Pues bien, como tienes la longitud y la anchura de tu suelo, puedes utilizar simplemente la fórmula del área de un rectángulo para determinar la cantidad de material que necesitas. El área de un rectángulo viene dada por el producto de su longitud y su anchura. En este caso, necesitarías un total de \(20\) metros cuadrados de paneles de madera para cubrir tu suelo. Este es un ejemplo de fórmula matemática.
En este artículo veremos las fórmulas matemáticas y las formas de expresarlas para utilizarlas en la resolución de problemas numéricos.
Definición de una fórmula en matemáticas
Una fórmula en matemáticas es una herramienta útil que se utiliza para determinar soluciones mediante una expresión dada. Conociendo la receta general necesaria para resolver un problema concreto, podrás reproducir el mismo estilo de trabajo si te encuentras con una situación similar. Este proceso se realiza mediante diversas operaciones matemáticas.
Una fórmula matem ática es una regla en forma de enunciado expresada en símbolos para ayudar a resolver problemas fácilmente.
Las fórmulas constan de distintas cantidades unidas por el signo igual. Contienen variables y, a veces, constantes. Esto significa que si tienes los valores de ciertas variables en una fórmula puedes encontrar el valor de las variables restantes.
Ejemplo de fórmula matemática
Para hacernos una idea más clara de lo que es una fórmula matemática, vamos a demostrarlo con un ejemplo.
Considera que un rectángulo es un terreno propiedad del Sr. Parker. Quiere convertirlo en un parque al que puedan venir a jugar los niños del barrio. Quiere saber la medida exacta alrededor de este terreno en concreto, la suma de todas las longitudes y anchuras. Esta medida se conoce como perímetro.
Una forma de medir el perímetro del rectángulo anterior es medir manualmente todo el terreno. Sin embargo, puede hacerse matemáticamente si se conocen algunos lados. Si sabes que la longitud es de \(100\) metros y la anchura es de \(55\) metros, puedes utilizar simplemente una fórmula matemática que te da una receta general que calcula el perímetro de un rectángulo.
Examinando detenidamente las propiedades del rectángulo, observarás que los dos lados opuestos son iguales. Esto significa que si la longitud de abajo es de \(100\) metros, la longitud de arriba también será de \(100\) metros. Por tanto, puedes escribir la fórmula para hallar su perímetro. Que la letra \(l\) represente la longitud, y \(w\) represente la anchura:
\[ \text{Perímetro del rectángulo } = l + l + w+w.\]
Esto puede simplificarse aún más añadiendo los términos similares
\Perímetro del rectángulo = 2l + 2w.
Puedes factorizar \text(2\) para obtener
\Perímetro del rectángulo = 2(l + w).
Teniendo esto como fórmula para hallar el perímetro de un rectángulo, puedes ir sustituyendo números en ella para ver si ayuda al Sr. Parker a resolver su problema con eficacia.
{\i1}Inicio{\i} {\i} {align} \text{Perímetro del rectángulo} &= 2(l + w) &= 2(100 + 55) &= 2(155) &= 310 \, m. \end{align}\]
Con el uso de la fórmula, el Sr. Parker puede conocer sencillamente el perímetro de su terreno sin tener que medirlo todo manualmente.
En varios campos de las matemáticas se aplican distintas fórmulas. Para saber dónde y cómo se pueden aplicar las fórmulas, debes comprender el problema que estás tratando y saber qué variables son significativas.
Cómo escribir una fórmula matemática
Como ya se ha dicho, las fórmulas tienen forma de Ecuaciones o identidades. Constan de variables y, a veces, de constantes. La tarea fundamental de escribir fórmulas es saber qué representar como variable relevante.
Por ejemplo, si quieres escribir una fórmula para el perímetro de un rectángulo, debes saber que la longitud tiene una estrecha relación con el perímetro. Puedes poner un ejemplo de cómo se escriben las fórmulas.
