Las ecuaciones cuadráticas se aplican a diversos problemas prácticos, como el seguimiento de la trayectoria de un proyectil, la predicción de un modelo bursátil financiero, la mecánica estadística, etc. La parte de la ecuación \(ax^2\) se conoce como la parte cuadrática, \(bx\) como la parte lineal, y \(c\) como la parte constante de la función.
Gráfica de funciones cuadráticas: la parábola
La gráfica de toda función cuadrática se llama Parábola.
Una parábola es un conjunto de puntos equidistantes de un punto y una recta.
Donde el punto se llama Foco de la parábola y la recta se conoce como directriz. Otro punto importante de la parábola se llama Vértice de la parábola. Es el punto donde el eje de simetría de una parábola se encuentra con la parábola.
Aquí el eje de simetría es una recta imaginaria y la función se reproduce a ambos lados de la recta. La gráfica de una parábola es como la imagen especular de una curva, a continuación se muestra un diagrama para ilustrarlo,
Fig. 1. La gráfica de una ecuación cuadrática.
Este es el aspecto de la gráfica de una función cuadrática, que es la función cuadrática. Puede verse que la curva del lado derecho de la línea azul y la del otro lado de esa línea, son exactamente iguales. En términos matemáticos, decimos que la gráfica es simétrica a lo largo de esa recta azul. Por eso esa línea se llama eje de simetría. Es importante señalar que el eje de simetría es un eje imaginario, no forma parte de la gráfica trazada.
Fig. 2. Gráfica de una parábola.
Se puede observar que el eje de simetría es paralelo al eje y, por lo que decimos que la parábola es simétrica respecto al eje y. Y el punto donde la parábola se encuentra con el eje de simetría se conoce como Vértice de la parábola. También es el mínimo de la función. En otras palabras, un vértice es un punto en el que el valor de la función cuadrática es mínimo, de ahí el nombre de mínimo. En el diagrama anterior, el punto A es el vértice de la parábola.
Y para la parábola \(y=ax^2+bx+c\), el eje de simetría resulta ser \(x=-\dfrac{b}{2a}\), que es simétrico al eje y.
Hay otro punto crucial en la parábola, que es la intersección y de la parábola. Es el punto donde la parábola se encuentra con el eje y, es decir, donde intercepta al eje y. De ahí la palabra, intersección y. En el diagrama anterior, el punto \(C\) es la intersección y de la parábola. Para averiguar las coordenadas de \(C\), basta con calcular y en \(x=0\). Obtenemos
$$y=a(0)^2+b(0)+c$$
lo que da \(y=c\). Por tanto, las coordenadas de \(C\) son \((0,c)\).
Ecuaciones de función cuadrática
Podemos escribir ecuaciones de función cuadrática de 3 formas distintas. Veámoslas con más detalle
Hay tres Formas de Funciones Cuadráticas de uso común.
- Forma estándar o general: \(y=ax^2+bx+c\)
- Formafactorizada o de intersección: \(y=(bx+c)(dx+e)\)
- Forma devértice: \(y=a(x-h)^2+k)
Cada una de estas formas puede utilizarse para determinar información diferente sobre la trayectoria de un proyectil. Comprender las ventajas de cada forma de una función cuadrática te será útil para analizar las distintas situaciones que se te presenten.
Como su nombre indica, la forma general es la que tienen la mayoría de las funciones cuadráticas. La forma de intercepto es útil para leer fácilmente los interceptos x e y de la curva dada. La forma de vértice se utiliza especialmente cuando hay que leer el vértice de la curva y determinar las propiedades relacionadas.
Forma estándar de una función cuadrática
Las ecuaciones cuadráticas en una variable son ecuaciones que pueden expresarse de la forma
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
Esta es la forma de una parábola, como se ve en la imagen siguiente.
Fig. 3. Gráfica de una parábola estándar.
Esencialmente, son las ecuaciones que tienen un grado más que las ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales tienen un grado de uno y las ecuaciones cuadráticas tienen un grado de \(2\). Aquí \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes donde \(a\neq 0\). Si \(a=0\), entonces sólo tendríamos \(f(x)=bx+c\), que es una ecuación lineal.
Así que la condición para formar una ecuación cuadrática debe ser que el coeficiente de \(x^2\) sea distinto de cero. Las otras constantes \(b\) y \(c\) pueden ser cero, ya que no afectarán al grado de las ecuaciones.
Forma de vértice de una función cuadrática
La forma general de una cuadrática \(y=ax^2+bx+c\) puede no ser la más conveniente para trabajar, por lo que tenemos la forma de Vértice de una Ecuación Cuadrática. Como su nombre indica, es una forma basada en el vértice de la parábola formada por la ecuación cuadrática. El vértice es el punto más importante de una parábola, a partir del cual podemos construir la parábola.
La forma del vértice de una ecuación cuadrática es la siguiente
$$y=a(x-h)^2+k$$
donde el vértice de la parábola está en el punto \((h,k)\). Esta forma es especialmente útil cuando nos dan las coordenadas del vértice y nos piden que hallemos la ecuación de la parábola.
