Factores

Factores de un número dado

Analicemos el concepto de factor e identifiquemos los factores de un número dado. Empezaremos con la definición de factor.

Un factor es esencialmente un divisor de un número dado. Dividir un número por su divisor da como resultado un resto igual a cero. Como hemos visto, el número 24 tiene un total de 8 factores, a saber: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Ahora, prueba tú mismo: divide 24 entre cada uno de estos factores enumerados. Verás que al dividirlos, ¡no queda ningún resto!

Factores y números negativos

He aquí una pregunta: ¿pueden los factores ser números negativos? Algebraicamente, sí podemos dividir un número entre uno que sea negativo. Veamos los factores del número 6. Podemos factorizar 6 de las 2 formas siguientes: 1 × 6 y 2 × 3. Por tanto, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.

Sabemos que el producto de dos números negativos da un número positivo. Teniendo esto en cuenta, nos encontramos con que los factores de 6 son, de hecho, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6, ya que -1 × (-6) y -2 × (-3) también equivalen a 6. Sin embargo, en este artículo no se tendrán en cuenta los factores negativos. Cuando tratemos problemas relacionados con los factores, sólo consideraremos los factores positivos.

Características de los factores

Hay varias propiedades importantes de los factores con las que debemos familiarizarnos. Se enumeran a continuación.

• Existe un número finito de factores para un número dado.

• El factor de un número dado siempre es menor o igual que él mismo.

• Todo número tiene al menos dos factores, es decir, 1 y él mismo (excepto 0 y 1).

• Podemos utilizar la división y la multiplicación para encontrar los factores.

Identificar los factores de un número dado

Si nos fijamos en el consejo de Características de los factores, hay dos métodos que podemos utilizar para encontrar factores: la multiplicación y la división. Observemos sucesivamente ambas técnicas.

Encontrar factores mediante la multiplicación

Hay dos pasos para encontrar factores mediante la multiplicación.

1. Expresa el número entero dado como producto de dos números enteros. Debes considerar todas las formas posibles en que este número puede escribirse de esta manera;

2. Enumera todos los números que intervienen en estos productos. Estos son los factores del número dado.

Encontrar factores mediante la división

En cuanto a la división, sigue un método de tres pasos.

1. Identifica todos los números enteros menores o iguales que el número entero dado.

2. Divide el número dado por cada uno de los números hallados en el Paso 1.

3. Escribe los divisores que dan un resto de 0. Éstos son los factores del número dado.

Aplicar la división para determinar los factores puede ser algo largo a veces, sobre todo cuando se trata de números grandes. Ten siempre mucho cuidado con el álgebra y asegúrate de no omitir ningún número al dividir. En cualquier caso, sería más seguro utilizar el método de la multiplicación para hallar los factores de un número dado.

Encontrar el número de factores

A veces, puede ser útil conocer el número de factores que puede tener un número. Esto es particularmente útil, sobre todo cuando se trata de números más grandes. Para ello, necesitamos conocer un nuevo concepto llamado factorización primaria. Teniendo en cuenta esta idea, podemos identificar el número de factores de un número dado mediante un proceso denominado método del árbol de factores.

Factorización primitiva

¿Qué tienen en común los números primos y los factores? En primer lugar, recordemos qué es un número primo. Un número primo es un número que tiene precisamente dos factores, 1 y el propio número. Por ejemplo, los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15. Basándonos en esta lista de factores, comprobamos que 3 y 5 son números primos. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Hasta ahora hemos visto cómo podemos representar un número como producto de dos números. Pero también podemos expresar un número como producto de sus factores primos. A esto se le llama factorización en primos.

Básicamente, lo que hacemos es descomponer un número en función de sus factores primos. Hay dos formas de determinar la factorización primitiva de un número.

1. Método del árbol de factores
2. Método de división

En este contexto, sólo nos centraremos en el primer método, ya que es muy utilizado para hallar el número de factores de un número dado. Puedes encontrar una explicación más detallada sobre este subtema en nuestra explicación sobre la factorización de números primos.