Supón que sabes que \(3\) gatos comen tanta comida como un perro grande. Escribe una fórmula para determinar el volumen de comida que necesitarás para alimentar a \(27\) gatos y \(10\) perros grandes en función del Número de perros que tengas.
Solución
Conviene que decidas primero lo que pretendes hacer. Intentas encontrar una fórmula para el volumen dado número de gatos y número de perros. Así que vamos a darles unas variables.
- \(c\) es el número de gatos
- \(d\) es el número de perros
- \(V\) es el volumen de comida
Se te pide que encuentres una fórmula para el volumen de comida de \(27\) gatos y \(10\) perros. ¿Qué sabes? Sabes que 3 gatos comen lo mismo que un perro grande. Así que
\[3c = 1d.\]
Quieres la fórmula para \(27\) gatos y \(10\) perros, o dicho de otro modo, la fórmula para
\[ V = 27c + 10d,\]
pero la quieres en términos de perros, ¡no de perros y gatos! ¿Qué hacer? Bueno, no has aprovechado el hecho de que \(3c = d\). Puedes hacer una pequeña factorización para obtener
\[ \begin{align} V &=27c + 10d &= 9(3c) + 10d, \end{align}\]
y luego sustituye por \(3c = d\) para obtener
\V &=9(3c) + 10d. V &=9(3c) + 10d \\\N &= 9d+ 10d \\N &= 19d, \end{align}\].
que es una fórmula de la cantidad de comida que necesitas para alimentar a \ (27\) gatos y \(10\) perros grandes en función del número de perros que tengas.
Las fórmulas matemáticas más importantes
El término "más importantes" es un poco engañoso, ¡ya que en realidad depende de a quién preguntes! Sin embargo, en esta sección se discutirán algunas fórmulas comunes que se utilizan en todas las matemáticas.
Áreas de formas
El área de una forma viene definida por una región bidimensional delimitada por la forma dada.
Concepto | Fórmula |
Área de un rectángulo | Área = longitud \(times\) anchura |
Área del paralelogramo | Superficie = base \(times\) altura |
Área de un triángulo | Área = base (veces) altura |
Área del círculo | Área = \(\pi\times \) radio\(\times) radio |
Volúmenes de sólidos
El volumen de un sólido es la cantidad de espacio tridimensional ocupado por un objeto, recipiente o superficie cerrada.
Concepto | Fórmula |
Cuboide | Volumen = longitud \(\times\) base\(\times\) altura |
Prisma triangular | Volumen = longitud (veces) base( veces) altura |
Cilindro | Volumen = \( \pi\times\) radio(\times\) radio(\times\) altura |
Medida compuesta
Las medidas compuestas son expresiones que contienen más de una cantidad.
Concepto | Fórmula |
Velocidad | \( \text{Velocidad } = \dfrac{ \text{Distancia}} {{text{tiempo}}) |
Densidad | \("Densidad" = "Masa" = "Volumen") |
Presión | \( \text{Presión} = \dfrac{text{Fuerza}} {{text{Área}}) |
Álgebra de la reescritura de fórmulas
Es útil saber reescribir fórmulas, ya que te pueden dar el área de un rectángulo y pedirte que averigües su longitud. Cuando reescribes una fórmula, el objetivo es crear una ecuación que sea equivalente a la fórmula pero con la variable que falta por sí misma.
La regla fundamental para hacerlo es la regla de oro de la manipulación de ecuaciones. Dice que hagas al lado de una ecuación lo que hagas al otro. Esto significa que si la manipulación requiere que añadas valores a un lado de la ecuación, haz la misma adición en el lado izquierdo de la ecuación. He aquí un ejemplo.
Si se dan los valores de la masa y la densidad, ¿cuál será la fórmula del volumen?
