Factores de escala

En la siguiente imagen hay formas similares $ABCDE$ y $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$. Tenemos:

$DC=16cm$, $D\text{'}C\text{'}=64cm$, $ED=xcm$, $E\text{'}D\text{'}=32cm$, $AB=4cm$ y $A\text{'}B\text{'}=ycm$.

AB=4 cmDescubre el valor de $x$ y $y$.

Ejemplo de cálculo de las longitudes que faltan utilizando el factor de escala - StudySmarter Originals

Solución:

Observando la imagen, podemos ver que $DC$ y $D\text{'}C\text{'}$ son lados correspondientes, lo que significa que sus longitudes son proporcionales entre sí. Como tenemos las longitudes de los dos lados, podemos utilizarlas para calcular el factor de escala.

Calculando el factor de escala, tenemos $SF=\frac{64}{16}=4$.

Por tanto, si definimos $ABCDE$ la forma original, podemos decir que podemos ampliar esta forma con un factor de escala de $4$ para obtener la forma ampliada $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$.

Ahora, para calcular $x$tenemos que trabajar hacia atrás. Sabemos que $ED$ y $E\text{'}D\text{'}$ son lados correspondientes. Por tanto, para ir de $E\text{'}D\text{'}$ a $ED$ debemos dividir por el factor de escala. Podemos decir que $x=\frac{32}{4}=8cm$.

Para calcular y, debemos multiplicar la longitud del lado $AB$ por el factor de escala. Así, tenemos $A\text{'}B\text{'}=4\times 4=16cm$.

Por tanto, $x=8cm$ y $y=16cm$.

A continuación se muestran los triángulos similares $ABC$ y $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, ambos dibujados a escala. Calcula el factor de escala para pasar de $ABC$ a $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

Ejemplo de cálculo del factor de escala cuando el factor de escala es fraccionario - StudySmarter Originals

Solución:

Observa que en esta figura, la figura transformada es más pequeña que la figura original. Sin embargo, para calcular el factor de escala, hacemos exactamente lo mismo. Nos fijamos en los dos lados correspondientes, tomemos $AB$ y $A\text{'}B\text{'}$ por ejemplo. Luego dividimos la longitud del lado transformado por la longitud del lado original. En este caso $AB=4units$y $A\text{'}B\text{'}=2units$.

Por tanto, el factor de escala, $SF=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Observa que aquí tenemos un factor de escala fraccionario. Esto ocurre siempre que pasamos de una forma mayor a una forma menor.

A continuación se muestran tres cuadriláteros semejantes. Tenemos que $DC=10cm$, $D\text{'}C\text{'}=15cm$, $D\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=20cm$y $A\text{'}D\text{'}=18cm$. Calcula el área de los cuadriláteros $ABCD$y $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$.

Ejemplo de cálculo del área utilizando el factor de escala - StudySmarter Originals

Solución:

En primer lugar, vamos a calcular el factor de escala para pasar de $ABCD$ a $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Puesto que $D\text{'}C\text{'}=15cm$ y $DC=10cm$podemos decir que el factor de escala $SF=\frac{15}{10}=1.5$. Por tanto, para llegar de $ABCD$ a $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ampliamos con un factor de escala de $1.5$. Por tanto, podemos decir que la longitud de $AD$ es $\frac{18}{1.5}=12cm$.

Ahora, vamos a calcular el factor de escala para pasar de $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ a $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$. Puesto que $D\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=20cm$ y $D\text{'}C\text{'}=15cm$podemos decir que el factor de escala $SF=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$. Así, para calcular A''D'', multiplicamos la longitud de A'D' por $\frac{4}{3}$ para obtener $A\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}=18\times \frac{4}{3}=24cm$.

Para calcular el área de un cuadrilátero, recuerda que multiplicamos la base por la altura. Por tanto, el área de $ABCD$ es $10cm\times 12cm=120c{m}^2$ y análogamente, el área de $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$ es $20cm\times 24cm=420c{m}^2$.

A continuación se muestran dos triángulos rectángulos similares $ABC$ y $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Calcula la longitud de $A\text{'}C\text{'}$.

Calcula la longitud que falta utilizando el factor de escala y Pitágoras - StudySmarter Originals

Solución:

Como de costumbre, empecemos por calcular el factor de escala. Observa que $BC$ y $B\text{'}C\text{'}$ son dos lados correspondientes conocidos, así que podemos utilizarlos para calcular el factor de escala.

Así pues $SF=\frac{4}{2}=2$. Por tanto, el factor de escala es $2$. Como no conocemos el lado $AC$no podemos utilizar el factor de escala para calcular $A\text{'}C\text{'}$. Sin embargo, como conocemos $AB$podemos utilizarlo para calcular $A\text{'}B\text{'}$.

Al hacerlo, tenemos $A\text{'}B\text{'}=3\times 2=6cm$. Ahora tenemos dos lados de un triángulo rectángulo. Quizá recuerdes haber aprendido el teorema de Pitágoras. Si no es así, quizá debas repasarlo antes de continuar con este ejemplo. Sin embargo, si conoces a Pitágoras, ¿puedes averiguar qué tenemos que hacer ahora?

