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Las trayectorias arqueadas se encuentran en otras actividades con proyectiles, como disparar una bala de cañón y golpear una pelota de golf. En estos escenarios, puedes utilizar funciones cuadráticas para saber a qué altura viajará el objeto y dónde aterrizará.
En esta explicación, exploraremos las distintas formas de las funciones cuadráticas y veremos cómo convertirlas de una a otra.
¿Cuáles son las formas de las funciones cuadráticas?
Hay tres formas de funciones cuadráticas de uso común.
- Forma estándar o general: \(y=ax^2+bx+c\)
- Formafactorizada o de intersección: \(y=a(bx+c)(dx+e)\)
- Forma devértice: \(y=a(x-h)^2+k\)
Cada una de estas formas puede utilizarse para determinar información diferente sobre la trayectoria de un proyectil. Comprender las ventajas de cada forma de una función cuadrática te será útil para analizar las distintas situaciones que se te presenten.
Forma estándar (forma general) de una función cuadrática
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada Parábola. Todas las parábolas son simétricas y tienen un punto máximo (el más alto) o mínimo (el más bajo). El punto en el que una parábola se encuentra con su eje de simetría se llama vértice. Este vértice será el punto máximo o mínimo de la gráfica.
Forma estándar de una función cuadrática: \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a, b\), y \(c\) son constantes con \(a\neq 0\).
Una ventaja de la forma estándar es que puedes identificar rápidamente el comportamiento final y la forma de la parábola observando el valor de \(a\) en la ecuación de la función. Este valor de a también se denomina coeficiente principal de la ecuación de la forma estándar. Si el valor de a es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Si el valor de \(a\) es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
Fig. 1. Parábola ascendente y descendente.
A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática, \(f(x)=3x^2+2x-1\). Como se trata de una ecuación cuadrática en forma estándar, podemos ver que \(a=3\). Observa que con un valor positivo de \(a\), la parábola se abre hacia arriba.
Fig. 2. Forma estándar.
A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática, \(f(x)=-3x^2+2x+1\). Como se trata de una ecuación cuadrática en forma estándar, podemos ver que \(a=-3\). Observa que con un valor negativo de \(a\), la parábola se abre hacia abajo.
Fig. 3. Ejemplos de función cuadrática en forma estándar en una gráfica.
La forma estándar es útil para
Encontrar la intersección y. Esto puede hacerse fijando \(x=0\).
Introducir la fórmula cuadrática identificando los valores reales de \(a, b\), y \(c\).
Hallar el eje de simetría mediante \(x=\dfrac{-b}{2a}\).
La forma factorizada (forma de intercepción) de una función cuadrática
Forma factorizada deuna función cuadrática: \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\), donde \(a\) es una constante y \(r_1\) y \(r_2\) son las raíces de la función.
La forma factorizada de una función cuadrática, al igual que la forma estándar, es útil para determinarel comportamiento final analizando el valor de \(a\). Como en la forma estándar, el signo de a determina si la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo.
La forma factorizada tiene la ventaja añadida de revelar fácilmente las raíces , o intersecciones x, de la función mediante la aplicación de la propiedad producto cero.
Propiedad del producto cero: Si \(a\times b=0\) entonces o bien \(a=0\) o bien \(b=0\).
Para una ecuación de función cuadrática en la forma factorizada \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\), podemos aplicar la propiedad del producto cero para averiguar cuándo \(f(x)\) será igual a cero. En otras palabras, donde \(x-r_1=0\) o \(x-r_2=0\) la gráfica tocará el eje x.
Halla las raíces de la función cuadrática \(f(x)=(2x+1)(x-4)\).
Solución:
Cuando te piden que encuentres las raíces de una función, te están pidiendo que encuentres los valores x que dan como resultado \(f(x)=0\). En otras palabras, quieres identificar los interceptos x.
Utilizando la propiedad del producto cero;
$$2x+1=0$$
o
$$x-4=0$$
Resuelve la primera ecuación:
\[\begin{align} 2x+1&=0\\2x&=-1\\x&=-\dfrac{1}{2}\end{align}\]
Resolviendo la segunda ecuación
\[\begin{align}x-4&=0\\x&=4\end{align}\]
Por tanto, las raíces de la función son \(x=-\dfrac{1}{2}\) y \(x=4\).
La gráfica de la parábola en forma factorizada \(f(x)=-(x+2)(x-3)\) está orientada hacia abajo porque \(a = -1\).
Aplicando la propiedad del producto cero, encontramos que las raíces son: \(x=-2\) y \(x=3\).
Fig. 4. Forma factorizada.
Es importante tener en cuenta que no todas las funciones o ecuaciones cuadráticas tienen raíces reales. Algunas cuadráticas tienen números imaginarios como raíces, y como resultado, la forma factorizada puede no ser siempre aplicable.
Forma de vértice de una función cuadrática
Formade vértice de una función cuadrática: \(f(x)=a(x-h)^2+k\), donde \(a, h\), y \(k\) son constantes.
