¿Cómo crees que podríamos hacerlo? La respuesta está en las funciones suryectivas.
A lo largo de este artículo, nos introduciremos en el concepto de funciones suryectivas (o mapeos suryectivos) identificando sus propiedades y composición.
Definición de funciones suryectivas
Antes de entrar en el tema de las funciones suryectivas, recordaremos primero las definiciones de función, dominio, codominio y rango.
Una función es una relación en la que cada elemento de un conjunto se correlaciona con un elemento de otro conjunto. En otras palabras, una función relaciona un valor de entrada con un valor de salida. Una función se suele denotar por \(f\).
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada para los que está definida la función. En otras palabras, son los elementos que pueden entrar en una función. Un elemento dentro del dominio se suele denotar por \(x\).
El codominio de una función es el conjunto de posibles valores de salida que puede tomar la función.
El rango de una función es el conjunto de todas las imágenes que produce la función. Un elemento dentro del rango se suele denotar por y o \(f(x)\).
Teniendo esto en cuenta, pasemos ahora a nuestro tema principal.
Una función suryectiva es un tipo especial de función que mapea cada elemento del codominio en al menos un elemento del dominio. Esto significa esencialmente que cada elemento del codominio de una función también forma parte del dominio, es decir, ningún elemento del codominio queda fuera. Es decir, el codominio y el rango de una función suryectiva son iguales.
Por tanto, podemos definir una función suryectiva como sigue.
Se dice que una función es suryectiva si por cada elemento b del codominio B, hay al menos un elemento a en el dominio \(A\), para el que \(f(a) = b\). Expresando esto en notación de conjuntos, tenemos
\[\para todo b\ en B, \ existe un \ en A \quad \texto{tal que}\quad f(a)=b\].
- Las funciones sobreyectivas también se llaman funciones onto.
Ahora que hemos establecido la definición de función sobreyectiva, volvamos a nuestro ejemplo inicial sobre los residentes de cada estado de EEUU.
El dominio de la función es el conjunto de todos los residentes. El codominio de la función es el conjunto de todos los estados del país. Dado que en los 50 estados habrá al menos un residente en cada estado, esto infiere que el codominio también considera el ámbito, y por tanto el mapeo es una función suryectiva.
Veamos ahora el siguiente ejemplo de función suryectiva.
Digamos que tenemos la función
\[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\]
\f(x)=3x\]
El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
El codominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
¿Es una función suryectiva?
Solución
Para comprobar si esta función es suryectiva, tenemos que comprobar si el ámbito y el codominio de la función \(f\) son iguales.
Aquí el codominio es el conjunto de los números reales, como se indica en la pregunta.
Ahora bien, para determinar el rango, debemos pensar en todos los posibles resultados de la función en cuestión. Teniendo en cuenta que las entradas son el conjunto de todos los números reales, multiplicar cada una de ellas por 3 para obtener el conjunto de resultados, que no es otra cosa que el rango, nos llevará también al conjunto de los números reales.
Así pues, el rango y el codominio de la función son iguales y, por tanto, la función es suryectiva.
Diagrama cartográfico de una función suryectiva
Visualicemos ahora las funciones suryectivas de una forma más completa mediante un diagrama de correspondencias.
Supongamos que tenemos dos conjuntos, \(A\) y \(B\), donde \(A\) es el dominio y \(B\) es el codominio. Supongamos que tenemos una función definida por \(f\). Se representa mediante una flecha. Si la función es suryectiva, cada elemento de \(B\) debe estar señalado por al menos un elemento de \(A\).
Fig. 1. Diagrama de asignación de una función suryectiva.
Observa cómo todos los elementos de \(B\) se corresponden con uno de los elementos de \(A\) en el diagrama anterior.
Veamos ahora algunos ejemplos más que muestran si un diagrama cartográfico dado describe o no una función suryectiva. Esto se muestra en la tabla siguiente.
Diagrama cartográfico | ¿Es una Función Suryectiva? | Explicación |
Ejemplo 1, Originales de StudySmarter | Sí | Efectivamente, se trata de una función suryectiva, ya que todos los elementos del Codominio se asignan a un elemento del Dominio. |
Ejemplo 2, StudySmarter Originals | Sí | Se trata de una función suryectiva, ya que todos los elementos del codominio están asignados al menos a un elemento del dominio. |
Ejemplo 3, StudySmarter Originales | No | No es una función suryectiva, ya que hay un elemento del Codominio que no está asignado a ningún elemento del Dominio. |
Ejemplo 4, StudySmarter Originales | No | No es una función suryectiva porque hay un elemento en el codominio que no está asignado a ningún elemento del dominio. |
Propiedades de las funciones suryectivas
Hay tres propiedades importantes de las funciones suryectivas que debemos recordar. Dada una función suryectiva, f, las propiedades se enumeran a continuación.
Todo elemento del codominio se asigna al menos a un elemento del dominio,
Un elemento del codominio puede asignarse a más de un elemento del dominio,
El codominio es igual al ámbito.
Composición de funciones suryectivas
En este apartado estudiaremos la composición de un par de funciones suryectivas. Primero definiremos la composición de dos funciones, \(f\) y \(g\) como sigue.
Sean \(f\) y \(g\) funciones definidas por
\[f:A\mapa a B\]
\[g:B\mapa a C\].
entonces la composición de \(f\) y \(g\) viene definida por
\[(g\circ f)(x)=g(f(x))\].
- La composición de un par de funciones suryectivas siempre dará como resultado una función suryectiva.
- A la inversa, si \(f\circ g\) es suryectiva, entonces \(f\) es suryectiva. En este caso, la función \(g\) no tiene por qué ser necesariamente suryectiva.
Demostración de la composición de funciones suryectivas
Supongamos que \(f\) y \(g\) son dos funciones suryectivas definidas por
\[f:A\mapa a B\]
\g:Bmapa a C\].
Supongamos que tenemos un elemento llamado \(z\) en el conjunto \(C\). Como \(g\) es suryectiva, existe algún elemento llamado \(y\) en el conjunto \(B\) tal que \(g(y) = z\). Además, como f es suryectiva, existe un elemento llamado x en el conjunto A tal que f(x) = y). Por tanto
\[z=g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)\]
Esto significa que \(z\) cae dentro del rango de \(g\circ f\). Por tanto, podemos concluir que \(g\circ f\) también es suryectiva.
Lo demostraremos con un ejemplo.
Supongamos que nos dan dos funciones suryectivas \(f\) y \(g\) donde
\[f:\mathbb{R}mapa a \mathbb{R} {cuadrado}{texto}{y} {cuadrado g:\mathbb{R}mapa a \mathbb{R}}].
La función \(f\) se define por
\f(x)=3x\]
La función \(g\) se define por
\g(x)=2x\]
¿La composición \(g\circ f\) da una función suryectiva?
Solución
Como \(f:\mathbb{R}mapsto\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}mapsto\mathbb{R}\), entonces \(g\circ f:\mathbb{R}mapsto\mathbb{R}\).
Consideremos un elemento arbitrario, \(z\) en el codominio de \(g\circ f\), nuestro objetivo es demostrar que para cada \(z\) en el codominio de \(g\circ f\) existe un elemento \(x\) en el dominio de \(g\circ f\) tal que \(z=g\circ f(x)=g(3x)=2(3x)=6x\).
Como \(g\) es suryectiva, existe algún elemento arbitrario \(y\) en \(\mathbb{R}\) tal que \(g(y)=z\) pero \(g(y)=2y\), por tanto \(z=g(y)=2y\).
Análogamente, como \(f\) es suryectiva, existe algún elemento arbitrario \(x\) en \(\mathbb{R}\) tal que
\[f(x)=y\]
pero \(f(x)=3x\), por tanto \(y=f(x)=3x\).
Por tanto, tenemos \(z=g(y)=2y=2(3x)=6x\).
Deducimos así que \(g\circ f\) es suryectiva.
Identificación de funciones suryectivas
Para identificar funciones suryectivas, trabajaremos hacia atrás para obtener nuestro objetivo. La frase "trabajar hacia atrás" significa simplemente encontrar la inversa de la función y utilizarla para demostrar que \(f(x) = y\). Vamos a ver un ejemplo práctico para demostrarlo claramente.
Dada la función \(f\), donde \(f:\mathbb{Z}\mapa a \mathbb{Z}\) definida sobre el conjunto de los enteros, \(\mathbb{Z}\), donde
\[f(x)=x+4\]].
demuestra si esta función es suryectiva o no.
Solución
Primero afirmaremos que esta función es suryectiva. Ahora tenemos que demostrar que para cada entero \(y\), existe un entero \(x\) tal que \(f(x) = y\).
Tomando nuestra ecuación como
\[f(x)=y \Flecha derecha y=x+4\]
Ahora retrocederemos hacia nuestro objetivo resolviendo \(x\). Supongamos que para cualquier elemento \(yin\mathbb{Z}) existe un elemento \(x\in\mathbb{Z}) tal que
\[x=y-4\]
Esto se hace reordenando la ecuación anterior de modo que \(x\) se convierta en el sujeto. Entonces, por esta elección de \(x\) y por la definición de \(f(x)\), obtenemos
\[flecha derecha f(x)&=(y-4)+4\[flecha derecha f(x)&=y\fin]].
Por tanto, \(y\) es una salida de \(f\), lo que indica que \(f\) es efectivamente suryectiva.
Gráficas de funciones suryectivas
Otra forma de determinar si una función dada es suryectiva es observando su gráfica. Para ello, basta con comparar el rango con el codominio de la gráfica.
Si el rango es igual al codominio, la función es suryectiva. En caso contrario, no es una función suryectiva. Vamos a demostrarlo con dos ejemplos.
Supongamos que nos dan la función exponencial, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definida por
\[f(x)=e^x\]
Observa que \(\mathbb{R}\) representa el conjunto de los números reales. A continuación se muestra la gráfica de esta función.
Fig. 2. Gráfica exponencial.
Observando esta gráfica, determina si la función es suryectiva o no.
Solución
Aquí, el codominio es el conjunto de los números reales, tal como se indica en la pregunta.
Observando la gráfica, el rango de esta función sólo está definido sobre el conjunto de los números reales positivos, incluido el cero. En otras palabras, el rango de \(f\) es \(y\en [0,\infty)\). Como el codominio de \(f\) no es igual al rango de \(f\), podemos concluir que \(f\) no es suryectiva.
Digamos que se nos da la función cúbica estándar, \(g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definida por
\[g(x)=x^3\]
A continuación se muestra la gráfica de esta función.
Fig. 3. Gráfica cúbica estándar.
Observando esta gráfica, determina si la función es suryectiva o no.
Solución
En este caso, el codominio es el conjunto de los números reales, como se indica en la pregunta.
Observando la gráfica, observa que el rango de esta función también está definido sobre el conjunto de los números reales. Esto significa que el rango de \(g\) es \(y\in\mathbb{R}\). Como el codominio de \(g\) es igual al rango de \(g\), podemos deducir que \(g\) es suryectiva.
Prueba de la línea horizontal
Hablando de gráficas, también podemos comprobar que una función es suryectiva aplicando la prueba de la línea horizontal. La prueba de la línea horizontal es un método práctico para determinar el tipo de una función, es decir, para comprobar si es inyectiva, suryectiva o biyectiva. También se utiliza para comprobar si una función tiene inversa o no.
La prueba de la recta horizontal se realiza construyendo un segmento de recta plana en una gráfica dada. Luego observaremos el número de puntos de intersección para deducir la propiedad de la función. Observa que esta recta se traza de extremo a extremo de una gráfica dada. Además, se toma como arbitraria, lo que significa que podemos probar cualquier recta horizontal \(y = c\), donde \(c\) es una constante.
Para una función suryectiva, cualquier recta horizontal intersectará la gráfica al menos una vez, es decir, en un punto o en más de un punto. Si hay un elemento en el rango de una función dada tal que la recta horizontal que pasa por ese elemento no interseca la gráfica, entonces la función no supera la prueba de la recta horizontal y no es suryectiva. Aquí tienes dos ejemplos que muestran explícitamente este planteamiento.
Utilizando la prueba de la recta horizontal, determina si la gráfica de abajo es suryectiva o no. El dominio y el rango de esta gráfica es el conjunto de los números reales.
Fig. 4. Ejemplo A.
Solución
Construyamos tres rectas horizontales sobre la gráfica anterior, a saber, \(y=-1\), \(y=0,5\) y \(y=1,5\). Esto se muestra a continuación.
Fig. 5. Solución del ejemplo A.
Mirando ahora los puntos de intersección de esta gráfica, observamos que en \(y=1,5\), la línea horizontal interseca la gráfica una vez. En \(y=-1\) y \(y=0,5\), la recta horizontal interseca la gráfica tres veces. En los tres casos, la recta horizontal interseca la gráfica al menos una vez. Por tanto, la gráfica cumple la condición para que una función sea suryectiva.
Como antes, aplica la prueba de la recta horizontal para decidir si la siguiente gráfica es suryectiva o no. El dominio y el rango de esta gráfica es el conjunto de los números reales.
Fig. 6. Ejemplo B.
Solución
Como antes, construiremos tres rectas horizontales sobre la gráfica anterior, a saber \(y=-5\), \(y=-2\) y \(y=1\). Esto se muestra a continuación.
Fig. 7. Solución del ejemplo B.
Observa cómo en \(y=-5\) y \(y=1\) la recta horizontal corta a la gráfica en un punto. Sin embargo, en \(y=-2\), la prueba de la línea horizontal no interseca la gráfica en ningún punto. Por tanto, la prueba de la recta horizontal falla y no es suryectiva.
Las gráficas que tienen una discontinuidad o un salto tampoco son suryectivas. Te darás cuenta de que, aunque una línea horizontal puede intersecar la gráfica en uno o más puntos en determinadas zonas de la gráfica, habrá una región dentro de la discontinuidad en la que una línea horizontal no cruzará la gráfica en absoluto, como en el ejemplo anterior. ¡Pruébalo tú mismo!
Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas y biyectivas
Para una función inyectiva, cualquier recta horizontal intersecará la gráfica como mucho una vez, es decir, en un punto o en ninguno. Aquí decimos que la función supera la prueba de la recta horizontal. Si una recta horizontal corta a la gráfica en más de un punto, la función no supera la prueba de la recta horizontal y no es inyectiva.
Para una función biyectiva, toda recta horizontal que pase por cualquier elemento del intervalo debe intersecar la gráfica exactamente una vez.
Diferencia entre funciones suryectivas y biyectivas
En este segmento compararemos las características de una función suryectiva y una función biyectiva.
Para esta comparación, supondremos que tenemos alguna función, \(f:A\mapa a B\) tal que el conjunto \(A\) es el dominio y el conjunto \(B\) es el codominio de \(f\). La diferencia entre Funciones suryectivas y biyectivas se muestra en la tabla siguiente.
Funciones suryectivas | |
Todo elemento de \(B\) tiene al menos un elemento correspondiente en \(A\). | Todo elemento de \(B\) tiene exactamente un elemento correspondiente en \(A\). |
Las funciones suryectivas también se llaman funciones onto. | Las funciones biyectivas son a la vez uno a uno y onto, es decir, son inyectivas y suryectivas. Las funciones inyectivas (funciones uno a uno) son funciones tales que a cada elemento de \(B\) le corresponde como máximo un elemento de \(A\), es decir, una función que mapea elementos distintos en elementos distintos. |
La función f es suryectiva si y sólo si para cada y en \(B\), hay al menos un \(x\) en \(A\) tal que \(f(x) = y\). En esencia, \(f\) es suryectiva si y sólo si \(f(A) = B\). | La función f es biyectiva si para cada \(y\) en \(B\), hay exactamente una \(x\) en \(A\) tal que \(f(x) = y\). |
No tiene inversa. | Tiene inversa. |
Ejemplos de funciones suryectivas
Terminaremos esta discusión con varios ejemplos relacionados con funciones suryectivas.
Consideremos la función cuadrada estándar, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definida por
\[f(x)=x^2\]
Comprueba si la función es suryectiva o no.
Solución
Hagamos un esbozo de esta gráfica.
Fig. 8. Gráfica cuadrada estándar.
Aquí, el codominio es el conjunto de los números reales, tal como se indica en la pregunta.
Según el esquema anterior, el rango de esta función sólo está definido sobre el conjunto de los números reales positivos, incluido el cero. Así, el rango de \(f\) es \(y\en [0,\infty)\). Sin embargo, el codominio incluye también todos los números reales negativos. Como el codominio de \(f\) no es igual al rango de \(f\), podemos concluir que \(f\) no es suryectiva.
Supongamos que tenemos dos conjuntos, \(P\) y \(Q\) definidos por \(P = {3, 7, 11\}\) y \(Q = {2, 9\}\). Supongamos que tenemos una función \(g\) tal que
\[g = \{(3, 2), (7, 2), (11, 9)\}\]
Comprueba que esta función es suryectiva de \(P\) a \(Q\).
Solución
El dominio del conjunto \(P\) es igual a \(\{3, 7, 11\}\). A partir de nuestra función dada, vemos que cada elemento del conjunto \(P\) se asigna a un elemento tal que tanto \(3\) como \(7\) comparten la misma imagen de \(2\) y \(11\) tiene imagen de \(9\). Esto significa que el rango de la función es \(\{2, 9\}\).
Como el codominio \(Q\) también es igual a \(\{2, 9\}\), nos encontramos con que el rango de la función también es igual al conjunto \(Q\). Por tanto, \(g:P\mapa a Q\) es una función suryectiva.
Dada la función \(h:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) definida por,
\[h(x)=2x-7\]
Comprueba si esta función es suryectiva o no.
Solución
Supondremos en primer lugar que esta función es suryectiva. Nuestro objetivo es demostrar que para cada entero \(y\), existe un entero \(x\) tal que \(h(x) = y\).
Tomando nuestra ecuación como
\[h(x)=y\]
\[flecha derecha 2x-7\]
Ahora retrocederemos hacia nuestro objetivo resolviendo \(x\). Supongamos que para cualquier elemento \(y en \mathbb{R}\) existe un elemento \(x\ en \mathbb{R}\) tal que
\x=dfrac{y+7}{2}].
Esto se hace reordenando la ecuación anterior de modo que \(x\) se convierta en el sujeto, como se indica a continuación.
\[flecha derecha 2x&=y+7\[flecha derecha x&=dfrac{y+7}{2}]/final].
Entonces, por esta elección de \(x\) y por la definición de \(h(x)\), obtenemos
\[\inicio{alineación} h(x)&=hizquierda(\dfrac{y+7}{2}\derecha)\[flecha{derecha} h(x)&=cancelación{2}izquierda(\dfrac{y+7}{cancelación{2}\derecha)-7\[flecha{derecha} h(x)&=y+7-7\[flecha{derecha} h(x)&=y\final{alineación}].
Por tanto, \(y\) es una salida de \(h\), lo que indica que \(h\) es efectivamente suryectiva.
Funciones suryectivas - Puntos clave
Una función suryectiva es un tipo especial de función que mapea cada elemento del codominio en al menos un elemento del dominio.
Una función suryectiva también se llama función onto.
Cada elemento del codominio se asigna al menos a un elemento del dominio.
Un elemento del codominio puede asignarse a más de un elemento del dominio.
El codominio de una función suryectiva es igual a su ámbito.
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