El método del árbol de factores

Primero estableceremos el método del árbol de factores a continuación.

1. Escribe el número en la parte superior del árbol de factores.

2. Expresa el número como producto de dos factores que salgan del árbol.

3. Continúa ramificando cada uno de los factores hallados en el Paso 2 como producto de dos factores.

4. Repite el Paso 3 hasta que no podamos ramificar cada factor. En este punto, debe escribirse como factor primo.

5. Por último, define el número dado como un compuesto de sus factores primos en forma de exponente.

He aquí un ejemplo que demuestra este proceso.

A partir de aquí, podemos identificar el número de factores utilizando el método del árbol de factores. Este método consta de cuatro pasos.

1. Encuentra la factorización en primos del número dado utilizando el método del árbol de factores.

2. Expresa este producto de primos hallado en su forma de exponente correspondiente.

3. Suma 1 a cada exponente.

4. Multiplica los números hallados en el Paso 3. El resultado es el número de factores del número dado.

Para demostrarlo, utilicemos nuestro ejemplo anterior.

Factores comunes

Supongamos que nos dicen que comparemos los factores entre dos números enteros x e y. Descubrimos que comparten un divisor que, efectivamente, divide a ambos números sin dejar resto. Esto se llama factor común entre x e y.

Para hallar el factor común entre dos (o más) números, basta con hacer una lista de los factores de cada número en filas separadas y comprobar si hay factores superpuestos. Un factor que aparece en ambas (o más) listas es el factor común. Aquí tienes dos ejemplos prácticos que lo demuestran.

En el artículo se presenta una discusión más detallada sobre este tema: Factores comunes.

Factores comunes más altos

En este apartado, conoceremos una consecuencia directa de los factores comunes llamada factor común máximo (FCH). El HCF es el mayor factor común de dos o más números enteros. Denotemos el HCF por la letra a. Así, podemos escribir el HCF de x e y mediante HCF(x, y) = a.

Hay tres formas de hallar el HCF de dos (o más) números.

1. Método de la lista de factores
2. Factorización de números primos
3. Método de división

De las tres técnicas anteriores, el método de la lista de factores es el más sencillo de todos. Aquí, simplemente enumeramos los factores de cada número y hallamos los factores comunes de esos números. Después, determinamos el mayor factor común entre esta lista de factores comunes.

Para una explicación más detallada de este tema, en la que se explican todos estos métodos, puedes consultar Factor común más alto. Para demostrarlo, volveremos a los dos últimos ejemplos de nuestro apartado anterior.

Importancia de los factores

Encontrar factores de números es una herramienta muy importante en matemáticas. Se utiliza sobre todo en matemáticas para resolver razones y fracciones. Los factores también desempeñan un papel importante en álgebra, sobre todo cuando se trata de ecuaciones. En este caso, podemos utilizar esta habilidad para reconocer patrones que se encuentran en expresiones dadas, y reducir (o expandir) dichas ecuaciones como medio para resolverlas.

Álgebra y factores

Como ya hemos dicho, podemos utilizar los factores en álgebra cuando trabajamos con polinomios. Por ejemplo, supongamos que nos dan la expresión 4x. Los factores de 4x son 1, 2, 4, x, 2x y 4x. Como descubriremos en temas posteriores, podemos utilizar los factores para realizar cálculos algebraicos como la factorización de expresiones y polinomios. He aquí algunos ejemplos más que lo demuestran.

En situaciones de la vida real, la factorización de números se utiliza sobre todo cuando hay que ordenar, como has visto al principio de este tema. Podemos utilizar factores para dividir un objeto (o un conjunto de objetos) en partes iguales o dividirlos en filas y columnas.

Diferencia entre factores y múltiplos

Terminaremos este tema estudiando la diferencia entre factores y múltiplos. Lo haremos mediante la siguiente tabla.