Como indica su nombre, a partir de la forma de vértice, podemos identificar fácilmente el vértice de la función cuadrática utilizando los valores de \(h\) y \(k\). Además, al igual que con la forma estándar y factorizada, podemos determinar el comportamiento final de la gráfica fijándonos en el valor a.
La función cuadrática \(f(x)=-7(x-2)^2+16\) está en forma de vértice.
El valor de \(a\) es \(-7\). Por tanto, la gráfica se abrirá hacia abajo.
Recuerda que la forma de vértice de una ecuación cuadrática es
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$
y la ecuación dada es
$$f(x)=-7(x-2)^2+16$$
Por comparación, \(h\) es \(2\), mientras que \(k\) es \(16\).
El vértice es \((2, 16)\) porque \(h = 2\) y \(k = 16\).
El vértice es el punto donde el eje de simetría se encuentra con la parábola. También es el punto mínimo de una parábola que se abre hacia arriba o el punto máximo de una parábola que se abre hacia abajo.
Considera la función cuadrática \(f(x)=3(x-2)^2-1\) en la forma de vértice.
Fig. 5. Forma de vértice.
A partir de la ecuación de la forma de vértice, \(a = 3\). Por tanto, la gráfica se abre hacia arriba.
Recuerda que la forma de vértice de una ecuación cuadrática es
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$
y la ecuación dada es
$$f(x)=3(x-2)^2-1$$
Por comparación, \(h\) es \(2\), mientras que \(k\) es \(-1\).
Como \(h=2\) y \(k=-1\), el vértice está situado en el punto \((2,-1)\). Este vértice está situado en el eje de simetría de la parábola. Por tanto, la ecuación del eje de simetría de esta función cuadrática es \(x=2\). Observa que el eje de simetría está situado en el valor x del vértice.
Conversión entre distintas formas de funciones cuadráticas
Distintos escenarios pueden requerir que resuelvas distintas características clave de una parábola. Resulta útil poder convertir la misma ecuación de función cuadrática a formas diferentes.
Por ejemplo, te pueden pedir que encuentres los ceros, o intersecciones x, de una ecuación de función cuadrática dada en la forma estándar. Para encontrar eficazmente los ceros, primero debemos convertir la ecuación a la forma factorizada.
Convertir una función cuadrática de forma estándar a forma factorizada
Convierte \(f(x)=2x^2+7x+3\) en forma factorizada.
Solución:
Para pasar de la forma estándar a la forma factorizada, tenemos que factorizar la expresión \(2x^2+7x+3\).
Recordemos cómo es la forma factorizada \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\).
Para factorizar la expresión , podemos factorizarla agrupándola.
Para ello, encuentra los factores del producto de los valores de \(a\) y \(c\) que también suman para hacer \(b\). En este caso, \(6\) es el producto de \(a\) y \(c\), y \(b=7\). Podemos enumerar los factores de \(6\) y sus sumas como sigue:
Factores de \(6\);
- \(1\) y \(6\) : \(1+6=7\)
- \(2\) y \(3\) : \(2+3=5\)
Los dos valores cuyo producto es \(6\) y suman \(7\) son \(1\) y \(6\). Ahora podemos dividir el término medio y reescribir la expresión como sigue
$$2x^2+7x+3=(2x^2+6x)+(x+3)$$
Ahora podemos factorizar el FGD de cada grupo. En este caso, \(2x\) se puede factorizar a partir de los dos primeros términos y \(1\) se puede factorizar a partir de los dos últimos términos. Por tanto, podemos factorizar toda la expresión aplicando la propiedad distributiva.
$$2x(x+3)+1(x+3)$$
$$(2x+1)(x+3)$$
Por tanto, nuestra ecuación resultante en forma factorizada es $$(f(x)=(2x+1)(x+3)$$.)
Ahora podemos proceder a encontrar los ceros, raíces o intersecciones x, haciendo la ecuación de la función igual a cero y aplicando la propiedad del producto cero.
$$(2x+1)(x+3)=0$$
$$2x+1=0$$
$$2x=-1$$
$$x=-\dfrac{1}{2}$$
o
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
Por tanto, los ceros de la función \(f(x)=2x^2+7x+3\) son \(-\dfrac{1}{2}\) y \(-3\).
Fig. 6. Ejemplo de conversión en un gráfico.
Convertir una función cuadrática de forma estándar a forma de vértice
En lugar de resolver los ceros de una función cuadrática, se nos puede pedir el vértice. Por ejemplo, nos pueden pedir que encontremos el vértice de una función o ecuación cuadrática.
Para encontrar el vértice, sería útil convertir la ecuación de forma estándaren forma de vértice.
Recuerda que la forma de vértice de la ecuación de la función cuadrática es \(f(x)=a(x-h)^2+k\).
Para pasar de la forma estándar a la forma de vértice, podemos utilizar una estrategia llamada completar el cuadrado. Básicamente, estamos utilizando el razonamiento algebraico para crear un trinomio que pueda factorizarse en un cuadrado perfecto.
