Los factores que aparecen dos veces al factorizar dos números se conocen como factores comunes. Esto significa que 1 y 2 son factores comunes de 2 y 4. En esta lección discutiremos el concepto de factor común y presentaremos un método que podemos utilizar para identificar los factores comunes de un par de números dado.
Factor común: Definición
Comenzaremos esta lección estableciendo el significado de factor común. Supongamos que nos dan un par de números enteros, x e y. Si podemos dividir estos dos números por una cifra similar, entonces estos números comparten un divisor común. Este divisor común se conoce como factor común de x e y.
Recordemos ahora la definición de factor.
Los factores son números que pueden dividir exactamente a otro número dando como resultado un resto cero.
Enlazando esto con nuestro estudio actual, podemos decir que un factor común es un número que divide dos (o más) números enteros exactamente sin dejar un resto. Podemos resumir esta definición del siguiente modo.
Para un par dado de números enteros (o más), un factor común es un factor compartido por ambos (o todos) estos números.
Sencillo, ¿verdad? Un factor común debe seguir dos reglas o condiciones específicas: (1) debe ser un factor y (2) debe ser compartido por los dos (o todos los) números con los que estamos tratando.
Continuemos esta discusión enumerando varias propiedades de los factores comunes.
Características de los factores comunes
A continuación se enumeran algunas características notables de los factores comunes.
Dos (o más) números pueden tener más de un factor común.
Un factor común divide completamente dos (o más) números sin dejar ningún resto.
El factor común de dos (o más) números siempre es menor que los números dados o igual a uno de los números dados.
El número 1 siempre es un factor común entre dos (o más) números.
Todo número entero distinto de cero es factor de 0, ya que cualquier número entero distinto de cero multiplicado por 0 es igual a 0.
Podemos resumir el último punto en la siguiente regla:
Para cualquier número entero k, si k × 0 = 0 entonces, 0 ÷ k = 0.
Por ejemplo, dado que 2 x 0 = 0, tenemos que 0 ÷ 2 = 0. Por tanto, 2 y 0 son factores de 0.
En el siguiente apartado aprenderemos a determinar los factores comunes de un par de números dado y observaremos algunos ejemplos trabajados que aplican este método.
Método de los factores comunes
La identificación de los factores comunes de dos (o más) números sigue un método sencillo de dos pasos. Se describe a continuación.
Paso 1: Escribe todos los factores de los números dados en filas separadas.
Paso 2: Compara estas listas de factores. Identifica los números que se repiten en ambas listas y anota estos factores comunes.
Ejemplos de factores comunes
A continuación encontrarás varios ejemplos prácticos para encontrar factores comunes.
Factores comunes entre dos números
Encuentra los factores comunes entre 15 y 25.
Solución
Ahora, siguiendo el método de los dos pasos tenemos:
Paso 1: Enumera los factores de los números dados.
Factores de 15: 1, 3, 5, 15
Factores de 25: 1, 5, 25
Paso2: Comprueba si hay factores repetidos.
Observando las listas anteriores, vemos que los factores 1 y 5 están presentes en ambas listas.
Por tanto, los factores comunes de 15 y 25 son 1 y 5.
Basándote en este resultado, ¿ves que aquí puede darse alguna de las características de los factores comunes? En primer lugar, observa que tanto 1 como 5 dividen completamente 15 y 25. No queda ningún resto tras la división. Además, observa que los factores comunes de 15 y 25 resultan ser menores que estos dos números (1, 5 < 15, 25). Por último, vemos que el 1 es efectivamente un factor común entre estos números dados.
Factores comunes entre tres números
Determina los factores comunes entre 12, 16 y 20.
Solución
De nuevo, siguiendo el método de los dos pasos tenemos:
Paso 1: Enumera los factores de los números dados.
Factores del 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Paso 2: Comprueba si hay factores repetidos.
Observando las listas anteriores, vemos que los factores 1, 2 y 4 están presentes en las tres listas.