Forma factorizada de una ecuación cuadrática
La forma factorizada de una ecuación cuadrática es una forma en la que la cuadrática se factoriza en sus factores lineales. Igual que utilizamos la forma de vértice para identificar el vértice de una parábola formada por la ecuación cuadrática, la forma factorizada se utiliza para identificar los interceptos de la parábola formada.
La forma factorizada o de intersección de una ecu ación cuadrática es la siguiente:
$$y=a(bx+c)(dx+e)$$
donde las dos intersecciones x vienen dadas por \(x=-\dfrac{c}{b}\) y \(x=-\dfrac{e}{d}\). Esto puede comprobarse fácilmente fijando \(y=0\) y hallando las raíces de la ecuación cuadrática. También se pueden utilizar los intersticios x dados y un punto de la parábola para averiguar la ecuación cuadrática.
Ejemplos de funciones cuadráticas
¡Practiquemos la identificación de funciones cuadráticas!
¿Cuáles de las siguientes son funciones cuadráticas?
(i) \(f(x)=qx^{3/2}+px\) (ii) \(g(y)=5y^2+2y+9\) (iii) \(h(\theta)=\theta^3+\theta^2\)
Solución:
Reconoce el mayor grado de cada una de las funciones, si el mayor grado es 2 sólo entonces es una función cuadrática.
(i) \(f(x)=qx^{3/2}+px\)
Se puede ver que el mayor grado de esta función es \(\dfrac{3}{2}\) y es trivial que \(\dfrac{3}{2}\neq 2\), por lo que NO es una función cuadrática.
(ii) \(g(y)=5y^2+2y+9\)
Está claro que el mayor grado de esta función es \(2\) y, por tanto, es una función cuadrática.
(iii) \(h(\theta)=\theta^3+\theta^2\)
Se puede ver que el segundo término tiene un grado \(2\), pero sólo hay que tener en cuenta el grado más alto, que es \(3\), por lo que NO es una función cuadrática.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son una forma generalizada de las ecuaciones cuadráticas. Cuando \(f(x)=d\) para la función cuadrática definida anteriormente, para alguna constante real \(d\) entonces la ecuación formada se conoce como ecuación cuadrática. En forma general, una ecuación cuadrática tiene la forma
$$px^2+qx+r=0$$
donde \(p\neq 0\) y \(p, q, r \en \mathbb R\) donde \(\mathbb R\) representa el conjunto de los números reales. La solución de una ecuación cuadrática es el valor de \(x\) para el que se satisface la ecuación. En otras palabras, la solución de una función cuadrática es el valor de \(x\) para el que \(f(x)=0\).
Ya sabemos que una ecuación lineal tiene una única solución, en el caso de las ecuaciones cuadráticas, siempre hay dos soluciones. Las soluciones no tienen por qué ser únicas, pueden ser iguales e incluso las soluciones pueden ser complejas. Sin embargo, vamos a estudiar soluciones reales y no complejas.
Las soluciones también se llaman ceros de una función. No deben confundirse, pues son la misma cosa. Para hallar los ceros, basta con resolver la cuadrática mediante la fórmula cuadrática de los ceros, y obtenemos
$$x=\dfrac{-q\pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p}$$
Para practicar cómo resolver ecuaciones cuadráticas, consulta nuestro artículo sobre Resolución de ecuaciones cuadráticas y Graficar y resolver ecuaciones cuadráticas.
La inversa de una función cuadrática
Dado que una función es Biyectiva (Inyectiva y Sobreyectiva), su inversa existe. Para una función cuadrática, que es biyectiva, se puede calcular fácilmente su inversa. Toda inversa está relacionada con la función de la siguiente manera
$$f^{-1}(f(x))=x$$
Para hallar la inversa de \(f(x)=ax^2+bx+c\), primero igualamos el RHS a y,
$$y=ax^2+bx+c$$
Se trata de resolver la ecuación cuadrática anterior en términos de \(x\), es decir, resolver para \(x\) y expresar \(x\) en términos de \(y\). La ecuación anterior puede reordenarse para obtener
$$ax^2-bx+(c-y)=0$$
que es cuadrática en \(x\), y podemos hallar sus raíces mediante la fórmula cuadrática, que nos da
$$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac+4y}}{2a}$$
que es la inversa de \(y\),
$$f^{-1}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}$$
Sustituyendo ahora la variable \(y\) por \(x\), obtenemos la inversa en \(x\)
$$f^{-1}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac+4ax}{2a}$$
donde \(b^2+4ax > 4ac\) para valores reales de la función.
Funciones cuadráticas - Puntos clave
- Una función cuadrática es una función cuya mayor potencia es \(2\). Es decir, el mayor grado de la ecuación es \(2\).
- La gráfica de una función cuadrática se llama parábola, con una ecuación padre de \(f(x)=x^2\).
- Las soluciones (ceros o raíces) de una ecuación cuadrática pueden calcularse utilizando la fórmula cuadrática o factorizando la ecuación en sus factores lineales.
- Cada ecuación cuadrática tiene dos ceros (no tienen por qué ser únicos). Pueden ser reales o imaginarios.
- La gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede tener su eje de simetría en el eje y o en el eje x.
- Una parábola se define como el conjunto de puntos que equidistan de un punto y una recta.
- Se puede hallar el eje de simetría y las coordenadas del vértice fijando el \(y=0\) y \(x=0\) respectivamente.
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