Trinomiocuadrado perfecto: expresión que se obtiene elevando al cuadrado una ecuación binómica. Tiene la forma \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
En pocas palabras, tenemos que elegir estratégicamente una constante para añadir a la ecuación que nos permita factorizar la expresión como un cuadrado perfecto. Esto creará la parte \((x-h)^2\) de la ecuación en forma de vértice.
Convierte la función cuadrática \(f(x)=-3x^2-6x-9\) en forma de vértice.
Solución:
Paso 1:
Si tenemos un coeficiente principal distinto de uno, podemos factorizar ese valor fuera del trinomio como factor común. Recuerda que el coeficiente principal es el número situado delante de \(x^2\). En este caso, el coeficiente principal es \(-3\).
$$y=-3(x^2+2x+3)$$
Paso 2:
Tenemos que determinar qué valor añadir a la ecuación que creará un trinomio cuadrado perfecto por un lado. Este valor siempre será \(\ izquierda(\dfrac{b}{2}\ derecha)^2\). En nuestro trinomio resultante, \(b = 2\). Por tanto
$$\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1^2=1$$
Ahora podemos añadir este valor como constante dentro de nuestro trinomio. Quizá estés pensando: "¿cómo podemos elegir un número para añadirlo al trinomio?". ¡Sólo podemos añadir el valor si también lo restamos! De este modo, estamos añadiendo \(0\) al trinomio. El resultado será así
$$y=-3(x^2+2x+1-1+3)$$
Observa que al hacerlo hemos obtenido un trinomio cuadrado perfecto (de ahí el nombre de la estrategia "completar el cuadrado"). Ahora hemos creado un trinomio cuadrado perfecto como los tres primeros términos del paréntesis que podemos factorizar en el cuadrado de un binomio.
$$y=-3((x+1)^2-1+3)$$
$$y=-3((x+1)^2+2)$$
Distribuyendo la \(-3\) resulta lo siguiente:
$$y=-3(x+1)^2-6$$
Recuerda que la forma de vértice de una ecuación cuadrática se expresa como
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$
y tienes
$$y=-3(x+1)^2-6$$
por tanto, \(h\) es \(-1\), mientras que \(k\) es \(-6\).
Ahora tenemos nuestra ecuación cuadrática en forma de vértice. En esta forma, vemos que el vértice, \((h,k)\) es \((-1,-6)\).
Convertir una función cuadrática de la forma factorizada a la forma estándar
Convertir una ecuación de función cuadrática de la forma factorizada a la forma estándar implica multiplicar los factores. Puedes hacerlo aplicando la propiedad distributiva, a veces denominada método FOIL.
Convierte la función cuadrática \(f(x)=(3x-2)(-x+7)\) en forma estándar.
Solución:
Utilizando la doble distribución, o FOIL, multiplicamos juntos los factores \((3x-2)\) y \((-x+7)\). Así
$$f(x)=(3x)(-x)+(3x)(7)+(-2)(-x)+(-2)(7)$$
$$f(x)=-3x^2+21x+2x-14$$
$$f(x)=-3x^2+23x-14$$
Ahora tenemos la ecuación reescrita en forma estándar. A partir de aquí, podemos identificar el eje de simetría y la intersección y.
Convertir una función cuadrática de la forma de vértice a la forma estándar
Por último, también puede haber situaciones en las que necesites convertir la ecuación de una función cuadrática de la forma de vértice a la forma estándar.
Convierte la ecuación \(f(x)=2(x+7)^2-10\) en forma estándar.
Solución:
Expandiremos la expresión \((x+7)^2\), utilizando de nuevo la distribución doble para multiplicar. A continuación, distribuye el valor a por el trinomio resultante. Por último, combina los términos semejantes.
\[\begin{align}f(x)&=2(x+7)^2-10=\\&=2(x+7)(x+7)-10=\\&=2(x^2+14x+49)-10=\\&=2x^2+28x+98-10=\\&=2x^2+28x+88\end{align}\]
Ahora tenemos la ecuación reescrita en forma estándar. Una vez más, podemos identificar el eje de simetría y la intersección y.
Formas de las funciones cuadráticas - Puntos clave
- La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Las parábolas tienen varias características clave de interés, como el comportamiento final, los ceros, un eje de simetría, una intersección y y un vértice.
- La forma estándar de una ecuación de función cuadrática es \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a, b\), y \(c\) son constantes con \(a\neq0\).
- La forma estándar nos permite identificar fácilmente: el comportamiento final, el eje de simetría y la intersección y.
- La forma factorizada de una función cuadrática es \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\).
- La forma factorizada nos permite identificar fácilmente: el comportamiento de los extremos y los ceros.
- La forma de vértice de una función cuadrática es \(f(x)=a(x-h)^2+k\), donde \(a, h\), y \(k\) son constantes con \(a\neq 0\).
- La forma de vértice nos permite identificar fácilmente: comportamiento final, y vértice.
- Podemos utilizar la multiplicación polinómica y los principios de factorización para convertir entre estas diferentes formas.
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