Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo: 'Trigonometría', 'Matemáticas'

Q: ¿Qué es la fórmula del ángulo doble?

La fórmula del ángulo doble permite encontrar senos y cosenos de doble de un ángulo: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) y cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ).

Q: ¿Para qué se usan las fórmulas del ángulo doble?

Las fórmulas del ángulo doble se usan para simplificar ecuaciones trigonométricas y resolver problemas de geometría y física.

Q: ¿Cómo se calcula la fórmula del medio ángulo?

Para calcular el medio ángulo se usan: sen(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) y cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).

Q: ¿Qué aplicaciones tienen las fórmulas del medio ángulo?

Las fórmulas del medio ángulo se aplican en integrales trigonométricas y al simplificar expresiones trigonométricas complejas.

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$\sin 2 θ \neq 2 \sin θ$

$\cos \frac{θ}{2} \neq \frac{\cos θ}{2}$ ?

En este artículo comprenderás qué ocurre cuando las identidades trigonométricas se duplican o se reducen a la mitad.

Fórmulas de doble ángulo

Las funciones trigonométricas se pueden duplicar, pero no del mismo modo que se duplican los números normales.

Si tienes la expresión 3y y vas a duplicarla, es fácil multiplicar 3y por 2 para obtener 6y. Observa que sen30° es 0,5 y al duplicar el ángulo obtienes 60°, pero sen60° no te daría 1. Como las operaciones matemáticas normales multiplicarían 0,5 por 2 para dar 1, las identidades trigonométricas requerirían su propia fórmula para duplicar su función.

Deducir la fórmula del doble ángulo para la función seno

Vamos a buscar la fórmula para sen2θ. Observa que

$\sin 2 θ = \sin (θ + θ)$

Recuerda que

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$

Tomando ahora $A = B = θ,$ obtenemos

$\sin 2 θ = \sin θ \cos θ + \sin θ \cos θ = 2 \sin θ \cos θ$

La fórmula del doble ángulo para la función seno viene dada por $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ .$

Halla $\sin 60 °$ utilizando la fórmula del ángulo doble.

Solución:

Tenemos

$60 ° = 2 (30 °)$

Por tanto,

$\sin 60 ° = \sin (2 \times 30 °) = 2 \sin 30 ° \cos 30 °$

pero,

$\sin 30 ° = \frac{1}{2}, \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

entonces,

$\sin 60 ° = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dado que $90 ° < θ < 180 °$ halla $\sin 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solución:

Tenemos sinθ en lo dado, pero para aplicar nuestra fórmula, necesitamos hallar cosθ.

Recuerda que

$\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$

por tanto,

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} \cos^{2} θ = \frac{9}{25}$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Observa que el rango del ángulo está entre 90° y 180°, lo que significa que θ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos en el segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto,

$\cos θ = - \frac{3}{5}$

Ahora tenemos que aplicar nuestra fórmula del doble ángulo,

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ = 2 \times \frac{4}{5} \times (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}$

Derivación de la fórmula del doble ángulo para la función Coseno

Ahora desarrollaremos la fórmula del ángulo doble para la función coseno. Derivamos tres fórmulas iguales.

Primero observamos que

$\cos 2 θ = \cos (θ + θ)$

Ahora, recuerda que

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Tomando $A = B = θ,$ obtenemos

$\cos 2 θ = \cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Así, obtenemos la primera fórmula para $\cos 2 θ$ ,

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Recordemos ahora la identidad

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1

por lo que tenemos

\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ

Ahora la sustituimos por la fórmula obtenida para $\cos 2 θ,$ para obtener

$\cos 2 θ = 1 - \sin^{2} θ - \sin^{2} θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Así, la segunda fórmula para $\cos 2 θ$ es

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

De forma similar, tenemos $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ .

Sustituyendo el valor de $\sin^{2} θ$ en la fórmula de $\cos 2 θ$ tenemos

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Así pues, la tercera fórmula de $\cos 2 θ$ es

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Las fórmulas del doble ángulo para la función coseno vienen dadas por,

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Dado que $90 ° < θ < 180 °$ halla $\cos 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solución:

Método 1.

