Ejemplo 1: Factores
Observa que Cheryl podía organizar las fotos en la pared de cuatro maneras. La primera forma podía ser 1 x 24, la segunda 2 x 12, la tercera 3 x 8 y, por último, la que funcionaba: 4 x 6. Entonces, ¿qué implican estos productos de números? ¡Aquí es donde entra nuestro tema! Los números 1, 24, 2, 12, 3, 8, 4 y 6 se llaman factores de 24.
Factores de un número dado
Analicemos el concepto de factor e identifiquemos los factores de un número dado. Empezaremos con la definición de factor.
Un factor de un número entero dado es aquel que divide al número sin dejar resto. En otras palabras, los factores de un número dividen completamente al número.
Un factor es esencialmente un divisor de un número dado. Dividir un número por su divisor da como resultado un resto igual a cero. Como hemos visto, el número 24 tiene un total de 8 factores, a saber: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Ahora, prueba tú mismo: divide 24 entre cada uno de estos factores enumerados. Verás que al dividirlos, ¡no queda ningún resto!
Factores y números negativos
He aquí una pregunta: ¿pueden los factores ser números negativos? Algebraicamente, sí podemos dividir un número entre uno que sea negativo. Veamos los factores del número 6. Podemos factorizar 6 de las 2 formas siguientes: 1 × 6 y 2 × 3. Por tanto, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
Sabemos que el producto de dos números negativos da un número positivo. Teniendo esto en cuenta, nos encontramos con que los factores de 6 son, de hecho, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6, ya que -1 × (-6) y -2 × (-3) también equivalen a 6. Sin embargo, en este artículo no se tendrán en cuenta los factores negativos. Cuando tratemos problemas relacionados con los factores, sólo consideraremos los factores positivos.
Características de los factores
Hay varias propiedades importantes de los factores con las que debemos familiarizarnos. Se enumeran a continuación.
Existe un número finito de factores para un número dado.
El factor de un número dado siempre es menor o igual que él mismo.
Todo número tiene al menos dos factores, es decir, 1 y él mismo (excepto 0 y 1).
Podemos utilizar la división y la multiplicación para encontrar los factores.
¿Cuáles son los factores de 18?
Solución
Escribamos primero el par de divisores en el que su producto da 18:
1 × 18 = 18
2 × 9 = 18
3 × 6 = 18
Hay 6 factores del número 18, a saber, 1, 2, 3, 4, 9 y 18.
Para hallar los factores de 18 en este ejemplo, hemos utilizado el método de la multiplicación. Sin embargo, hay otra forma de abordar este problema. En el siguiente apartado lo veremos.
Identificar los factores de un número dado
Si nos fijamos en el consejo de Características de los factores, hay dos métodos que podemos utilizar para encontrar factores: la multiplicación y la división. Observemos sucesivamente ambas técnicas.
Encontrar factores mediante la multiplicación
Hay dos pasos para encontrar factores mediante la multiplicación.
Expresa el número entero dado como producto de dos números enteros. Debes considerar todas las formas posibles en que este número puede escribirse de esta manera;
Enumera todos los números que intervienen en estos productos. Estos son los factores del número dado.
Utiliza la multiplicación para encontrar los factores de 27.
Solución
Tenemos que buscar todas las formas posibles de escribir 27 como producto de dos números. Al hacerlo, obtenemos las siguientes combinaciones.
1 × 27 = 27
3 × 9 = 27
Todos los números que aparecen en estos productos de 27 son sus factores. Así pues, los factores de 27 son 1, 3, 9 y 27.
Encontrar factores mediante la división
En cuanto a la división, sigue un método de tres pasos.
Identifica todos los números enteros menores o iguales que el número entero dado.
Divide el número dado por cada uno de los números hallados en el Paso 1.
Escribe los divisores que dan un resto de 0. Éstos son los factores del número dado.
Utiliza la división para hallar los factores de 5.
Solución
Empecemos por enumerar todos los números positivos menores o iguales que 5. Son 1, 2, 3, 4 y 5. Ahora dividiremos 5 entre cada uno de estos números de uno en uno.
Dividiendo por 1: Dividiendo por 2: Dividiendo por 3Dividiendo por 4: Dividiendo por 5:
Aquí vemos que los números 1 y 2 son divisores de 5, ya que el resto es igual a cero en este caso. Por tanto, los factores de 5 son 1 y 5.
Aplicar la división para determinar los factores puede ser algo largo a veces, sobre todo cuando se trata de números grandes. Ten siempre mucho cuidado con el álgebra y asegúrate de no omitir ningún número al dividir. En cualquier caso, sería más seguro utilizar el método de la multiplicación para hallar los factores de un número dado.
Encontrar el número de factores
A veces, puede ser útil conocer el número de factores que puede tener un número. Esto es particularmente útil, sobre todo cuando se trata de números más grandes. Para ello, necesitamos conocer un nuevo concepto llamado factorización primaria. Teniendo en cuenta esta idea, podemos identificar el número de factores de un número dado mediante un proceso denominado método del árbol de factores.