Solución
La fórmula en la que están presentes todas las cantidades mencionadas es la fórmula de la densidad.
\[\text{Densidad } = \dfrac{ \text{ Masa}} {{text{ Volumen}}]
Para hallar la fórmula del volumen, tendrás que hacer que el volumen sea el sujeto de la ecuación. Esto significará que cualquier forma de manipulación en cualquier lado de la ecuación requerirá que se replique en el otro lado. Para ello, primero tendrás que multiplicar ambos lados de la ecuación por el volumen,
\[\text{Densidad }\times \text{ Volumen } =dfrac{{texto{masa}}{{texto{volumen}} \veces el volumen]].
y luego cancelar para obtener
\Densidad multiplicada por Volumen = Masa.
Ahora puedes dividir ambos lados por la Densidad
\drac {texto{Densidad}{veces {texto{Volumen}} {texto{Densidad}} } = "masa" por "densidad". }\]
y cancelar de nuevo para obtener
\text{Volumen} = \dfrac{texto}{Masa}{texto}{Densidad} }].
Veamos otro ejemplo.
Halla la longitud de un rectángulo dado que su área es \(42\, cm^2) y su anchura es \(6\, cm\).
Solución
En primer lugar, puedes escribir la fórmula para hallar el Área de un rectángulo
\[A = lw.\\]
Para hallar la longitud, tendrás que convertirla en el sujeto de la ecuación. Esto significa que tienes que realizar algunas manipulaciones. Lo que hagas en un lado requerirá que se haga en el otro. Para aislar la longitud para que esté sola en un lado de la ecuación, tendrás que dividir ambos lados de la ecuación por la anchura
\[ \frac{A}{w} = \frac{lw}{w}]
y luego cancelar para obtener
\[ l = \frac{A}{w}.\}]
Ahora tienes una fórmula para hallar la longitud en esta situación. Puedes seguir adelante para hallar la solución del problema sustituyendo en la fórmula:
\[ \begin{align} l &= \frac{A} {w} &= \frac{42} {6} \\ &= 7.\pend{align}\}]
¡No olvides las unidades! La longitud es \(7\, cm\).
Sustitución en fórmulas
La sustitución en fórmulas es el proceso de sustituir una variable por su valor en una fórmula. En este apartado, el uso de fórmulas se hace muy evidente. Dados los valores correctos de las variables, se pueden encontrar las variables desconocidas.
Todo el proceso de sustitución en fórmulas consiste en sustituir la letra (variables) por sus valores dados. Tomarás muchos ejemplos para ver cómo se pueden abordar los distintos tipos de situaciones posibles.
Halla \(z\) cuando \(x=7\) en la fórmula dada
\[z = x+2.\]
Solución
Lo único que tienes que hacer aquí es sustituir \(x\) en la fórmula por \(7\), ya que el problema dice que \(x\) es lo mismo que \(7\).
\[ \begin{align} z &= x+2 &= 7 + 2 &= 9.\end{align}\]
Aquí tienes otro ejemplo.
Halla \(l\) cuando \(m=5\) en la fórmula dada
\[ l = 7m.\]
Solución
Aquí sustituirás la letra \(m\) por el número \(5\) tal como se indica en el problema, y luego podrás seguir adelante para hallar \(l\). Así que
\[ l = 7m.\]
La relación entre \(7\) y \(m\) aquí es la multiplicación. Toda esta fórmula puede escribirse fundamentalmente como
\[l = 7 \cdot m,\]
o
\[l = 7(m).\]
Sustituyendo \(5\) por \(m\), obtienes
\[l &= 7(5) &= 35.\final{align}]
Fórmula matemática - Puntos clave
- Una fórmula matemática es una regla en forma de enunciado expresada en símbolos para ayudar a resolver problemas fácilmente.
- Las fórmulas constan de distintas cantidades unidas por el signo igual.
- La regla fundamental utilizada para reescribir fórmulas es la regla de oro de la manipulación de ecuaciones, que dice que hagas al lado de una ecuación lo que hagas al otro.
- La sustitución en las fórmulas es el proceso de sustituir una variable por su valor en una fórmula.
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