La forma directa de hallar $\cos 2 θ$ es utilizar la fórmula $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ ya que nos dan el valor de $\sin θ$ .

Entonces,

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ = 1 - 2 {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - 2 (\frac{16}{25}) = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25 - 32}{25} = - \frac{7}{25}$

Método 2.

Podemos utilizar cualquiera de las otras fórmulas para hallar id="5120467" role="math" $\cos 2 θ$ utilizaremos id="5120468" role="math" $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 .$ Así pues, necesitamos encontrar $\cos θ$ .

Recordemos que $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ por tanto

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Observa que $90 ° < θ < 180 °$ esto significa que $θ$ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos del segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto,

$\cos θ = - \frac{3}{5}$

Por tanto, podemos aplicar nuestra fórmula

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 2 {(- \frac{3}{5})}^{2} - 1 = 2 \times \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}$

Para $180 ° < θ < 270 °$ hallar $\cos 2 θ$ cuando

$\cos θ = - \frac{1}{3}$

Solución:

Para resolver este problema, es más rápido utilizar la fórmula $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ .

Por tanto,

$\cos 2 θ = 2 \times {(\frac{- 1}{3})}^{2} - 1 = 2 \times \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$

Deducción de la fórmula del doble ángulo de la función tangente

Vamos a desarrollar la fórmula del doble ángulo de la función tangente.

Recordamos que

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

y ,

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

por tanto,

$\tan 2 θ = \frac{\sin 2 θ}{\cos 2 θ}$

Sustituyendo $\sin 2 θ$ y $\cos 2 θ$ por sus expresiones, obtenemos

$\tan 2 θ = \frac{2 \sin θ \cos θ}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$

Para simplificarlo aún más, dividimos tanto el numerador como el denominador del lado derecho de la ecuación por $\cos^{2} θ$ para obtener

$\tan 2 θ = \frac{\frac{2 \sin θ \cos θ}{\cos^{2} θ}}{\frac{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}} = \frac{\frac{2 \sin θ}{\cos θ}}{\frac{\cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} - \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}} = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

La fórmula del doble ángulo para la función tangente viene dada por,

$\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

Dado que $90 ° < θ < 180 °,$ hallar $\tan 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

la solución:

Tenemos que hallar $\tan θ$ lo que significa que primero tenemos que hallar $\cos θ$ .

Recordemos que $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ por tanto $\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$ . Sustituyendo $\sin θ$ por su valor, obtenemos

$\cos^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, para obtener

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Observa que $90 ° < θ < 180 °$ esto significa que $θ$ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos del segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto, $\cos θ = - \frac{3}{5}$ .

Por tanto,

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{\frac{4}{5}}{- \frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \times (- \frac{5}{3}) - \frac{4}{3}$

por tanto,

$\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} = \frac{2 \times (\frac{- 4}{3})}{1 - {(\frac{- 4}{3})}^{2}} = \frac{- \frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{- \frac{8}{3}}{- \frac{7}{9}} = - \frac{8}{3} \times (\frac{- 9}{7}) = \frac{24}{7}$

Derivación de las fórmulas de doble ángulo para las funciones secante, cosecante y cotangente

Las funciones secante, cosecante y cotangente son las recíprocas del coseno, el seno y la tangente, respectivamente. Para obtener sus fórmulas de ángulo doble, basta con hallar la inversa multiplicativa de las fórmulas de ángulo doble correspondientes.

Fórmula del doble ángulo para la secante

Recordamos por la definición de la función secante que

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ}$ por lo que $s e c 2 θ = \frac{1}{\cos 2 θ}$

pero a partir de la fórmula del doble ángulo para el coseno tenemos $\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ por tanto

$s e c 2 θ = \frac{1}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$

Expresemos ahora $s e c 2 θ$ en términos de $s e c θ$ y $c s c θ$ .

