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Para decirlo en jerga matemática, Sarah y Mary son congruentes entre sí, ya que se parecen exactamente. Fiona y Michelle son similares entre sí, ya que sólo comparten ciertos rasgos.
Las palabras "congruente" y "semejante" son dos términos importantes en Geometría que se utilizan para comparar formas o figuras. En este artículo trataremos este concepto y estudiaremos sus aplicaciones.
Definición de formas semejantes y congruentes
Para empezar esta discusión, observemos el siguiente diagrama.
Ejemplo de los cuadrados A y B y los rectángulos C y D
¿Qué notas en los cuadrados A y B y en los rectángulos C y D?
Para responder a esta pregunta, los cuadrados A y B son idénticos, ya que sus lados miden exactamente lo mismo. Además,comparten la misma forma. Sin embargo, el Rectángulo C y el Rectángulo D no son idénticos, aunque tienen la misma forma. En este caso, tanto su altura como su anchura tienen longitudes diferentes. Por tanto, podemos llegar a la siguiente conclusión:
El cuadrado A es congruente con el cuadrado B;
El rectángulo C es semejante al rectángulo D.
A partir de aquí, podemos definir las formas semejantes y congruentes como sigue.
Dos formas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamaño.
Dos formas son semejantes si tienen exactamente la misma forma pero distinto tamaño.
El término forma se refiere aquí a la forma general de dos (o más) formas dadas en el plano. Como en nuestro ejemplo anterior, las formas A y B se clasifican como cuadrados, mientras que las formas C y D se clasifican como rectángulos. En cambio, el término tamaño se refiere a las dimensiones o medidas de la figura.
La prueba de similitud y congruencia
Ahora viene una pregunta interesante: ¿Cómo se demuestra si un par de figuras es semejante o congruente?
Pues bien, ¡la respuesta es mediante transformaciones! Recuerda que una transformación es un movimiento en el plano en el que puedes cambiar el tamaño o la posición de una forma. Algunos ejemplos son la reflexión, la rotación, la traslación y la dilatación (ampliación). Hay dos ideas para la Prueba de Similitud y Congruencia de las formas:
Si una imagen vuelve a su forma original tras una rotación, traslación o reflexión, entonces es congruente.
Las formas similares pueden tener orientaciones diferentes. La imagen de una forma tras una dilatación es similar a su forma original.
Familiarízate con estas ideas para poder identificar eficazmente las formas semejantes y congruentes. Aquí tienes un ejemplo que lo demuestra.
Aquí tenemos dos trapecios isósceles llamados M y N.
Trapecios isósceles M y N
Identifica si son semejantes o congruentes.
Solución
Dada la información anterior, tanto M como N tienen exactamente la misma forma. Sin embargo, parecen tener orientaciones diferentes. Intentemos girar el trapecio N 180o a la derecha.
Trapecios isósceles M y N tras la rotación
Tras esta rotación, comprobamos que M y N tienen la misma orientación.Ahora observaremos sus dimensiones dadas. Los catetos de M y N miden 8 cm. Además, sus bases superior e inferior son idénticas, con medidas de 3 cm y 5 cm respectivamente.
Como el trapecio N tiene exactamente la misma forma y tamaño que el trapecio M al girarlo, podemos deducir que ambas formas son congruentes entre sí.
Supongamos que M y N se presentan en las siguientes orientaciones. Sus dimensiones originales se mantuvieron iguales a las anteriores. ¿Siguen siendo congruentes?
Trapecios isósceles M y N tras la reflexión
Éste es simplemente un caso en el que interviene una reflexión. Observa que M y N son reflejos el uno del otro. Producen la misma forma tras la reflexión. Por tanto, M y N conservan su congruencia.
Veamos ahora un problema de semejanza.
Aquí tenemos otros dos trapecios isósceles P y Q.
Trapecios isósceles P y Q, Estudiar Smarter Originals
Identifica si son semejantes o congruentes.
