Fundamentos de Funciones: Matemáticas, Ejemplos

Índice de temas

En este artículo aprenderemos más sobre las funciones y sus fundamentos.

Definición básica de función

Una función es una relación que asocia cada valor del conjunto de salida, llamado entrada, con un único valor, llamado salida, del conjunto de llegada.

Notación de una función

Una función se denota normalmente por $f (x)$ donde la entrada es $x$ y la salida es $f (x)$ .

Atributos básicos de las funciones

Hay varios atributos clave que son útiles para determinar si una relación matemática es una función. Estos atributos desempeñan un papel importante en la definición completa de cualquier función.

Entrada

La entrada es el valor independiente que se introduce en una función para producir una salida.

La entrada de una función es un marcador de posición, que puede tomar cualquier valor del conjunto de salida para producir una salida.

Salida

La salida es el valor de la función que surge de una determinada entrada. La salida se denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de la entrada.

Una función para describir el crecimiento previsto de una población de conejos en un campo a lo largo del tiempo podría tener una salida representativa del número de conejos en el campo en un momento dado.

Una forma sencilla de visualizar esta relación entre entradas y salidas en las funciones es el diagrama de funciones.

A continuación se muestra un diagrama que representa las entradas y salidas de la función, $f (x) = 2 x .$

Fundamentos de la función entradas y salidas studysmarter Las entradas se relacionan con las salidas mediante funciones- StudySmarter Originals

La siguiente función está escrita en términos de una variable, x. Fíjate en la notación de la función, el x dentro de los paréntesis indica que se trata de una función con x como entrada.

f (x) = 3 x + 8

Ahora bien, ¿cómo utilizamos realmente esta función? Bien, queremos encontrar la salida de esta función para una entrada dada, así que simplemente se trata de sustituir cualquier x de la función por dicha entrada.

Intentémoslo para una entrada de 10. Todo lo que tenemos que hacer es sustituir cada x por un 10.

$f (10) = 3 \times 10 + 8 = 30 + 8 = 38 .$

Así, para una entrada de 10, tenemos una entrada de 38.

Probemos con otro valor de entrada, por ejemplo $x = 0 .$ En este caso, el valor de salida sería $f (0) = 3 \times 0 + 8 = 0 + 8 = 8 .$

Función	No función
$f (x) = 2 x + 3$	$f (b) = \frac{\pm \sqrt{b^{2} + 4}}{2}$
$f (t) = t^{3} + t + 1$	$x^{2} = y^{2} + 1$

Consideramos la tabla anterior en la que distinguimos entre funciones y no funciones por las siguientes razones:

En $f (x) = 2 x + 3$ para cada entrada x, tenemos una única salida f(x).
Lo mismo ocurre con $f (t) = t^{3} + t + 1$ para cada entrada t, tenemos una única salida f(t).

Sin embargo, para $f (b) = \frac{\pm \sqrt{b^{2} + 4}}{2}$ , para cada entrada b, tenemos 2 salidas distintas f(b), a saber, el positivo y el negativo de la fracción en cuestión.

Lo mismo ocurre para $x^{2} = y^{2} + 1$ , reordenando de modo que tengamos y como sujeto obtenemos $y = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ y, por tanto, para cada entrada x, tenemos dos salidas diferentes, a saber, la raíz positiva y la raíz negativa de $x^{2} - 1$ .

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles de una función.

El dominio es un atributo importante de la función, ya que describe qué valores de entrada son entradas aceptables para la función. Se utiliza para evitar cualquier salida indefinida o indeseable.

Por ejemplo, tomemos la siguiente función

$f (x) = \frac{15}{x - 7}$

La variable de entrada de esta función es x, así que ¿para qué valores de x no existe una salida?

Bien, sabemos que la mitad inferior de la fracción no puede ser cero, ya que dividir por cero es imposible. Ahora sólo tenemos que encontrar el valor de x en el que el fondo de la función es igual a cero y podemos incluirlo en nuestro dominio.

