
( b) \[ \frac{x^2}{10x} \]
(c) \frac[ \frac{4x^4 + 3x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x}{x^2 - 3x + 2} \}
(d) \frac[ \frac{1}{x+3}]
Solución:
(a) Correcta, ya que el grado del numerador es \(1\) que es menor que el grado del denominador que es \(2\).
(b) Inadecuada, ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
(c) Improcedente, ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
( d) Correcto, ya que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
¿Y la simplificación de expresiones racionales?
Simplifica las siguientes expresiones racionales.
( a) \[ \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} \].
( b) \[ \frac{x(3x + 5)}{x(4x - 1)} \]
(c) \[ \frac{(x-5)(x^3 + 2x^2 + 3)}{x^3 + 2x^2 + 3} \}
Solución:
(a)
El numerador y el denominador tienen factores comunes, \((x-1)\) y \((x-2)\). Se pueden anular para simplificar, obteniendo
\[ \inicio{alineación} \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} &=\frac{\cancel{(x-2)}(x+3)\cancel{(x-1)}}{x\cancel{(x-1)}\cancel{(x-2)}} \\ &= \frac{x+3}{x} . \end{align}\]
(b)
El numerador y el denominador tienen un factor común, \(x\)). Se puede anular para simplificar, obteniendo
\[ \iniciar{señalar} \frac{x(3x + 5)}{x(4x - 1)} &= \frac{cancelar{x}(3x + 5)}{cancelar{x}(4x - 1)} &= \frac{3x+5}{4x-1}. \fin].
(c)
El numerador y el denominador tienen un factor común, \((x^3 + 2x^2 + 3\)). Se puede anular para simplificar, obteniendo
\[\begin{align} \frac{(x-5)(x^3 + 2x^2 + 3)}{x^3 + 2x^2 + 3} &= \frac{(x-5)\cancel{(x^3 + 2x^2 + 3)}{{cancel{x^3 + 2x^2 + 3}}. \\ &= x-5. \end{align}\]
Veamos otro ejemplo.
Primero factorizándolas, simplifica las siguientes expresiones racionales.
( a) \[ \frac{2x^2 + 3 + 1}{2x+1} \]
( b) \[ \frac{x^2+6x+9}{x^2 + x - 6} \]
(c) \[ \frac{3x^3 + 8x^2 + 5x}{x^3 + 8x^2 + 7x} \]
Soluciones:
(a)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar el factor común, \((2x+1)\). Obtén la expresión racional simplificada anulando el factor común:
\[\Ncomienza{align} \frac{2x^2 + 3 + 1}{2x+1} &= \frac{(2x+1)(x+1)(2x+1)}{2x+1} \\ &= \frac{{cancelar{(2x+1)}(x+1)}{{cancelar{2x+1}} \\\x+1 &=x+1 .\end{align}\]
(b)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar los factores comunes, \(2\) y \((x+3)\). Obtén la expresión racional simplificada anulando el factor común:
\[x+3]. \frac{x^2+6x+9}{x^2 + x - 6} &= \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} \frac{(x+3)^{{cancel{2}}{{cancel{(x+3)}(x-2)} &= \frac{x+3}{x-2}. \end{align}\}]
(c)
Factorizando el numerador y el denominador, puedes hallar los factores comunes, \(x\) y \((x+1)\). Obtén la expresión racional simplificada anulando el factor común.
\[ \begin{align} \frac{3x^3 + 8x^2 + 5x}{x^3 + 8x^2 + 7x} &= \frac{x(3x + 5)(x+1)}{x(x+7)(x+1)} \frac{{cancelar{x}(3x + 5)}{cancelar{(x+1)}{cancelar{x}(x+7)}{cancelar{(x+1)}}. \\ &=frac{3x + 5}{x+7} .end{align} \]
Expresiones racionales - Puntos clave
- Las expresiones racionales son términos con polinomios como numerador y denominador.
- Las expresiones racionales correctas tienen un numerador de grado menor que el denominador.
- Las expresiones racionales incorrectas tienen un numerador de mayor grado que el denominador.
- Las expresiones racionales pueden simplificarse factorizando el numerador y el denominador, y luego cancelando los factores comunes.
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