Solución
Como se ha dicho en la descripción, tenemos dos trapecios isósceles P y Q. Tienen la misma forma pero distinta orientación. Además, observa que las dimensiones del trapecio Q son el doble de la medida del trapecio P. Por tanto, Q tiene el doble de tamaño que P, ya que
Pie de P = 5 cm = 2 Pie de Q = 2 × 5 cm = 10 cm
Base superior de P = 2 cm = 2 × Base superior de Q = 2 × 2 cm = 4 cm
Base inferior de P = 4 cm = 2 × Base superior de Q = 2 × 4 cm = 8 cm
En otras palabras, el trapecio Q es una dilatación de magnitud 2 del trapecio P. Por tanto, son semejantes.
Triángulos congruentes
En este apartado observaremos las propiedades congruentes de los triángulos.
Se dice que un par de triángulos son congruentes si la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos son exactamente iguales.
Un triángulo puede cambiar de posición pero mantener la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos mediante rotación, reflexión y traslación.
Rotación | Reflexión | Traslación |
Rotación |
Reflexión |
Traslación |
Al resolver triángulos congruentes, ten cuidado con la ubicación de los lados o ángulos iguales. Al comparar dos triángulos, ¡la orientación desempeña un papel muy importante!
Hay cinco formas de identificar si un par de triángulos dados son congruentes. Observa que las letras A, S, H y L representan los términos Ángulo, Lado, Hipotenusa y Cateto respectivamente.
El cateto de un triángulo rectángulo describe la longitud de los lados adyacente y opuesto.
Teorema de congruencia | Concepto | Ejemplo |
Congruencia SSS | Si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes |
Congruencia SSS |
Congruencia SAS | Si dos lados y un ángulo incluido de un triángulo son iguales a los correspondientes dos lados y ángulo incluido de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes |
Congruencia SAS |
Congruencia ASA | Si dos ángulos y un lado incluido de un triángulo son iguales a los correspondientes dos ángulos y lado incluido de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes |
Congruencia ASA |
Congruencia AAS | Si dos ángulos y un lado no incluido de un triángulo son iguales a los dos ángulos correspondientes y al lado no incluido de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes |
Congruencia AAS |
Congruencia HL (Sólo se aplica a triángulos rectángulos) | Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y el cateto correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces ambos triángulos son congruentes |
Congruencia HL |
Si tres ángulos de un triángulo son iguales a tres ángulos de otro triángulo, los dos triángulos pueden no ser necesariamente congruentes, ya que pueden ser de distinto tamaño.
Triángulos semejantes
Siguiendo en el ámbito de los triángulos, estudiaremos ahora sus propiedades de semejanza.
Se dice que un par de triángulos son semejantes si sus tres ángulos son iguales y los lados correspondientes tienen la misma razón.
Esencialmente, dos triángulos son semejantes si sólo varían en tamaño. Esto significa que cualquiera de las transformaciones mencionadas anteriormente -reflexión, rotación, traslación y dilatación- está permitida entre dos triángulos semejantes.
Teoremas de semejanza
Hay cuatro formas de determinar si un par de triángulos dados son semejantes.
Teorema de semejanza | Concepto |
AA Semejanza | Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, son semejantes
Semejanza AA |
Semejanza SAS | Si dos triángulos tienen dos pares de lados de la misma razón y un ángulo incluido igual, entonces los triángulos son semejantes
Semejanza SAS |
Semejanza SSS | Si dos triángulos tienen tres pares de lados de la misma razón, son semejantes.
Semejanza SSS |
Teorema del divisor lateral |
Teorema del divisor lateral Para un triángulo ADE, si BC es paralelo a DE, entonces \(\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}\) |
Teorema del ángulo bisector |
Teorema del ángulo bisector Para un triángulo ABC, si AD biseca el ángulo BAC, entonces \ (\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}\ ) |
Una bisectriz de ángulo divide un ángulo en dos mitades iguales.
Áreas de formas semejantes
Volviendo a la definición relativa a dos formas semejantes, debes tener en mente esta importante palabra: proporciones. Las relaciones entre las longitudes de dos lados correspondientes de dos formas dadas establecerán una relación entre sus áreas. Esto nos lleva al siguiente enunciado para el área de formas semejantes.
Dada una dilatación (o ampliación) de factor de escala \(n\), el área de la forma mayor es \(n^2\) veces el área de la forma menor.