Según el propio Pitágoras, tenemos que $a^2+b^2=c^2$donde$c$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y $a$ y $b$ son los otros dos lados. Si definimos $a=4cm$, $b=6cm$y $c=A\text{'}C\text{'}$podemos utilizar a Pitágoras para calcular $c$¡!

Al hacerlo, obtenemos $c^2=4^2+6^2=16+36=52$. Por tanto, , $c=\sqrt{52}=7.21cm$.

Por tanto, tenemos que $A\text{'}C\text{'}=7.21cm$.

A continuación se muestra el triángulo $ABC$. Amplía este triángulo con un factor de escala de $3$ con el centro de ampliación en el origen.

Ejemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

Solución:

El primer paso para hacerlo es asegurarse de que el centro de ampliación está etiquetado. Recuerda que el origen es la coordenada $(0,0)$. Como vemos en la imagen anterior, se ha marcado como punto O.

Ahora, elige un punto de la forma. Abajo he elegido el punto B. Para ir del centro de ampliación O al punto B, tenemos que recorrer $1$ unidad a lo largo y $1$ unidad hacia arriba. Si queremos ampliarlo con un factor de escala de $3$tendremos que desplazarnos $3$ unidades a lo largo y $3$ unidades hacia arriba desde el centro de ampliación. Así, el nuevo punto $B\text{'}$ está en el punto $(3,3)$.

Ejemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

Ahora podemos etiquetar el punto $B\text{'}$ en nuestro diagrama como se muestra a continuación.

Ejemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

A continuación, hacemos lo mismo con otro punto. Yo he elegido $C$. Para llegar desde el centro de la ampliación O hasta el punto C, tenemos que recorrer $3$ unidades a lo largo y $1$ unidad hacia arriba. Si ampliamos $3$necesitaremos recorrer $3\times 3=9$ unidades a lo largo y $1\times 3=3$ unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto $C\text{'}$ está en $(9,3)$.

Ejemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

Ahora podemos etiquetar el punto $C\text{'}$ en nuestro diagrama como se muestra a continuación.

Ejemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

Por último, nos fijamos en el punto $A$. Para ir del centro de ampliación O al punto A, recorremos $1$ unidad a lo largo y $4$ unidades hacia arriba. Por tanto, si ampliamos este punto con un factor de escala de $3$necesitaremos recorrer $1\times 3=3$ unidades a lo largo y $4\times 3=12$ unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto $A\text{'}$ estará en el punto $(3,12)$.

Ejemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

Ahora podemos etiquetar el punto $A\text{'}$ en nuestro diagrama como se muestra a continuación. Si unimos las coordenadas de los puntos que hemos añadido, obtenemos el triángulo $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Es idéntico al triángulo original, sólo que los lados son tres veces más grandes. Está en el lugar correcto, ya que lo hemos ampliado respecto al centro de ampliación.

Ejemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

Por tanto, tenemos nuestro triángulo final representado a continuación.

Ejemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

A continuación se muestra el cuadrilátero $ABCD$. Amplía este cuadrilátero con un factor de escala de $-2$ con el centro de ampliación en el punto $P=(1,1)$.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

Solución:

En primer lugar, tomamos un punto del cuadrilátero. He elegido el punto $D$. Ahora tenemos que calcular a qué distancia está D del centro de la ampliación P. En este caso, para ir de P a D, tenemos que recorrer $1$ unidad a lo largo y $1$ unidad hacia arriba.

Si queremos ampliarlo con un factor de escala de $-2$necesitaremos recorrer $1\times -2=-2$ unidades a lo largo y $1\times -2=-2$ unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos $2$ unidades a lo largo y $2$ unidades hacia abajo desde P. Por tanto, el nuevo punto D' está en $(-1,-1)$como se muestra a continuación.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

Ahora, considera el punto A. Para ir de P a A, viajamos $1$ unidades a lo largo y $2$ unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala $-2$viajamos $1\times -2=-2$ unidades a lo largo y $2\times -2=-4$ unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos $2$ unidades a la izquierda de P y $4$ unidades hacia abajo, como se muestra en el punto A' de abajo.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

Ahora, considera el punto C. Para ir de P a C, viajamos $3$ unidades a lo largo y $1$ unidad hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala $-2$viajamos $3\times -2=-6$ unidades a lo largo y $1\times -2=-2$ unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos $6$ unidades a la izquierda de P y $2$ unidades hacia abajo, como se muestra en el punto C'.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

Ahora, considera el punto B. Para ir de P a B, viajamos $2$ unidades a lo largo y $2$ unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala $-2$viajamos $2\times -2=-4$ unidades a lo largo y $2\times -2=-4$ unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos $4$ unidades a la izquierda de P y $4$ unidades hacia abajo, como se muestra en el punto B'.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

Si unimos los puntos y eliminamos las líneas de rayo, obtenemos el cuadrilátero de abajo. Esta es nuestra forma final ampliada. Observa que la nueva imagen aparece invertida.

Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals