Funciones compuestas

Las funciones compuestas son operaciones que toman dos o más funciones como una sola función, como h(x) = g(x). Esto tiene que ver principalmente con tomar números de un conjunto a otro conjunto.

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    Así, por ejemplo, si una función tomara un número del conjunto A al B y otra función tomara un número del conjunto B al C, la compuesta tomaría un número del conjunto A directamente al C.

    Aquí tienes un diagrama que muestra cómo las funciones f(x) y g(x) pueden transformar una entrada en una salida.

    Funciones compuestas, Una imagen que ilustra las funciones compuestas, StudySmarterUna imagen que ilustra las funciones compuestas

    Los valores de los conjuntos se pueden asignar a otros conjuntos mediante funciones compuestas.

    Propiedades de las funciones compuestas

    Hay propiedades importantes de las funciones compuestas que debemos recordar:

    Nombre de la propiedadDefinición
    AsociativaSi las funciones son componibles, siempre son asociativas. Esto significa que no importa dónde estén situados los paréntesis en una función, no hay diferencia en el resultado global de la función. Por tanto, si f, g, h son componibles, entonces \(f(gh(x)) = (fg)h(x)\).
    ConmutativoSi las funciones son componibles significa que no son necesariamente conmutativas. La conmutatividad se da cuando intercambiar el orden de composición de la función, no la afecta, por ejemplo (ab=ba).
    Uno a unoUna función compuesta uno a uno es aquella en la que hay una única salida por cada entrada. También existe una función muchos-a-uno, en la que muchas entradas pueden dar la misma salida. En la definición de una función, ninguna función compuesta puede ser de uno a muchos.
    InversaEn una función compuesta debe existir una inversa, por lo que no puede haber una salida para la que no exista una entrada.

    ¿Cómo encontramos una función compuesta?

    Esencialmente, estamos realizando una función de una función. Digamos que intentamos hallar \(h(x) = fg(x)\).

    Primero tomaríamos g(x) (la salida de x) y luego la utilizaríamos como entrada en f(x), obteniendo así fg(x). Veamos un ejemplo práctico.

    Ejemplos de funciones compuestas

    \(f(x) = 3x + 2\) y \(g(x) = 5x -1\). Si \(h(x) = fg(x)\), halla el valor de h(2).

    Pasos

    Ejemplo

    Paso 1: Reescribe h (x).

    \(h(2) = fg(2)\)

    Paso 2: Halla primero la salida de la función interior.

    \(g(2) = 5(2) - 1 = 9\)

    Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior.

    \(f(9) = 3(9) + 2 = 29\)

    RESPUESTA FINAL\(h(2) = 29\)
    \(f(x) = 3x + 2\) y \(g(x) = 5x -1\). Si \(h(x) = fg(x)\), halla h(x).

    Pasos

    Ejemplo

    Paso 1: Reescribe h (x).

    \(h(x) = fg(x)\)

    Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior.

    \(g(x) = 5x -1\)

    Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior.

    \(f(5x-1) = 3(5x-1) +2 = 15x - 3 + 2 = 15x -1\)

    RESPUESTA FINAL\(h(x) = 15x -1\)

    \(f(x) = 3x +2\). Halla \(f^2(x)\).

    Pasos

    Ejemplo

    Paso 1: reescribe \(f^2(x)\).

    \(f^2(x) = ff(x)\)

    Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior.

    \(f(x) = 3x +2\)

    Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior.

    \(f(3x +2) = 3(3x+2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x+8\)

    RESPUESTA FINAL\(f^2(x) = 9x+8\)

    ¿Cuáles son algunas funciones compuestas más difíciles?

    A veces pueden entrar en juego funciones cuadráticas, trigonométricas y recíprocas, pero la lógica es exactamente la misma que con los ejemplos lineales más fáciles que hemos visto antes. Veamos algunos ejemplos más trabajados.

    \(f(x) = \cos(x), \espacio g(x) = 3x -2. \espacio h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(90).

    pasos

    Ejemplo

    Paso 1: Reescribe h (x).

    \(h(90) = gf(90)\)

    Paso 2: Halla primero la salida de la función interior.

    \(f(90) = \cos(90) = 0\)

    Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior.

    \(g(0) = 3(0) - 2 = 0-2 = -2\)

    RESPUESTA FINAL \(g(0) = -2\)

    \(f(x) = \tan^{-1}(x)\), con \(0 \leq tan^{-1}(x) \leq 2 \pi\ ), \(g(x) = x^2 + 6x -8\). \(h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(1).

    pasos

    Ejemplo

    Paso 1: Reescribe h (x).

    \(h(1) = gf(1)\)

    Paso 2: Halla primero la salida de la función interior.

    \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\)

    Paso 3: Sustituye el resultado obtenido por la entrada de la función externa.

    \(\frac{\pi}{4} \big)^2 + 6 \big( \frac{\pi}{4} \big) - 8 = -2,67076074455\)

    RESPUESTA FINAL\(h(1) = -2.67076074455\)

    \(f(x) = \tan^{-1}(x), \espacio g(x) = 3-x^2. \espacio h(x) = gf^{-1}(x)\). Halla \(h(x)\)

    pasos

    Ejemplo

    Paso 1: Reescribe h (x).

    \(h(x) = gf^{-1}(x)\)

    Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior.

    \(f^{-1}(x) = \tan(x)\)

    Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior.

    \(g(\tan(x)) = 2 -\tan^2(x)\)

    RESPUESTA FINAL

    \(h(x) = 3 - \tan^2(x)\)

    Funciones compuestas - Puntos clave

    • Se habla de funciones compuestas cuando se realiza una combinación de funciones para obtener un resultado común.
    • Realiza siempre primero la función interior antes de introducir este valor en la función exterior.
    Preguntas frecuentes sobre Funciones compuestas
    ¿Qué es una función compuesta?
    Una función compuesta es el resultado de aplicar una función a los resultados de otra función, es decir, (f∘g)(x) = f(g(x)).
    ¿Cómo se resuelve una función compuesta?
    Para resolver una función compuesta, primero evalúa la función interior, luego usa ese resultado en la función exterior.
    ¿Cuál es la notación para funciones compuestas?
    La notación para funciones compuestas es (f∘g)(x), que se lee como 'f de g de x'.
    ¿Dónde se utilizan las funciones compuestas?
    Las funciones compuestas se utilizan en diferentes áreas de las matemáticas para simplificar cálculos y modelar situaciones complejas.
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    ¿Qué tipo de funciones pueden ser más difíciles en las funciones compuestas?

    ¿Qué son las funciones compuestas?

    ¿Cuál es una propiedad importante de las funciones compuestas?

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    Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.

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