En general,si dos formas similares tienen lados en la proporción \(x:y\), entonces la proporción de sus áreas es \(x^2:y^2\).
Observa que el factor de escala tiene un exponente igual a 2. Demuéstralo con el siguiente diagrama. Aquí tenemos dos formas, M y N.
El área de las formas similares M y N
El área de la forma M es
\[\text{Área de M}=a \times b\]
y el área de la forma N es
\text[Área de N}=na \times nb=n^2 ab\]
donde \(n\) es el factor de escala en este caso. He aquí un ejemplo que demuestra esta idea.
Los rectángulos A y B son semejantes. El área del rectángulo A es de 10 cm2 y el área del rectángulo B es de 360 cm2. ¿Cuál es el factor de escala de la ampliación?
Ejemplo 1, StudySmarter Originals
Solución
Podemos utilizar la fórmula \(\text{Área A}n^2=\text{Área B}\) para determinar el factor de escala \(n\) (consulta las formas M y N mostradas anteriormente). Dadas las áreas de A y B, obtenemos
\[10n^2=360\]
Dividiendo 10 por ambos lados
\[n^2=36\]
Sacando ahora la raíz cuadrada de 36 obtenemos
\[n=6\]
¡Ten en cuenta que el factor de escala siempre se toma como positivo!
Por tanto, el factor de escala es 6.
Veamos otro ejemplo.
Los cuadrados X e Y son semejantes. Los lados de los cuadrados X e Y tienen longitudes laterales dadas por la razón \(3:5\). El cuadrado X tiene una longitud lateral de 6 cm.
Ejemplo 2, StudySmarter Originals
- Halla la longitud lateral de Y.
- Calcula el área de Y.
- Deduce la razón entre el área X y el área Y.
Solución
Pregunta 1: En este caso, podemos utilizar simplemente el cociente dado.
\[\text{Longitud lateral X}:\text{Longitud lateral Y}=3:5\]
Expresando este cociente en fracciones, obtenemos
\[\frac{3}{5}=\frac{6}{texto{longitud del lado Y}}]
Resolviendo esto obtenemos
\Longitud del lado Y = 6 veces 5 = 3 = 10].
Por tanto, la longitud del lado Y es de 10 cm.
Pregunta 2: A continuación, utilizaremos la fórmula del área del cuadrado. Como hemos hallado la longitud del lado Y en la Pregunta 1, que es de 10 cm, podemos evaluar el área como
\[\text{Área Y}=10\times 10=100\\]
Por tanto, el área de Y es 100 cm2.
Pregunta 3: En este caso, primero tenemos que deducir el área del cuadrado X. Dado que la longitud de sus lados es de 6 cm, entonces
\[\text{Área X}=6 veces 6=36\]
Por tanto, el área de X es 36cm2. Como ahora hemos hallado tanto el área de X como la de Y, podemos escribir el cociente de \(\text{Área X}:\text{Área Y}\) como
\[36:100\]
Para simplificarlo, tenemos que dividir el cociente por 4 en ambos lados. Esto da como resultado
\[9:25\]
Por tanto, la relación entre el Área X y el Área Y es \(9:25\).
Volúmenes de formas similares
El volumen de formas semejantes sigue la misma idea que el área de formas semejantes. Como antes, las relaciones entre las longitudes de dos lados correspondientes de dos formas dadas construirán una relación entre sus volúmenes. A partir de aquí, podemos deducir una idea general para el volumen de formas semejantes.
Dada una dilatación (o ampliación) de factor de escala \(n\), el volumen de la forma mayor es \(n^3\) veces el volumen de la forma menor.
Esencialmente,si dos formas similares tienen lados en la proporción \(x:y\), entonces la proporción de sus volúmenes es \(x^3:y^3\).
Observa que el factor de escala es de potencia 3. Expondremos ahora este concepto en la figura siguiente. Aquí tenemos dos formas, P y Q.
El volumen de las formas semejantes P y Q, StudySmarter Originals
El volumen de la forma P es
\[\text{Volumen de P}=a \times b\times c\]
y el volumen de la forma Q es
\text[\text{Volumen de Q}=na \times nb\times nc=n^3 abc\]
donde \(n\) es el factor de escala en este caso. Para obtener una visión más clara, veamos algunos ejemplos trabajados.