De hecho $\cos θ = \frac{1}{s e c}$ y $c s c θ = \frac{1}{\sin θ}$ por tanto tenemos

$s e c 2 θ = \frac{1}{{(\frac{1}{s e c θ})}^{2} - {(\frac{1}{c s c θ})}^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{s e c^{2} θ} - \frac{1}{c s c^{2} θ}} = \frac{1}{\frac{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ}{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}} = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ} .$

La fórmula del ángulo doble para la función secante viene dada por,

$s e c 2 θ = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ}$

Fórmula del ángulo doble para la cosecante

Recordamos por la definición de la función secante que

$c s c θ = \frac{1}{\sin θ}$ por lo que $c s c 2 θ = \frac{1}{\sin 2 θ}$

pero a partir de la fórmula del doble ángulo para la función seno, tenemos $\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$ por tanto

$c s c 2 θ = \frac{1}{2 \sin θ \cos θ} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sin θ} \times \frac{1}{\cos θ} = \frac{1}{2} \times c s c θ \times s e c θ c s c 2 θ = \frac{1}{2} c s c θ s e c θ$

La fórmula del doble ángulo para la función cosecante viene dada por,

$c s c 2 θ = \frac{1}{2} c s c θ s e c θ$

Fórmula del doble ángulo para la cotangente

Recordamos por la definición de la función secante que

$c o t θ = \frac{1}{\tan θ}$ por lo que $c o t 2 θ = \frac{1}{\tan 2 θ}$

Recordamos por la fórmula del doble ángulo para la función tangente que $\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ tenemos

$c o t 2 θ = \frac{1}{\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}} = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$

La fórmula del ángulo doble para la función cotangente viene dada por,

$c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$

Dado que $90 ° < θ < 180 °,$ halla $s e c 2 θ, c s c 2 θ$ y $c o t 2 θ$ dado que

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solución:

Tenemos el valor de sinθ, pero para aplicar estas fórmulas, necesitamos hallar cosθ.

Recordamos que $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Por tanto, $\cos θ = \pm \frac{3}{5}$ pero como $90 ° < θ < 180 °,$ así $\cos θ = - \frac{3}{5}$ .

Así que

$s e c θ = - \frac{5}{3}, c s c θ = \frac{5}{4}$

Por lo tanto, tenemos

$s e c 2 θ = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ} = \frac{{(\frac{- 5}{3})}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{4})}^{2} - {(\frac{- 5}{3})}^{2}} = \frac{\frac{25}{9} \times \frac{25}{16}}{\frac{25}{16} - \frac{25}{9}} = \frac{\frac{625}{144}}{\frac{225 - 400}{144}} = \frac{625}{- 175} = - \frac{25}{7}$

c s c 2 θ = \frac{1}{\sin 2 θ} = \frac{1}{2 \cos θ \sin θ} = \frac{1}{2 (- \frac{3}{5}) (\frac{4}{5})} = \frac{1}{- \frac{24}{25}} = - \frac{25}{24}

c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}

pero

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{- 3}{5}} = \frac{- 4}{3}

por tanto tenemos

c o t 2 θ = \frac{1 - {(\frac{- 4}{3})}^{2}}{2 (\frac{- 4}{3})} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{- \frac{8}{3}} = \frac{- \frac{7}{9}}{- \frac{8}{3}} = - \frac{7}{9} \times (- \frac{3}{8}) = \frac{7}{24} .

Fórmulas del ángulo medio

Las funciones trigonométricas pueden dividirse por la mitad, pero no del mismo modo que los números normales. Si tienes la expresión 6y y quieres reducirla a la mitad, es fácil multiplicar 6y por 0,5 para obtener 3y. Observa que sen30° es 0,5 y al dividir el ángulo por la mitad obtienes 15 grados, pero sen15° no te daría 0,25. Como las operaciones matemáticas normales multiplicarían 0,5 por 0,5 (la mitad) para dar 0,25, las identidades trigonométricas requerirían su propia fórmula para dividir por la mitad su función.

