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También sería probable suponer que las funciones impares son exactamente lo contrario de las funciones pares y dar por zanjado el asunto. Esa suposición sería terriblemente errónea. La diferencia entre funciones pares e impares no puede clasificarse simplemente pensando que si una no es par, entonces debe ser impar.
A medida que profundicemos en el tema de las funciones impares, veremos qué fórmula utilizan las funciones impares y cómo se relaciona con la simetría de dichas funciones.
¿Qué son las funciones impares?
Las funciones pueden clasificarse en pares, impares o ninguna de ellas, dependiendo de la simetría de la función. Una función impar es aquella que es simétrica respecto al punto \((0,0)\). En pocas palabras, si tomas la gráfica de una función impar y la giras 180\(^{\circ}\) alrededor del origen, \((0,0)\), sobre un conjunto de ejes, la gráfica resultante es idéntica a la original.
La definición formal de función impar es la siguiente:
Una función impar es una función para la que \(f(-x)=-f(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de \(f\).
Esto significa que para cada valor \ (x\)-dentrodel dominio de una función impar \(f(x)\), el valor de la función \(f(-x)\) es el mismo que el valor \(-f(x)\).
Esto también puede representarse gráficamente y se trata con más detalle en los siguientes apartados.
Gráfica de una función impar
Ya sabemos que las funciones impares son simétricas respecto al origen y que satisfacen \ (f(-x)=-f(x)\) para cualquier valor de \ (x\) en sus dominios. Trazando la gráfica de una función impar, podemos ver la simetría de la función.
Tomemos la función impar \(f(x)=x^{3}\) y representémosla en un conjunto de ejes.
\(f(x) = x^{3}\) - StudySmarter Originals
Si giráramos la gráfica 180\(^{circ}\) alrededor del origen, el resultado sería igual que la gráfica original. Por tanto, podemos decir que esta función es simétrica respecto al origen.
Diferencia entre funciones pares e impares
Se recomienda que primero estudies el tema Funciones pares antes de continuar con este apartado.
La principal diferencia entre funciones pares e impares son sus ejes de simetría. Las funciones impares, como sabemos, son simétricas respecto al origen. Las funciones pares, en cambio, son simétricas respecto al eje y.
Esto significa que la forma de cualquier gráfica de una función par se reflejará perfectamente sobre el eje y. Un buen ejemplo de función par es \ (x^{2}\). La forma de la parábola a la izquierda del eje y es una imagen especular de la forma a la derecha del eje y. Esto se muestra en la imagen de abajo.
Gráfica de la función par \(y = x^{2}\) - StudySmarter Originals
La siguiente tabla resume las dos principales diferencias entre las funciones pares e impares:
| Funciones impares | Funciones pares |
| \(f(-x) = -f(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de \(f(x)\) | \(f(-x) = f(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de \(f(x)\) |
| La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen | La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y |
Cómo determinar si una función es impar
Podemos utilizar las diferencias mencionadas en el apartado anterior para determinar gráfica o algebraicamente si una función es impar.
Determinar algebraicamente si una función es par o impar
Para determinar si una función es impar utilizando métodos algebraicos, basta con aplicar la fórmula \(f(-x) = -f(x)\) y ver si se cumple.
El siguiente ejemplo muestra cómo hacerlo:
Nos dan la función \(f(x) = -7x^{3} + 12x\).
Determina si esta función es impar utilizando métodos algebraicos.
Solución
Paso 1: Primero determina \(f(-x)\) sustituyendo \(-x\) en el lugar de \(x\) en la función y simplificando.
\[\begin{ecuación}\begin{partir}f(-x) & = -7(-x)^{3} + 12(-x)& = 7x^{3} -12x\end{split}\end{equation}\]
Paso 2: A continuación determina \(-f(x)\).
\[\begin{equation}\begin{split}-f(x) & = -(-7x^{3} + 12x) \& = 7x^{3} 12x - 12x\end{split}\end{equation}\]
\(f(-x) = -f(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de \(f(x)\), por tanto, podemos concluir que \(f(x)\) es una función impar.