Factorización primitiva
¿Qué tienen en común los números primos y los factores? En primer lugar, recordemos qué es un número primo. Un número primo es un número que tiene precisamente dos factores, 1 y el propio número. Por ejemplo, los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15. Basándonos en esta lista de factores, comprobamos que 3 y 5 son números primos. Esto nos lleva a la siguiente definición.
Un factor primo es un factor de un número dado que también es primo.
Hasta ahora hemos visto cómo podemos representar un número como producto de dos números. Pero también podemos expresar un número como producto de sus factores primos. A esto se le llama factorización en primos.
Lafactorización primaria es el proceso de escribir un número como producto de sus factores primos.
Básicamente, lo que hacemos es descomponer un número en función de sus factores primos. Hay dos formas de determinar la factorización primitiva de un número.
- Método del árbol de factores
- Método de división
En este contexto, sólo nos centraremos en el primer método, ya que es muy utilizado para hallar el número de factores de un número dado. Puedes encontrar una explicación más detallada sobre este subtema en nuestra explicación sobre la factorización de números primos.
El método del árbol de factores
Primero estableceremos el método del árbol de factores a continuación.
Escribe el número en la parte superior del árbol de factores.
Expresa el número como producto de dos factores que salgan del árbol.
Continúa ramificando cada uno de los factores hallados en el Paso 2 como producto de dos factores.
Repite el Paso 3 hasta que no podamos ramificar cada factor. En este punto, debe escribirse como factor primo.
Por último, define el número dado como un compuesto de sus factores primos en forma de exponente.
He aquí un ejemplo que demuestra este proceso.
Utiliza el método del factor tres para factorizar el número 132 en términos de sus factores primos.
Solución
A continuación se muestra el árbol factorial de 132.
Ejemplo 2: Árbol factorial de 132
Basándonos en este árbol de factores, podemos escribir 132 de la siguiente manera
132 = 2 × 2 × 3 × 11
En forma de exponente, tenemos
132 =22 × 3 × 11
A partir de aquí, podemos identificar el número de factores utilizando el método del árbol de factores. Este método consta de cuatro pasos.
Encuentra la factorización en primos del número dado utilizando el método del árbol de factores.
Expresa este producto de primos hallado en su forma de exponente correspondiente.
Suma 1 a cada exponente.
Multiplica los números hallados en el Paso 3. El resultado es el número de factores del número dado.
Para demostrarlo, utilicemos nuestro ejemplo anterior.
Halla el número de factores del número 132.
Solución
Por el método del árbol de factores realizado anteriormente, podemos expresar 132 como 132 = 2 × 2 × 3 × 11.
En forma de exponente, obtenemos 132 =22 × 3 × 11 (22 ×31 ×111 ).
Aquí tenemos los siguientes valores de exponentes.
Exponente para 2 = 2
Exponente para 3 = 1
Exponente para 11 = 1
Ahora, sumando 1 a cada uno de estos exponentes se obtiene
Exponente de 2 + 1 = 3
Exponente de 3 + 1 = 2
Exponente de 11 + 1 = 2
Multiplicando estos números, obtenemos
3 × 2 × 2 = 12
Por tanto, el número 132 tiene 12 factores.
Comprueba
Comprobemos si nuestro resultado es correcto. Utilizando el método de la multiplicación, podemos escribir 132 como los siguientes productos de dos números.
1 × 132 = 132
2 × 66 = 132
3 × 44 = 132
4 × 33 = 132
6 × 22 = 132
11 × 12 = 132
Los factores de 132 son 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66 y 132. Por tanto, el número 132 tiene un total de 12 factores, como se ha dicho.
Factores comunes
Supongamos que nos dicen que comparemos los factores entre dos números enteros x e y. Descubrimos que comparten un divisor que, efectivamente, divide a ambos números sin dejar resto. Esto se llama factor común entre x e y.
Un factor común es un número que divide precisamente un par de números enteros sin dejar resto.
Para hallar el factor común entre dos (o más) números, basta con hacer una lista de los factores de cada número en filas separadas y comprobar si hay factores superpuestos. Un factor que aparece en ambas (o más) listas es el factor común. Aquí tienes dos ejemplos prácticos que lo demuestran.
Encuentra el factor o factores comunes entre 14 y 21.
Solución
Identifiquemos primero los factores de 14. Utilizando el método de la multiplicación, podemos escribir 14 como los siguientes productos de dos números.
1 × 14 = 14
2 × 7 = 14
Haciendo lo mismo para 21, obtenemos
1 × 21 = 21
3 × 7 = 21
Enumerando todo esto, tenemos
Factores de 14: 1, 2, 7, 14
Factores de 21: 1, 3, 7, 21
Observando las listas anteriores, vemos que los factores 1 y 7 están presentes en ambas listas. Por tanto, los factores comunes de 14 y 21 son 1 y 7.
Encuentra el factor o factores comunes de 4, 12 y 16.
Solución
Primero buscaremos los factores de 4. Utilizando el método de la multiplicación, podemos expresar 4 como los siguientes productos de dos números.