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Así pues, para que nuestra función esté definida, nuestra variable independiente x puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales, excepto $x = 7 .$ Así, denotamos el dominio de nuestra función de la siguiente manera

$D o m a i n_{f} = D_{f} = \{x : x \in ℝ x \neq 7\}$ .

Esto significa que el dominio de la función f(x) es simplemente el conjunto de todos los números reales, excepto 7. En esencia, para cualquier número real de entrada, aparte de 7, la función tiene una salida única y real.

Determina el dominio de la siguiente función,

$h (x) = \sqrt{x + 9}$

Solución

Como la raíz cuadrada de un negativo no existe, el valor de la función dentro de la raíz cuadrada no debe ser negativo. Por tanto, debemos tener

$x + 9 \geq 0$

Por tanto, podemos deducir que

$x \geq - 9$

Y a partir de aquí, podemos definir el dominio de esta función como el conjunto de todos los números reales mayores que -9,

$D_{h} = \{x : x \in ℝ x \geq - 9\}$

Rango

El rango de una función representa todos los posibles valores de salida de una función.

Veamos la misma función de antes, f(x).

$f (x) = \frac{15}{x - 7}$

Ya hemos encontrado su dominio,

$D_{f} = \{x : x \in ℝ x \neq 7\}$

¿Qué puede no ser la salida de f(x) ? Pues bien, sea cual sea el valor de x que tomemos como entrada de la función, es imposible que f(x) sea igual a cero. El valor de f(x) puede acercarse infinitamente a cero para valores cada vez mayores de x, pero en realidad nunca lo alcanzará.

Por tanto, podemos deducir que el rango de nuestra función es el conjunto de todos los números reales excepto el cero.

$R a n g e o f f = {z : z (x) \in ℝ z (x) \neq 0} = ℝ \ \{0\} .$

Determina el rango de la siguiente función,

$r (t) = \sqrt{2 t}$

Solución

Bien, como es imposible que la raíz cuadrada de un número sea negativa, encontrar el rango de esta función es relativamente directo.

La salida de r(t) debe ser un número positivo, por lo que el rango de r(t) es el conjunto de todos los números reales positivos y el cero,

$R a n g e o f r (t) = {r (t) \geq 0} = ℝ^{+}$

Evaluar funciones

Evaluar una función significa encontrar la salida que corresponde a una entrada dada.

Suele hacerse mediante una sustitución directa del valor de entrada y una simplificación del lado derecho de la expresión. Veámoslo en la práctica.

Evalúa la siguiente función cuando x=4.

$f (x) = x^{2} + 12$

Solución

Encontrar la solución de la función cuando x = 4 es tan sencillo como sustituir 4 en lugar de cada x.

$f (4) = 4^{2} + 12$

Ahora, resolver la función es tan sencillo como resolver cualquier otra ecuación,

$f (4) = 16 + 12 = 28$

Echemos un vistazo a otra, para asegurarnos de que lo hemos entendido.

Considera la función h(t). Encuentra la solución de la función h(t) cuando t = 13.

$h (t) = \frac{18}{t + 15}$

Introduzcamos nuestro valor dado de t,

$h (13) = \frac{18}{13 + 15}$

y simplifiquemos el lado derecho de la ecuación, para obtener

$h (13) = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$

Funciones gráficas

Una forma muy poderosa de representar funciones son los gráficos. Los gráficos proporcionan una gran representación visual, que puede utilizarse para interpretar funciones y discernir sus propiedades.

Los gráficos de funciones se componen simplemente de las salidas de la función en un eje (normalmente el eje vertical) y las entradas de la función en el otro eje (normalmente el eje horizontal). A continuación se muestran algunos ejemplos de diversas funciones y sus gráficas.

$f (x) = 2 x + 5$

fundamentos de funciones grafica de una recta ejemplo de funcion studysmarter Gráfica de una función rectilínea - StudySmarter Originals

h (t) = t^{2} - 3

funciones basicas grafico cuadratico ejemplo StudySmarter Gráfica de una función cuadrática - StudySmarter Originals

¿Cómo es exactamente que podemos hacer nosotros mismos la gráfica de una función como ésta? Bueno, hacerlo a mano es un simple caso de trazar una serie de puntos individuales en un conjunto de ejes, y unirlos con una línea suave.

