Forma Exponencial de Números Complejos

Fórmula de Euler

A nadie le sorprende que nos encontremos con Leonhard Euler, también aquí, como en casi todas las demás ramas de las matemáticas. Existe una ecuación muy elegante, que engloba funciones exponenciales, números complejos y funciones trigonométricas, todo en una fórmula. Se conoce como Fórmula de Euler o Identidad de Euler.

La fórmula es la siguiente

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Lamentablemente, la demostración de esta ecuación está fuera del alcance actual de este artículo. El lado derecho de la ecuación te resultará muy familiar si lo observas detenidamente. No es más que una parte integral de la forma Polar de un número Complejo.

Forma polar y fórmula de Euler

Y ahora podemos sustituir la fórmula de Euler por la forma Polar para obtener nuestra forma Exponencial de un número complejo. Así que sustituyendo \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) en \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

$$z=re^{i\theta}$$

que es lo que buscábamos. Ahora tenemos una fórmula que convierte un número complejo en forma simple a una forma exponencial.

Observa que \(\cos\theta+i\sin\theta) suele abreviarse como \(\rm{cis}\,\theta) por comodidad y para evitar el desorden.

Esta forma también puede extenderse a potencias de números complejos, como \(z^{3}=r^{3}e^{i3\theta}\), \(z^{4}=r^{4}e^{i4\theta}\), etc. En general \(z^{n}=r^{n}e^{in\theta}\).

De la forma exponencial a la forma rectangular

De vez en cuando, uno puede desear la forma rectangular de un número complejo en lugar de la forma Exponencial. Podemos convertir una en otra comparando las dos formas, como sigue

$$z=a+i b \hspace{5mm} \ y \ z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta}$$

Comparando el lado derecho de las dos ecuaciones anteriores,

$$a=r \cos \theta \hspace{5mm} \ y \ b=r sen \theta$$

donde \(r\) es la magnitud de \(z\) por lo que tenemos

$$\cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \espacio de h \ y \ espacio h 5 mm \sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

Sustituyendo \(\sin \theta\) y \(\cos \theta\) en la forma exponencial:

$$z=r e^{i \theta}=\frac{a} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\frac{i b} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

Por tanto, se puede convertir un número complejo dado en forma exponencial a forma rectangular utilizando la fórmula anterior.

Cálculo de la forma exponencial de los números complejos

Para dar una idea de cómo se representa la forma exponencial de un número complejo en un plano complejo, necesitamos trazar una gráfica. Para un número complejo \(z=re^{i\theta}\), el número complejo partirá del origen y formará un ángulo \(\theta\) con el eje positivo \(x-\).

Fig. 1: Un número complejo en un plano de Argand.

La forma exponencial es una forma muy concisa de escribir los números complejos, y también es muy útil porque muestra el argumento y la magnitud del número complejo.

Algo importante a tener en cuenta sobre los números complejos en esta forma es que un número complejo de la forma \(z=a+ib\) puede escribirse no en una, sino en varias formas exponenciales. Esto se debe a que el argumento \(\theta\) pertenece al intervalo \((0,2\pi]\) y la función puede alcanzar el mismo valor para numerosos argumentos. Por ejemplo, \(\tan \frac{\pi}{4}=tan \frac{5\pi}{4}}), lo que implica también que \(re^{\frac{\pi i}{4}}=re^{\frac{5\pi i}{4}}).

Para las coordenadas rectangulares, sólo puede adoptar una forma a la vez. Por eso, en las formas exponenciales, para evitar confusiones, sólo tenemos en cuenta el argumento Principal de un número complejo.

Sigue los pasos que se indican a continuación para convertir un número complejo en una forma exponencial:

1. A partir del \(z=a+ib\) dado, halla la magnitud de \(z\): \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)

2. Calcula ahora el argumento principal del número complejo: \(\tan\theta=\frac{b}{a}\)

3. Así, ahora tenemos la forma exponencial como \(z=re^{i\theta}\)

Ejemplos de forma exponencial de números complejos