1 × 4 = 4
2 × 2 = 4
Haciendo lo mismo para el 12, obtenemos
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
Si escribimos lo mismo para 16, obtenemos
1 × 16 = 16
2 × 8 = 16
4 × 4 = 16
Enumerando todo esto, tenemos
Factores de 4: 1, 2, 4
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Observando las listas anteriores, vemos que los factores 1, 2 y 4 están presentes en las tres listas. Así pues, los factores comunes de 4, 12 y 16 son 1, 2 y 4.
En el artículo se presenta una discusión más detallada sobre este tema: Factores comunes.
Factores comunes más altos
En este apartado, conoceremos una consecuencia directa de los factores comunes llamada factor común máximo (FCH). El HCF es el mayor factor común de dos o más números enteros. Denotemos el HCF por la letra a. Así, podemos escribir el HCF de x e y mediante HCF(x, y) = a.
El mayor factor común (HCF) de dos números es el mayor número posible que divide a x e y sin dejar resto.
Hay tres formas de hallar el HCF de dos (o más) números.
- Método de la lista de factores
- Factorización de números primos
- Método de división
De las tres técnicas anteriores, el método de la lista de factores es el más sencillo de todos. Aquí, simplemente enumeramos los factores de cada número y hallamos los factores comunes de esos números. Después, determinamos el mayor factor común entre esta lista de factores comunes.
Para una explicación más detallada de este tema, en la que se explican todos estos métodos, puedes consultar Factor común más alto. Para demostrarlo, volveremos a los dos últimos ejemplos de nuestro apartado anterior.
¿Cuál es el HCF de 14 y 21?
Solución
Primero enumeraremos los factores de 14 y 21.
Factores de 14: 1, 2, 7, 14
Factores de 21: 1, 3, 7, 21
De esta lista se desprende que los factores comunes de 14 y 21 son 1 y 7.
Aquí, el mayor factor común entre 14 y 21 es 7.
Por tanto, HCF(14, 21) = 7
¿Cuál es la HCF de 4, 12 y 16?
Solución
Enumeraremos primero los factores de 4, 12 y 16.
Factores de 4: 1, 2, 4
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 16: 1, 2, 4, 8, 16
De esta lista se deduce que los factores comunes de 4, 12 y 16 son 1, 2 y 4.
Aquí, el mayor factor común entre 4, 12 y 16 es 4.
Por tanto, HCF(4, 12, 16) = 4
Importancia de los factores
Encontrar factores de números es una herramienta muy importante en matemáticas. Se utiliza sobre todo en matemáticas para resolver razones y fracciones. Los factores también desempeñan un papel importante en álgebra, sobre todo cuando se trata de ecuaciones. En este caso, podemos utilizar esta habilidad para reconocer patrones que se encuentran en expresiones dadas, y reducir (o expandir) dichas ecuaciones como medio para resolverlas.
Álgebra y factores
Como ya hemos dicho, podemos utilizar los factores en álgebra cuando trabajamos con polinomios. Por ejemplo, supongamos que nos dan la expresión 4x. Los factores de 4x son 1, 2, 4, x, 2x y 4x. Como descubriremos en temas posteriores, podemos utilizar los factores para realizar cálculos algebraicos como la factorización de expresiones y polinomios. He aquí algunos ejemplos más que lo demuestran.
Encuentra los factores de 3x2.
Solución
Los factores de 3x2 son 1, 3, x, 3x, x2y 3x2
Encuentra los factores de 5xy.
Solución
Los factores de 5xy son 1, 5, x, 5x, y y 5y
En situaciones de la vida real, la factorización de números se utiliza sobre todo cuando hay que ordenar, como has visto al principio de este tema. Podemos utilizar factores para dividir un objeto (o un conjunto de objetos) en partes iguales o dividirlos en filas y columnas.
Diferencia entre factores y múltiplos
Terminaremos este tema estudiando la diferencia entre factores y múltiplos. Lo haremos mediante la siguiente tabla.
| Factores | Múltiplos |
| Un factor de un número es un número que divide completamente al número original sin ningún resto. | Un múltiplo de un número es el producto de ese número por cualquier otro número. |
| Hay un número finito de factores para un número dado. | Hay un número infinito de múltiplos para un número dado. |
| Los factores de un número son siempre menores o iguales que el número inicial. | Los múltiplos de un número son siempre mayores o iguales que el número inicial. |
| Todo número tiene al menos dos factores: 1 y el propio número. | No hay un número mínimo de múltiplos para un número dado. |
Factores - Puntos clave
- Un factor de un número dado es aquel que divide al número sin dejar resto
- Sólo consideraremos factores positivos de un número dado
- Hay un número finito de factores para un número dado
- El factor de un número dado siempre es menor o igual que él mismo
- Todo número tiene al menos dos factores, es decir, 1 y él mismo
- Podemos utilizar la división y la multiplicación para encontrar factores
- La factorización prima es el proceso de escribir un número como producto de números primos
- Un factor común es un número que divide exactamente un par de números sin dejar resto
- El mayor factor común (MCH) de dos números es el mayor número posible que divide x e y sin dejar resto
- Podemos utilizar factores para factorizar expresiones algebraicas y polinomios
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