Funciones inversas

Una función inversa es lo contrario de la función original. La notación de una función inversa es f-1(x)donde la función original es f (x).

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    Sólo las Funciones uno a uno (en las que un valor del dominio va a un único valor del intervalo) pueden tener inversas.

    Las funciones uno a uno son aquellas en las que un valor del dominio corresponde a un único valor del intervalo. A diferencia de las funciones uno a muchos, en las que un valor del dominio puede ir a varios valores del intervalo.

    Encontrar la inversa de una función

    Para hallar la inversa de una función, tienes que

    1. Sustituir la notación de la función por y (por ejemplo, f (x) se convierte en y)

    2. Reordenar la función para que x sea el sujeto

    3. Sustituir la x por la notación de la función inversa (por ejemplo, x se convierte en f-1(x)e y con x

    Encuentra la función inversa de f (x) = 5x + 6

    1. Sustituye la notación de la función por y: y = 5x + 6
    2. Reorganiza la función de modo que x sea el sujeto: y-6=5x entonces(y-6)5=x
    3. Sustituye la x por la notación de la función inversa e y por x: g-1(x)=x-65

    Encuentra la función inversa de j(x)=x2-6

    1. Sustituye la notación de la función por y: y=x2-6
    2. Reorganiza la función de modo que x sea el sujeto: y+6=x2 entoncesy+6=x
    3. Sustituye x por la notación de la función inversa e y por x: j-1(x)=x+6

    Responder a las preguntas sobre funciones inversas

    Hay varios tipos de preguntas que te pueden hacer sobre funciones inversas. Las preguntas pueden pedirte que utilices uno o varios métodos.

    Resolver la función cuando se conoce x

    Este tipo de pregunta se muestra mediante f-1(x)donde x se sustituye por una constante como , f-1(4). Para resolver estas preguntas, se sustituyen todas las x por el Número de la función.

    Resolver f-1(4)=6x-2

    f-1(4)=6(4)-2=24-2=22

    f-1(4)=22

    Resolver la función cuando se fija en un valor

    Este tipo de pregunta se muestra a través de g-1(x)=y. Para resolver este tipo de pregunta, estableces la función igual a y y luego reordenas la pregunta para obtener x por sí sola.

    Cuando g-1(x)=6x+4encuentra x cuando g-1(x)=58

    58=6x+4

    6x=54

    x=9

    Trabajar con dominios y rangos

    Se te puede pedir que encuentres dominios y rangos de funciones inversas. El dominio (conjunto de valores de entrada) de la función original será el rango (conjunto de posibles valores de salida) de la función inversa. El dominio de la función inversa será el rango de la función original.

    dominio

    (Conjunto de valores de entrada)

    Rango

    (Conjunto de posibles valores de salida)

    Función originalFunción inversa
    Función inversaFunción original

    Halla la inversa de h(x)=3x2+4 con un dominio de x5. Indica el dominio y el rango de h-1(x).

    Parte 1) Encontrar la inversa.

    1. y=3x2+4
    2. y-4= 3x2entonces y-43=x2entoncesx=y-43
    3. h-1(x)=y-43
    Parte 2) Encontrar el dominio y el rango de la inversa Como ya se ha dicho, el dominio de las funciones originales es el rango de la inversa. Por tanto, el rango de h-1(x) es x5. Para hallar el dominio de h-1(x)puedes hallar el rango de la función original, así que vamos a sustituir el valor por el dominio.h(5)=3(52)+4 =3(25)+4 =79

    x79

    Rango: x5Dominio:x79

    Representación gráfica de funciones inversas

    Hay dos formas de dibujar una función inversa:

    1) Reflejando directamente la función original en la recta y = x utilizando tus habilidades de transformación de una gráfica.

    2) Hallando la función inversa y trazando después las coordenadas x e y.

    Reflejar directamente la función original en la recta y = x

    Una función inversa es la reflexión de la función original en la recta y = x, por tanto podemos utilizar la recta original y la recta y = x como recta de reflexión.

    Representa gráficamente la inversa de f (x) = 2x + 4

    1) La función original (rojo) representada gráficamente

    2) La función original (rojo) y la recta de reflexión, y = x (azul)

    3) La función inversa (verde) se obtiene reflejando la función original (roja) en la recta de reflexión (x = y) (azul).

    Este método puede ser un poco más difícil cuando la función original tiene una variable elevada a una potencia distinta de 1; por ejemplo, las cuadráticas(x2)

    Trazar las coordenadas de las funciones inversas

    Tras hallar la función inversa, puedes trazar el dominio y el rango (es decir, las coordenadas x e y)

    Traza la función inversa g-1(x)=(x-2)2-4 con el dominio0x6

    1. En primer lugar, halla las coordenadas y utilizando la función inversa y el dominio y, a continuación, introduce los valores en una tabla.
      x0123456
      y0-3-4-30512
    2. A continuación, traza las coordenadas en la gráfica
    Pie de foto

    A continuación, dibuja la función inversa trazando una recta que pase por todos los puntos y se extienda a través de ellos.

    Funciones inversas - Puntos clave

    • Las funciones inversas son lo contrario de la función original. Su notación difiere de la de las funciones normales debido a la -1. Sólo las funciones uno a uno pueden tener funciones inversas.
    • Las funciones inversas pueden formarse 1) sustituyendo la notación de la función por y; 2) reordenando la función original para que x sea el sujeto; 3) sustituyendo x por la notación de la función inversa e y por x.
    • Cuando se forma la función inversa, el dominio es el rango de la función original y el rango es el dominio de la función original.
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    Funciones inversas
    Preguntas frecuentes sobre Funciones inversas
    ¿Qué es una función inversa?
    Una función inversa es aquella que deshace la operación de la función original. Si f(x) lleva x a y, la inversa f⁻¹(y) lleva y de vuelta a x.
    ¿Cómo encontrar la función inversa de una función?
    Para encontrar la inversa, intercambia x e y en la ecuación y luego despeja y. La nueva ecuación es f⁻¹(x).
    ¿Cuándo una función tiene una inversa?
    Una función tiene una inversa si es biyectiva, es decir, es inyectiva (ningún valor de salida se repite) y sobreyectiva (cubre todos los valores de salida posibles).
    ¿Cuál es el propósito de las funciones inversas?
    Las funciones inversas se utilizan para deshacer operaciones y resolver ecuaciones donde necesitamos revertir el proceso original de la función.
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    Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.

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    Gabriel Freitas

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    Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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