Esto se puede hacer siguiendo estos pasos

Toma un gran conjunto de valores de entrada del dominio de la función.
Calcula las salidas correspondientes.
Traza en la gráfica el par de puntos que ya hemos encontrado en los pasos 1 y 2.
Une los puntos con una curva suave.

Veamos un ejemplo rápido para ver cómo se hace esto.

En un conjunto de ejes, traza la gráfica de la función $f (x) = x^{2} - 2$ .

Solución

El primer paso para trazar la función es encontrar el dominio de la función.

Como f es una función polinómica, su dominio es el conjunto de todos los números reales.

Tomemos las entradas $x = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ . Podemos hallar sus correspondientes salidas sustituyéndolas a través de la función.

Recordemos que $f (x) = x^{2} - 2$ por tanto

x	f(x)
x=-3	$f (- 3) = {(- 3)}^{2} - 2 = 7$
x=-2	$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2 = 2$
x=-1	$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 = - 1$
x=0	$f (0) = 0^{2} - 2 = - 2$
x=1	$f (1) = 1^{2} - 2 = - 1$
x=2	$f (2) = 2^{2} - 2 = 2$
x=3	$f (3) = 3^{2} - 2 = 7$

Esto nos da los siguientes puntos para trazar en la gráfica,

$(- 3, 7), (- 2, 2), (- 1, - 1), (0, - 2), (1, - 1), (2, 2), (3, 7)$

A continuación, trazamos estos puntos en la gráfica.

Fundamentos de las funciones trazar la gráfica de una función studysmarterr Trazado de los puntos de la función de ejemplo - StudySmarter Originals

La etapa final consiste en unir los puntos con una línea curva suave.

Fundamentos de las funciones graficar una función ejemplo StudySmarter Graficar una función - StudySmarter Originals

¿Y si quisiéramos encontrar el valor de una de estas funciones para una entrada dada? Pues bien, vamos a intentar hallar la salida de h(t) cuando t = 3.

Sólo tenemos que encontrar el punto en el que la recta t = 3 se intercepta con la función h(t).

$h (t) = t^{2} - 3$

fundamentos de la función hallar el valor de la salida de una función para una determinada entrada studysmarter Hallar la salida de una función para una entrada dada - StudySmarter Originals

Y así, a partir de la gráfica, podemos leer que la solución de la función h(t) cuando t = 3 es 6.

No sólo podemos utilizar una recta vertical para hallar la salida de una función, sino que también se puede utilizar para comprobar si una gráfica dada es de una función. ¡Veamos cómo!

Prueba de la recta vertical

Como ya hemos dicho, para una entrada dada, una función sólo puede tener una única salida. Debido a este atributo, se puede realizar una sencilla prueba para comprobar si una gráfica es de una función.

En pocas palabras, si una gráfica es de una función, cualquier línea vertical que se dibuje sólo la cruzará una vez. Si se puede trazar una línea vertical que cruce la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no es de una función.

A continuación se muestra un ejemplo de la prueba de la recta vertical sobre una función.

funciones basicas linea vertical test studysmarter Ejemplo de prueba de la línea vertical en una función - StudySmarter Originals

Aunque este gráfico de abajo puede parecer una función a primera vista, podemos ver por inspección y por la prueba de la línea vertical que cada entrada tiene dos salidas, por lo tanto el gráfico de abajo no es una función.

funciones basicas linea vertical test studysmarter Prueba de la línea vertical realizada en un ejemplo de no función - StudySmarter Originals

Tipos básicos de funciones

Hay algunos tipos básicos de funciones que es importante saber reconocer. Veamos algunos tipos de funciones y sus correspondientes gráficas.

Función lineal.

Las funciones lineales siempre pueden expresarse de la forma $y = a x + b$ por ejemplo, $y = 2 x + 3$ .

