En esta sección veremos la función biyectiva y la comprenderemos en sus distintas formas.
Definición de una función biyectiva
Supongamos que tenemos dos conjuntos, \(A\) y \(B\), y una función \(f\) apunta de \(A\) a \(B\) \((f:A\to B)\). Si cada elemento del codominio \(B\) es apuntado por al menos un elemento del dominio \(A\), la función se llama función biyectiva.
Una función \(f:A\aB\) es biyectiva si, para cada \(y\) en \(B\), hay exactamente una \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\).
Una función biyectiva es a la vez inyectiva (función unívoca) y suryectiva (función onto) por naturaleza.
Si cada elemento del rango se asigna exactamente a un elemento del dominio, se denomina función inyectiva . Es decir, ningún elemento del dominio apunta a más de un elemento del rango.
En una función suryectiva, cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Funciones inyectivas y suryectivas, StudySmarter Originals
Por tanto, se deduce lógicamente que si una función es a la vez inyectiva y suryectiva, significa que cada elemento del dominio tiene una imagen única en el codominio, de modo que todos los elementos del codominio también forman parte del rango (tienen un elemento correspondiente en el dominio). Una función de este tipo se denomina función biyectiva.
Puedes considerar que una función biyectiva es una correspondencia perfecta uno a uno. Cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen correspondiente en el codominio, y viceversa.
Función biyectiva, StudySmarter Originals
Observa que la función onto no es biyectiva, ya que necesita ser una función uno-uno para ser biyectiva. Veamos la diferencia entre ambas para entenderlo mejor.
Diferencia entre funciones biyectivas y sobreyectivas
Veremos la diferencia entre funciones biyectivas y suryectivas en la siguiente tabla.
Función biyectiva | Función suryectiva |
Una función \((f:A\to B)\) es biyectiva si, para cada \(y\) en \(B\), hay exactamente una \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\). | Una función \((f:A\aB)\) es suryectiva si para cada \(y\) en \(B\) hay al menos un \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\). |
Una función biyectiva es una función unívoca y onto. | Una función suryectiva es una función onto. |
El dominio y el codominio tienen el mismo número de elementos. | Un codominio puede ser imagen de más de un elemento del dominio. |
Los grafos biyectivos tienen exactamente una intersección de líneas horizontales en el grafo. | Los grafos suryectivos tienen al menos una intersección de líneas horizontales en el grafo. |
Ejemplo - \(f:\mathbb{R}\a \mathbb{R}, f(x)=2x\) | Ejemplo - \(f:\mathbb{R}a \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3x\) |
Composición de funciones biyectivas
Considera las funciones \(f:A\c B , g:B\c C). Entonces la composición de la función \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) de la función \(A\) a \(C\). La composición de la función biyectiva se deriva de la composición de las funciones inyectiva y suryectiva.
La función \(f:A\c B , g:B\c C) son funciones inyectivas, luego la composición \(g\circ f\c) también es inyectiva. Del mismo modo, para las dos funciones suryectivas \(f\) y \(g\), su composición \(g\circ f\) también es suryectiva.
Supongamos que tanto \(f:A\to B\) como \( g:B\to C\) son biyectivas. Esto implica que tanto \(f\) como \(g\) son también inyectivas y suryectivas. La composición de las funciones \(g\circ f\) es a la vez inyectiva y suryectiva. Por tanto, la composición de la función \(g\circ f\) es biyectiva.
Observa que si \(g\circ f\) es biyectiva, entonces sólo puede ser posible que \(f\) sea inyectiva y \(g\) sea suryectiva.
Composición biyectiva, StudySmarter Originals
Gráfico de funciones biyectivas
También podemos determinar una función biyectiva basándonos en la gráfica trazada. Para identificar una gráfica de función biyectiva, consideramos una prueba de línea horizontal basada en funciones inyectivas y suryectivas. Para que una función sea biyectiva, deben satisfacerse tanto la prueba de la inyectiva como la de la suryectiva.
Prueba de la líneahorizontal
Esta prueba se utiliza para comprobar las funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Determinamos el tipo de función en función del número de puntos de intersección con la recta horizontal y la gráfica dada.
Para comprobarlo, traza rectas horizontales desde distintos puntos. Si cada línea horizontal interseca la gráfica como máximo en un punto, se trata de una función inyectiva. Si la función es suryectiva, entonces una recta horizontal debe intersecarse al menos en un punto. Por tanto, al comprobar si la función es biyectiva, debe haber exactamente un punto de intersección con una recta horizontal.
Ejemplos de función biyectiva
Demuestra la biyección de la función \(f:\mathbb{R}\a \mathbb{R}, f(x)=x\).
Solución:
Considera la función \(f(x)=x\), donde el dominio y el codominio son el conjunto de todos los números reales.
Todos los valores del codominio corresponden a un único valor del dominio. Por tanto, la función es biyectiva por naturaleza.
Es inyectiva porque cada valor de \(x\) conduce a un valor distinto de \(y\). Es suryectiva porque cualquier número real posible \(r\) puede tener un valor correspondiente \(x\) tal que \(f(x)=r\).
Cuando se dibuja una función biyectiva en una gráfica, una recta horizontal paralela al eje X debe intersecar la gráfica exactamente en un punto (prueba de la recta horizontal).
La siguiente gráfica lo demuestra para la función \(f(x)=x\).
Gráfica de la función \(f(x)=x\), StudySmarter Originals
Comprueba si la función \(f:\mathbb{R}\a \mathbb{R}, f(x)=x^{2}\) es biyectiva o no.
Solución:
Aquí, para la función dada, el ámbito de la función sólo incluye los valores \(\ge 0\). Pero el codominio incluye también todos los números reales negativos. Y los miembros del codominio pueden ser imágenes de varios miembros del dominio, por ejemplo \(f(2)=f(-2)=4\). Por tanto, la función \(f(x)=x^{2}\) no es inyectiva. Por tanto, \(f(x)=x^{2}\) no es biyectiva.
Al dibujar la función en una gráfica, podemos observar cómo no supera la prueba de la recta horizontal, ya que se interseca en dos puntos distintos.
Gráfica de función no biyectiva para \(f(x)=x^{2}\), StudySmarter Originals
¿Es biyectiva la función \(f(x)=2x\)? Demuestra también para qué dominio y codominio.
Solución:
Cuando fijamos el dominio y el codominio de la función en el conjunto de todos los números reales, era una función biyectiva.
Por tanto, para \(f:\mathbb{R}\a \mathbb{R}, f(x)=2x\) es biyectiva.
Sin embargo, si restringimos el dominio y el codominio de la función al conjunto de todos los números naturales, deja de ser una función biyectiva. Puesto que el rango incluiría todos los números pares pero excluiría todos los impares, pero éstos siguen formando parte del codominio. Por ejemplo, es imposible obtener \(f(x)=3\), para cualquier valor de número natural de \(x\). Por tanto, la función no es suryectiva y, en consecuencia, no es biyectiva.
Por tanto, \(f:\mathbb{N}\a \mathbb{N}, f(x)=2x\) no es biyectiva.
Funciones biyectivas - Puntos clave
- Una función biyectiva es a la vez inyectiva y suryectiva.
- Una función \(f:A\a B\) es biyectiva si, para cada \(y\) en \(B\), hay exactamente una \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\).
- Una función biyectiva es una función unívoca y onto, pero una función onto no es una función biyectiva.
- La composición de funciones biyectivas vuelve a ser una función biyectiva.
- En una función biyectiva debe haber exactamente un punto de intersección con una recta horizontal.
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