Determinar gráficamente si una función es impar
La forma más sencilla de determinar si una función es impar es utilizando su gráfica. Las gráficas nos permiten visualizar mejor las funciones y también son útiles para interpretarlas.
El siguiente ejemplo muestra cómo determinar gráficamente si una función es impar:
Utilicemos la misma función del ejemplo anterior, \(f(x) = -7x^{3} + 12x\).
La gráfica de la función tiene este aspecto
\(f(x) = -7x^{3} + 12x\) - Originales de StudySmarter
Si giráramos la función \(180^{\circ}\) alrededor del origen (en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, la dirección no importa), la gráfica resultante tendría exactamente el mismo aspecto que la original.
Sabemos que las funciones impares son simétricas respecto al origen (es decir, girándolas \(180^{\circ}\) alrededor de \((0,0)\)) se obtiene una gráfica idéntica a la original.
Una forma fácil de hacerlo sería dibujar un esbozo de la gráfica en un trozo de papel y girar el papel alrededor de \(180^{\circ}\) para ver si queda igual.
Es posible que una función no sea ni par ni impar, así que no te preocupes si tu función dada no satisface una definición de función par o impar.
Ejemplos de funciones impares
Consideremos la función \(y = x^3\).
Para todos los valores de \(x\), el valor de \(f(-x)\) será siempre igual a \(-f(x)\).
La gráfica de la función será la siguiente:
Gráfica de \(y = x^{3}\) - StudySmarter Originals
Como vemos, si giráramos la gráfica \(180^{\circ}\) alrededor del origen (punto (0,0)), la figura resultante sería idéntica a la original. Por tanto, podemos decir que \(x^{3}\) es simétrica respecto al origen.
Del mismo modo, funciones como \(x, x^{5}, x ^{7}, x^{9}, x^{11}, x^{-1}, x^{-3},\), etc., son todas funciones impares. Para estas funciones, \ (f(-x) = -f(x)\) para todos los valores de \(x\). Es decir, si sustituyeras \(-x\) en cada una de estas funciones y simplificaras, la respuesta resultante sería la misma que multiplicar cada una de estas funciones por \(-1\).
Otro grupo de funciones que suelen dar funciones impares son las funciones trigonométricas. Por ejemplo, considera \ (y = sen(x)\).
Tenemos \(f(-x) = sen(-x)\) y \(-f(x) = -sin(x)\). Sabemos por trigonometría que \(sen(-x)\) es lo mismo que decir \(-sin(x)\) y, por tanto, \(f(-x)\) es igual a \(-f(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de la función. Por tanto, \(y = sen(x)\) es una función impar.
Si observamos la gráfica de \(y=sin(x)\), vemos también que es simétrica respecto al origen:
Gráfica de \(y = sen(x)\) - Originales de StudySmarter
Otras funciones trigonométricas impares son \(tan(x), cot(x)\) y \(cosec(x)\). Todas ellas cumplen la definición de función impar.
Las funciones impares también pueden ser fracciones. Considera el siguiente ejemplo:
Te dan la función \(g(x) = \frac{cos(x)}{x}\). Determina si la función es impar utilizando métodos algebraicos.
Solución
Paso 1: Determina \(g(-x)\).
\[\begin{ecuación}\begin{partir}g(-x) & = \frac{cos(-x)}{-x} \\& = \frac {cos(x)}{-x} \\& = - \frac{cos(x)}{x}\frac {split}\frac {equation}\]
Paso 2: Determina \(-g(x)\).
\[-g(x) = - \frac{cos(x)}{x}]
Paso3 : ¿Es \(g(x)\) una función impar?
Sí. \(g(-x) = - g(x)\) para todos los valores de \(x\) en el dominio de la función, por lo que \(g(x)\) es una función impar.
Funciones impares - Puntos clave
- Las funciones impares son funciones en las que \(f(-x) = -f(x)\).
- Las funciones impares son simétricas respecto al origen. Esto significa que si giras la gráfica de una función impar \(180^{circ}\) alrededor del punto de origen, la gráfica resultante será idéntica a la original.
- Se puede determinar si una función es impar utilizando métodos algebraicos o gráficos.
- Es posible que una función no sea ni par ni impar.
- Las funciones trigonométricas también pueden ser funciones impares.
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