Aquí tenemos dos prismas triangulares similares M y N. El volumen de M es de 90 cm3. ¿Cuál es el volumen de N? ¿Cuál es la relación entre el volumen M y el volumen N?
Ejemplo 3
Solución
Para abordar este problema, primero tenemos que hallar el factor de escala de ampliación. Observa que en la figura anterior se dan un par de longitudes laterales correspondientes de M y N. Podemos utilizar esta información para hallar el factor de escala desconocido.
\[\frac{21}{7}=3\]
Por tanto, \(n=3\) es el factor de escala. A partir de aquí, podemos utilizar la fórmula \(\text{Volumen M}n^3=\text{Volumen N}\) (consulta las formas P y Q mostradas anteriormente) para hallar el volumen de N. Así ,
\[90\times 3^3=\text{Volumen N}\]
Resolviendo esto se obtiene
\text{Volumen N}=2430\}]
Por tanto, el volumen de N es de 2430 cm3.
Como ya hemos deducido los volúmenes de M y N, podemos escribir el cociente de \(\text{Volumen M}:\text{Volumen N}\) como
Llego unos minutos tarde; mi reunión anterior se está alargando.
\[90:2430\]
Simplificando esto al dividir ambos lados por 90, obtenemos
\[1:27\]
Por tanto, la relación entre el Volumen M y el Volumen N es \(1:27\).
He aquí otro ejemplo trabajado.
Tenemos dos prismas rectangulares P y Q. Los volúmenes de P y Q vienen dados por 30 cm3 y 3750 cm3 respectivamente. Determina las dimensiones de Q.
Ejemplo 4
Solución
Lo primero que tenemos que hacer aquí es hallar el factor de escala de ampliación, \(n\). Como nos dan el volumen de P y Q, podemos utilizar la fórmula \ (\text{Volumen P}n^3=\text{Volumen Q}\). Al hacerlo, obtenemos
\[30n^3=3750\]
Dividiendo ambos lados por 30, obtenemos
\[n^3=125\]
Tomando ahora la raíz cúbica de 125 obtenemos
\[n=5\]
Por tanto, el factor de escala es igual a 5. Dado que la altura, la anchura y la longitud de P son 1 cm, 5 cm y 7 cm respectivamente, basta con multiplicar cada uno de estos componentes por el factor de escala que hemos hallado para deducir las dimensiones de Q.
Altura de Q (=1 por 5 = 5)
Anchura de Q (=5 veces 5 = 25)
Longitud de Q (=7 veces 5 = 35)
Por tanto, la altura, la anchura y la longitud de Q son 5 cm, 25 cm y 35 cm respectivamente.
¡El área y el volumen de las formas congruentes son siempre iguales!
Ejemplos de formas semejantes y congruentes
En esta última sección, observaremos algunos ejemplos prácticos más que resumen todo lo que hemos aprendido a lo largo de este debate.
Las formas semejantes A, B y C tienen superficies en la proporción \(16:36:81\). ¿Cuál es la razón de sus alturas?
Ejemplo 5
Solución
Denotemos la superficie de A, B y C por \(a^2\), \(b^2\) y \(c^2\) respectivamente. El cociente de estas superficies viene dado por \ (16:36:81\). Esto, a su vez, también puede expresarse como \(a^2:b^2:c^2\).
Recuerda que si dos formas similares tienen lados en la proporción \(x:y\), entonces la proporción de sus áreas es \(x^2:y^2\). En este caso, ¡tenemos tres lados!
La razón de sus alturas es \ (a:b:c\). Por tanto, sólo tenemos que hallar la raíz cuadrada de cada componente de la relación de superficies de A, B y C para determinar la relación de sus alturas. Dada la relación de superficies \ (16:36:81\), la raíz cuadrada de 16, 36 y 81 es 4, 6 y 9. Por tanto, la relación entre las alturas de A, B y C es
\[4:6:9\]
He aquí otro ejemplo.