La gráfica de una función lineal es una línea recta.

fundamentos de funciones gráfica de una función lineal studysmarter Gráfica de una función lineal - StudySmarter Originals

Funciones cuadráticas.

Las funciones cuadráticas son de la forma $f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Por ejemplo, $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo.

fundamentos de funciones gráfica de una función cuadrática studysmarter Gráfica de una función cuadrática - StudySmarter Originals

Funciones trigonométricas.

Funcionestrigonométricas como f(x)=seno x, f(x)=cos x y f(x)=tan x. cuyas gráficas se representan a continuación.

$f (x) = \sin (x)$
Gráfica de una función seno - StudySmarter Originals

$f (x) = \cos (x)$

fundamentos de la función gráfica de una función coseno studysmarter Gráfica de una función coseno - StudySmarter Originals

$f (x) = \tan (x)$

fundamentos de funciones gráfica de una función tangente studysmarter Gráfica de una función tangente - StudySmarter Originals

Hay muchos más tipos de funciones que no hemos mencionado. Hay funciones logarítmicas, funciones exponenciales, funciones cúbicas, funciones cuárticas ¡y muchas más! Visita nuestro artículo sobre Tipos de funciones para saber más.

Ejemplos de funciones

Terminamos nuestro artículo con algunas gráficas de funciones sencillas pero increíblemente complicadas.

Aquí tienes un ejemplo de una función lineal muy sencilla.

$f (x) = 3 x + 2$

Conceptos básicos de funciones ejemplo de una función lineal studysmarter Ejemplo de una función lineal - StudySmarter Originals

Podemos obtener funciones más complicadas, como este ejemplo de función cuadrática.

$f (x) = 4 {(x - 3)}^{2} + 2$

Conceptos básicos de funciones ejemplo de una función cuadrática studysmarter Ejemplo de función cuadrática - StudySmarter Originals

Las funciones pueden ser incluso tan disparatadas como la siguiente. ¡Realmente hay posibilidades ilimitadas!

f (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{3} - 3 x + 3^{x}}{2 x + 7} - \frac{4^{x} - 3^{x} + \ln (x)}{5}

Fundamentos de una función ejemplo de una función complicada studysmarter Ejemplo de función complicada - StudySmarter Originals

Así que ya lo tenemos, ¡estos son los conceptos básicos de las funciones! Sin embargo, todo esto es sólo la punta del iceberg, ¡por qué no echas un vistazo a algunas de nuestras otras explicaciones sobre diversos aspectos de las funciones para descubrir el resto!

Conceptos básicos de las funciones

Las funciones son expresiones matemáticas que relacionan entradas con salidas.
Por definición, cada entrada de una función sólo puede tener una única salida.
El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles de una función.
Resolver una función para una entrada dada consiste simplemente en sustituir la variable de la función por el valor de dicha entrada y resolver el lado derecho de la ecuación.

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¿Qué es una función?

Una función es una expresión matemática que relaciona una entrada dada con una salida única.

¿Qué es la entrada de una función?

La entrada de una función es un valor numérico que se le introduce para que devuelva una salida.

¿Cuál es la salida de una función?

La salida de una función es simplemente el valor de la función que surge de una determinada entrada.

¿Qué es el dominio de una función?

El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles a la función.

¿Qué es el alcance de una función?

El alcance de una función es el conjunto de todas las posibles salidas de esa función que surgen del dominio.

¿Cómo se relaciona el dominio de una función con su rango?

Cada valor del dominio de una función se corresponde directamente con un único valor del rango de una función. Se relacionan a través de la propia función.

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Preguntas frecuentes sobre Fundamentos de Funciones

¿Qué es una función en matemáticas?

Una función es una relación entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto se asocia con un único elemento del segundo conjunto.

¿Cómo se identifica el dominio y el rango de una función?

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada, y el rango es el conjunto de todos los posibles valores de salida.

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta. Se expresa como f(x) = mx + b, donde m y b son constantes.

¿Cómo se determina si una relación es una función?

Una relación es una función si cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida asociado. Se puede usar la prueba de la línea vertical.

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