Deducir la fórmula del semiángulo para el seno

Para hallar $\sin \frac{θ}{2}$ recordamos primero que

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Sea $θ = \frac{\emptyset}{2}$ , por tanto

$\cos (2 \times \frac{ϕ}{2}) = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} \cos ϕ = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2}$

Para aislar $\sin^{2} \frac{ϕ}{2}$ , restamos 1 a ambos lados, para obtener

$co ϕ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} - 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} = \cos ϕ - 1$

Dividimos ambos lados de la ecuación por -2, obtenemos

$\sin^{2} \frac{ϕ}{2} = \frac{1 - \cos ϕ}{2}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, obtenemos

$\sin \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos ϕ}{2}}$

La fórmula del semiángulo para la función seno viene dada por,

$\sin \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos ϕ}{2}}$

Si $\sin θ = \frac{2}{3}$ y 90°<θ<180°, hallamos $\sin \frac{θ}{2}$ .

Solución:

Como $90 ° < θ < 180 °,$ $45 ° < \frac{θ}{2} < 90 °$ por tanto $\sin θ > 0 .$ por tanto,

\sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

Por tanto, para hallar $\sin \frac{θ}{2}$ tenemos que hallar cosθ. Recordemos que

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ \cos θ = \sqrt{1 - \sin^{2} θ}$

Puesto que

$\sin θ = \frac{2}{3}$

Entonces

$\cos θ = \sqrt{1 - {(\frac{2}{3})}^{2}} \cos θ = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} \cos θ = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ahora podemos sustituir el valor de cosθ en nuestra ecuación

$\sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{5}}{3}}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{3}}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{6}}$

Derivación de la fórmula del semiángulo para el coseno

Recuerda que

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Donde

$θ = \frac{\emptyset}{2}$

Por lo tanto

$\cos (2 \times \frac{\emptyset}{2}) = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1 \cos \emptyset = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1$

Suma 1 a ambos lados de la ecuación

$\cos \emptyset + 1 = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1 + 1 \cos \emptyset + 1 = 2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}$

Divide ambos lados por 2

$\frac{\cos \emptyset + 1}{2} = \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}$

Halla la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación

$\sqrt{\frac{\cos \emptyset + 1}{2}} = \cos \frac{\emptyset}{2}$

Por tanto

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Dado que

$\sin θ = - \frac{3}{4}$

para $180 ° < θ < 270 °$ halla $\cos \frac{θ}{2}$ .

Solución:

Para empezar, obtén el valor de cosθ.

Observa que

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$

Por tanto

$\cos^{2} θ = 1 - {(- \frac{3}{4})}^{2} \cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{16} \cos^{2} θ = \frac{7}{16} \cos θ = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

Recuerda de la pregunta que θ cae dentro del tercer cuadrante, por lo que los valores del coseno serían negativos. Por tanto,

$\cos θ = - \frac{\sqrt{7}}{4}$

Observa antes

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Así que sustituyendo el valor de cosθ obtenemos

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{7}}{4}}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{7}}{4}}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{4 - \sqrt{7}}{4} \times \frac{1}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{4 - \sqrt{7}}{8}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{4 - \sqrt{7}}}{2 \sqrt{2}}$

Multiplica la parte derecha de la ecuación por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ (racionalización de surds)

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{4 - \sqrt{7}}}{2 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{7}}}{4}$

Ahora que θ se ha reducido a la mitad, las condiciones cambiarían también por

$180 ° < θ < 270 °$

Aquí los ángulos caen en el tercer cuadrante.

Dividiendo por 2 tienes

$90 ° < \frac{θ}{2} < 135 °$

$\frac{θ}{2}$ cae en el segundo cuadrante y cosθ es negativo en el segundo cuadrante.