Por tanto, los factores comunes de 12, 16 y 20 son 1, 2 y 4.
Factores comunes entre cuatro números
Enumera los factores comunes entre 26, 52, 78 y 104.
Solución
Paso 1: Enumera los factores de los números dados.
Factores de 26: 1, 2, 13, 26
Factores de 52: 1, 2, 4, 13, 26, 52
Factores de 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
Factores de 104: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104
Paso 2: Comprueba si hay factores repetidos.
Observando las listas anteriores, vemos que los factores 1, 2, 13 y 26 están presentes en las cuatro listas.
Por tanto, los factores comunes de 26, 52, 78 y 104 son 1, 2, 13 y 26.
Importancia de los factores comunes
Entonces, ¿por qué son tan necesarios los factores comunes? En realidad, identificar los factores comunes es un paso hacia nuestro siguiente tema de interés: Los Factores Comunes Mayores (FCH). El HCF es el mayor factor común de dos o más números. Si miras nuestros ejemplos anteriores, ¿puedes señalar el HCF de cada problema? ¡Inténtalo!
Los factores comunes también pueden ayudarnos a identificar los factores primos de un conjunto dado de números enteros. Los factores primos son factores de un número entero que también es primo. Cuando enumeramos los factores de dos (o más) números y señalamos sus divisores comunes, podemos reconocer cuáles de esos factores comunes son también primos. Al hacerlo, también podemos representar un número entero como producto de números primos. Es lo que se denomina factorización en primos, que se trata con más detalle en el tema Factorización en primos.
Saber que podemos realizar la factorización en primos de un número dado, también significa que podemos determinar el mínimo común múltiplo (MCP ) entre dos (o más) números. El MCP es el número más pequeño que es múltiplo de dos (o más) números. Lo hacemos multiplicando los factores primos comunes compartidos entre un conjunto de números dados. Esto se explica claramente en el artículo El mínimo común múltiplo.
¿Ves qué práctico es encontrar factores comunes? El resultado nos permite hallar otras tres relaciones entre un conjunto dado de números: el HCF, la factorización prima y el MCP. ¿No es genial?
Representar los factores comunes como un diagrama de Venn
Terminemos este tema con dos últimos ejemplos de factores comunes. Sin embargo, vamos a cambiarlo un poco. Aquí veremos cómo encontrar factores comunes entre dos (o más) números en forma de diagrama de Venn. Representar los factores comunes de esta forma puede ser útil cuando se trata de más de dos números.
Encuentra los factores comunes entre 39 y 147.
Solución
Enumeremos primero los factores de 39 y 147.
Factores de 39: 1, 3, 13, 39
Factores de 147: 1, 3, 7, 21, 49, 147
Ahora dibujaremos estos valores en un diagrama de Venn y observaremos los factores que se solapan.
Diagramas de Venn
De aquí concluimos que los factores comunes de 39 y 147 son 1 y 3.
Encuentra los factores comunes entre 42, 51 y 108.
Solución
Enumeremos primero los factores de 42, 51 y 108.
Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Factores de 51: 1, 3, 17, 51
Factores de 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
Ahora esbozaremos estos valores en un diagrama de Venn y observaremos los factores que se solapan.
Ejemplo 2 - Factores superpuestos en los diagramas de Venn
De aquí concluimos que los factores comunes de 42, 51 y 108 son 1 y 3.
Este diagrama de Venn también muestra que los factores comunes entre 42 y 51 son también 1 y 3 , mientras que 42 y 108 son 1, 2, 3 y 6 y, por último, 51 y 108 son de nuevo 1 y 3.
Factores comunes - Puntos clave
- Un factor común es un número que divide exactamente un par de números sin dejar resto.
- Dos números pueden tener más de un factor común.
- Los factores comunes pueden ayudarnos a identificar el mayor factor común.
- Encontrar un factor común entre dos números:
- Escribe los factores de los números dados.
- Enumera los factores comunes (que se repiten).
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