Las formas X e Y son similares. Calcula la superficie de B.
Ejemplo 6
Solución
Para empezar, calculemos primero el área superficial de X.
\[\text{Área de superficie X}=2\times[(8\times 4)+(4\times 20)+(8\times 20)]=2\times 272=544\].
Por tanto, la superficie de X es de 544 cm2. Ahora compararemos las longitudes correspondientes para hallar el factor de escala de la ampliación. Aquí nos dan las longitudes de X e Y.
\[\frac{40}{20}=2\]
Por tanto, el factor de escala es \(n=2\). Ahora podemos utilizar esta información para hallar la superficie de Y mediante la fórmula \(\text{Superficie X}n^2=\text{Superficie Y}\)
\544 veces 2^2=texto{Área de superficie Y}].
Resolviendo esto se obtiene
\544 veces 4 = 2176].
Por tanto, la superficie de Y es de 2174 cm2.
Veamos el siguiente ejemplo.
A continuación hay 3 pares de triángulos congruentes. Determina qué tipo de congruencia tienen y explica tu respuesta.
| A | B | C |
Ejemplo 7(a) |
Ejemplo 7(b) |
Ejemplo 7(c) |
Solución
La pareja A es Congruencia SAS puesto que dos lados y un ángulo incluido del triángulo azul son iguales a los correspondientes dos lados y ángulo incluido del triángulo amarillo.
La pareja B es Congruencia AAS ya que dos ángulos y un lado no incluido del triángulo blanco son iguales a los correspondientes dos ángulos y el lado no incluido del triángulo naranja.
La pareja C es Congruencia ASA ya que dos ángulos y un lado incluido del triángulo verde son iguales a los correspondientes dos ángulos y lado incluido del triángulo rosa.
¡Ya casi está! Aquí tienes un ejemplo más.
Dos sólidos semejantes tienen longitudes laterales en la proporción \(4:11\).
- ¿Cuál es la relación entre sus volúmenes?
- El sólido más pequeño tiene un volumen de 200 cm3. ¿Cuál es el volumen del sólido mayor?
Solución
Denotemos el sólido menor por X y el mayor por Y, y las longitudeslaterales de X e Y por \(x\) y \(y\) respectivamente. La razón de sus longitudes laterales se escribe como \(x :y\) y viene dada por \ (4:11\).
Pregunta 1: Recuerda que si dos formas similares tienen lados en la proporción \(x:y\), entonces la proporción de sus áreas es \(x^2:y^2\). Por tanto, bastaría con elevar al cuadrado los componentes de la relación de longitudes de los lados X e Y para calcular la relación de sus volúmenes. El cuadrado de 4 y 11 es 16 y 121 respectivamente. Por tanto, la relación entre el volumen X y el volumen Y es
\[16:121\]
Pregunta 2: Expresando este cociente enfracciones , tenemos
\frac{\text{Volumen X}}{\text{Volumen Y}}=\frac{16}{121}\]
Observando ahora el volumen dado de X
\[\frac{200}{\text{Volume Y}}=\frac{16}{121}\]
Reordenando esta expresión, obtenemos
\[\text{Volumen Y}=\frac{200{veces 121}{16}]
Resolviendo esto obtenemos
\[\text{Volume Y}=\frac{3025}{2}=1512.5\]
Por tanto, el volumen de Y es 1512,5 cm3.
Formas semejantes y congruentes - Puntos clave
- Dos formas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamaño.
- Dos formas son semejantes si tienen exactamente la misma forma pero distinto tamaño.
- Si una imagen recupera su forma original al girarla, trasladarla o reflejarla, entonces es congruente.
- Las formas similares pueden tener orientaciones diferentes.
- La imagen de una forma tras una dilatación es similar a su forma original.
- Se dice que dos triángulos son congruentes si la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos son exactamente iguales.
- Se dice que dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son iguales y los lados correspondientes tienen la misma razón.
- Si dos formas semejantes tienen lados en la razón \(x:y\), entonces la razón de sus áreas es \ (x^2:y^2\).
- Si dos figuras semejantes tienen lados de razón\(x:y\), la razón de sus volúmenes es \ (x^3:y^3\).
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