$\cos \frac{θ}{2} = - \frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{7}}}{4}$

Derivación de la fórmula del semiángulo para tangentes

Sabiendo que

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Entonces

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}}{\sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{\cos θ + 1}}{\sqrt{2}}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\cos θ + 1}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{\cos θ + 1}}$

Multiplica el lado derecho de la ecuación por $\frac{\sqrt{\cos θ + 1}}{\sqrt{\cos θ + 1}}$ y tendrías

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}{\cos θ + 1}$

Recuerda que

$1 - \cos^{2} θ = \sin^{2} θ$

Entonces

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{\sin^{2} θ}}{\cos θ + 1} t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$

Encuentra $\tan \frac{\emptyset}{2}$ cuando $\tan \emptyset = \frac{4}{3}$ .

Solución:

Con el valor dado, el opuesto y el adyacente son 4 y 3 respectivamente. Utilizando el teorema de Pitágoras llegaremos al valor de la hipotenusa.

$h y p o t e n u s e^{2} = o p p o s i t e^{2} + a d j a c e n t^{2} h y p o t e n u s e^{2} = 4^{2} + 3^{2} h y p o t e n u s e^{2} = 25 h y p o t e n u s e = 5$

Ahora tenemos el valor de la hipotenusa, entonces

$\sin \emptyset = \frac{4}{5} \cos \emptyset = \frac{3}{5}$

Ahora puedes aplicar la fórmula

$t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1} θ = \emptyset \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\sin \emptyset}{\cos \emptyset + 1} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5} + 1} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{8} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{1}{2}$

Deducción de la fórmula del semiángulo para la secante, la cosecante y la cotangente

Como ya hemos dicho, la secante, la cosecante y la cotangente son las inversas del coseno, el seno y la tangente, respectivamente. Para obtener sus fórmulas de semiángulo, basta con hallar la inversa multiplicativa de las fórmulas de semiángulo correspondientes. Así, la fórmula del semiángulo de la secante pasa a ser

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}} s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}}$

la fórmula del semiángulo de la cosecante se convierte en:

$\cos e c θ = \frac{1}{\sin θ} \sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}}$

y la fórmula del semiángulo de la cotangente es:

$c o t θ = \frac{1}{\tan θ} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ}$

Esto es lo mismo que

$c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ} + \frac{1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = c o t θ + \cos e c θ$

Si $s e c θ = \frac{13}{12}$ encuentra los valores de $s e c \frac{θ}{2}$ , $\cos e c \frac{θ}{2}$ y $c o t \frac{θ}{2}$ .

Solución:

Puesto que

$s e c θ = \frac{13}{12}$

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ}$

entonces,

$\cos θ = \frac{12}{13}$

Sabiendo que;

$\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$

Por tanto;

$\sin θ = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} \sin θ = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} \sin θ = \sqrt{\frac{25}{169}} \sin θ = \frac{5}{13}$

Como se han hallado los valores de cosθ y de sinθ, es más fácil hallar los semiángulos de sec, cosec y cot. Así, el semiángulo de sec es

$s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{12}{13} + 1}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{25}{13}}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{2 \times \frac{13}{25}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{26}{25}} s e c \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{26}}{5}$

Para el semiángulo de cosec

$\cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{1 - \frac{12}{13}}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{1}{13}}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{2 \times \frac{13}{1}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{26}$

Y para el semiángulo de cot

$c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\frac{12}{13} + 1}{\frac{5}{13}} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\frac{25}{13}}{\frac{5}{13}} c o t \frac{θ}{2} = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} c o t \frac{θ}{2} = 5$

Aplicaciones de las fórmulas del doble ángulo y del semiángulo

Aquí tienes algunos ejemplos que muestran la aplicación de las fórmulas del doble ángulo y del semiángulo.

