Expresiones y Fórmulas

Evaluación de expresiones algebraicas con ejemplos

Tratándose de expresiones algebraicas, se utilizan sobre todo letras para representar números. Estas letras se llaman variables. La combinación de estas letras con números y operaciones matemáticas es lo que se denomina expresión algebraica. Utilizando \(x\) como variable, podemos ver algunos ejemplos de expresiones algebraicas.

1. \(2x + 1\)
2. \(23 - 5 + x^2\)
3. \(x^2+6x+(-3)\)

Variables, términos y coeficientes

Las variables son las letras componentes de las expresiones. Son los que distinguen las expresiones de las operaciones aritméticas. Los términos son los componentes de las expresiones que se separan mediante sumas o restas. Los coe ficientes son los factores numéricos que multiplican las variables.

Por ejemplo, si tuviéramos la expresión \(x^2y^2+6xy+(-3)\), podríamos identificar \(x\) y \(y\) como los componentes variables de la expresión. El número \(6\) se identifica como el coeficiente del término \(6xy\). El número \(-3\) se denomina constante. Los términos identificados aquí son \ (x^2y^2\), \(6xy\) y \(-3\).

Podemos tomar algunos ejemplos y clasificar sus componentes en variables, coeficientes o términos.

1. \(\frac{4}{5}y+14x-3\)
2. \(2^2-4x\)
3. \(\frac{1}{2}+x^2y^3\)

Reglas para evaluar expresiones

Las reglas que se siguen al evaluar expresiones se denominan también leyes de la expresión algebraica.

Regla de conmutatividad

La regla de conmutatividad se aplica a las operaciones de suma y multiplicación. Establece que la posición del término (número, variable, etc.) que sufre alguna de estas operaciones (suma o multiplicación) no es determinante del resultado. Esto significa que si vas a hallar la suma entre \(x\) y \(y\) o el producto entre \(x\) y \(y\), el resultado no cambiará aunque \(y\) se sitúe en primer lugar y \(x\) en segundo lugar en la operación.

A continuación, prueba los números con esto.

Observa que cuando la regla de conmutatividad implica la suma, se denomina conmutatividad aditiva. En cambio, cuando interviene la multiplicación, se denomina conmutatividad multiplicativa.

Regla de la asociatividad

La regla de la asociatividad se aplica tanto a las operaciones de suma como a las de multiplicación. Explica que la segregación o agrupación (mediante paréntesis o corchetes) no afecta al resultado de las sumas o productos. Esto significa que si se segregan \(x\) y \(y\) y se multiplican por separado antes de multiplicar con \(z\), sigue siendo equivalente a multiplicar un segregado de \(y\) y \(z\) antes de multiplicar con \(x\). Esta regla también se aplica a la suma.

Prueba con los números que aparecen a continuación.

Observa que cuando la regla de asociatividad implica la suma se denomina asociatividad aditiva. En cambio, cuando interviene la multiplicación, se denomina asociatividad multiplicativa.

Regla de distributividad

La ley de distributividad se aplica cuando las operaciones de suma y multiplicación se realizan simultáneamente (al mismo tiempo). Establece que cuando un término se multiplica por un segregado (agrupado entre paréntesis) que opera en adición, el resultado es equivalente a la suma del producto entre ese término y los componentes individuales del segregado. Los componentes individuales del segregado se conocen como sumandos. Esto implica que cuando un determinado término \(x\) se multiplica por una suma segregada de \(y\) y \(z\), es equivalente a la suma de los productos de \(x\) y \(y\), así como de \(x\) y \(z\).

Deberías ver el ejemplo siguiente, en el que se utilizan números, para tener una idea más clara.

Pasos para evaluar expresiones y fórmulas

Para evaluar una expresión, debes seguir dos pasos.

1. Sustituye el valor asignado a cada variable en la expresión. La mejor forma de hacerlo es utilizando paréntesis alrededor de cada valor sustituido.

2. Realiza operaciones en las expresiones utilizando el Orden de Operaciones.

Reglas de evaluación de fórmulas

Al igual que las reglas que se han utilizado antes para describir expresiones, las fórmulas se definen mediante las reglas de conmutatividad, asociatividad y distributividad. Sin embargo, en la evaluación de fórmulas es habitual una regla adicional. Se trata de la regla de la función inversa. Esta regla te ayuda a deshacer lo que se ha hecho para conseguir expresar un término de tu elección. En la tabla siguiente se enumeran algunas de las funciones inversas.

¿Cómo evaluar fórmulas?

Evaluar fórmulas no es tan distinto de cómo se evalúan las expresiones. Las fórmulas contienen variables, coeficientes, constantes y términos. Basta con sustituir un valor en una fórmula y operar aritméticamente con ellos. Veamos ejemplos de fórmulas y cómo se pueden evaluar.