Resuelve el para θ en

$\sin (2 θ) + 4 \sin θ + 2 \cos θ = - 4$

Solución:

Recuerda que

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$

Sustitúyelo en la ecuación. Por tanto,

$2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ + 2 \cos θ = - 4 2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ + 2 \cos θ + 4 = 0 (2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ) + (2 \cos θ + 4) = 0 2 \sin θ (\cos θ + 2) + 2 (\cos θ + 2) = 0 (2 \sin θ + 2) (\cos θ + 2) = 0$

Esto significa que

$2 \sin θ + 2 = 0 2 \sin θ = - 2 \frac{2 \sin θ}{2} = \frac{- 2}{2} \sin θ = - 1$

$\cos θ + 2 = 0 \cos θ = - 2$

Ahora, para hallar θ, tenemos que hallar tanto arcsinθ como arccosθ. Por tanto,

$θ = \sin^{- 1} (- 1) θ = 270 °$

Sin embargo, -2 va más allá de los valores posibles para arccosθ. Por tanto

$\cos θ = - 2$

no es válido

Así pues, el valor de θ es 270°.

$\sin ϕ = \sqrt{\frac{1}{5}}$

encuentra

$\cos \frac{ϕ}{2}$

Solución:

Lo primero que hay que hacer es hallar el cosϕ. Sabiendo que

$\cos^{2} ϕ + \sin^{2} ϕ = 1 \cos^{2} ϕ = 1 - \sin^{2} ϕ \cos ϕ = \sqrt{1 - \sin^{2} ϕ}$

Ahora, sustituye el valor de sinϕ para hallar cosϕ.

$\cos ϕ = \sqrt{1 - \sin^{2} ϕ} \cos ϕ = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} \cos ϕ = \sqrt{\frac{4}{5}} \cos ϕ = \frac{2}{\sqrt{5}} \cos ϕ = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cos ϕ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Recuerda que

$\cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Por tanto

$\cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5} + 1}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{5}}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{5} \times \frac{1}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{10}}$

Fórmulas del doble ángulo y del semiángulo - Puntos clave

Una función trigonométrica no puede dividirse por la mitad ni duplicarse utilizando métodos aritméticos normales. En su lugar, se necesitan algunas fórmulas para realizar tales operaciones.
Para duplicar el ángulo de las funciones seno: $si n 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$
Para duplicar el ángulo de las funciones coseno, se puede utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas. $\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ o $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ o $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ .
Para duplicar el ángulo de las funciones tangentes $\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ .
Para duplicar el ángulo de las funciones secantes: $s e c 2 θ = \frac{1}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$ .
Doblar el ángulo de las funciones cosecantes: : $\cos e c 2 θ = \frac{1}{2 \sin θ \cos θ}$ .
Doblar el ángulo de las funciones cotangentes: $c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$ .
Para hallar el semiángulo de las funciones seno: : $\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}$ .
Para hallar el semiángulo de la función coseno utiliza: : $\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$
Para hallar el semiángulo de las funciones tangentes utiliza: $t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$ .
Para hallar el semiángulo de las funciones secantes, utiliza : $s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}}$ .
Para hallar el semiángulo de las funciones cosecantes usa: : $\cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}}$ .
Para hallar el semiángulo de las funciones cotangentes, utiliza : $c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ}$ .

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Preguntas frecuentes sobre Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo

¿Qué es la fórmula del ángulo doble?

La fórmula del ángulo doble permite encontrar senos y cosenos de doble de un ángulo: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) y cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ).

¿Para qué se usan las fórmulas del ángulo doble?

Las fórmulas del ángulo doble se usan para simplificar ecuaciones trigonométricas y resolver problemas de geometría y física.

¿Cómo se calcula la fórmula del medio ángulo?

Para calcular el medio ángulo se usan: sen(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) y cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).

¿Qué aplicaciones tienen las fórmulas del medio ángulo?

Las fórmulas del medio ángulo se aplican en integrales trigonométricas y al simplificar expresiones trigonométricas complejas.

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Deducir la fórmula del doble ángulo para la función seno

Derivación de la fórmula del doble ángulo para la función Coseno

Deducción de la fórmula del doble ángulo de la función tangente

Derivación de las fórmulas de doble ángulo para las funciones secante, cosecante y cotangente

Fórmula del doble ángulo para la secante

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