Gradiente y Término Independiente: Algebra, Cálculo

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Losgradientes y los interceptos son los únicos datos que necesitamos para trazar la gráfica de una recta y conocer sus propiedades. Exploremos qué son en este artículo.

Significado de gradiente e intercepto de una recta

Significado de la pendiente de una recta

Supongamos que un hombre sube una colina, y para simplificar las cosas, la colina es recta en su recorrido, sin baches ni curvas.

Si el hombre recorre 100 metros en dirección horizontal y se encuentra a 200 metros del suelo, ¿cómo podemos medir la inclinación de la colina?

Gradiente e Interceptos, Un hombre en lo alto de una colina, StudySmarter Un hombre de pie en lo alto de una colina, StudySmarter Originals

Para ser más rigurosos, la inclinación, en términos matemáticos, se conoce como Gradiente de la colina.

Elgradiente de una recta es la medida de lo empinada que es, o de lo descuidada que está.

Significado de los interceptos de una recta

Una función lineal de la forma $a x + b y + c = 0$ se representa mediante una recta que se extiende infinitamente en cualquier dirección. Por tanto, en un punto intersecará al eje y o al eje x o, más comúnmente, a ambos ejes del plano coordenado.

Las coordenadas del punto en el que una recta interseca a cualquiera de los ejes se conoce comointercepto de esa recta.

Tipos de interceptos de una recta

Como en el plano coordenado hay dos ejes, una recta puede tener intersecciones con el eje x o con el eje y, o con ambos.

Los intersecciones x son los puntos de intersección de una recta con el eje x.

Los interceptos y son los puntos de intersección de una recta con el eje y.

Cálculo y fórmula del gradiente y los interceptos

Cálculo y fórmula del gradiente

El gradiente de una recta es la relación entre el cambio en la dirección y y el cambio en la dirección x.

Para medir la inclinación de la pendiente, una forma intuitiva es saber cómo es el cambio en la dirección vertical respecto al cambio en la dirección horizontal, que es esencialmente lo que queremos saber. Y así es exactamente como se define matemáticamente la pendiente.

Traduciendo esta definición a una ecuación, en la que m denota el gradiente, obtenemos

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{f} - y_{i}}{x_{f} - x_{i}}$

donde $y_{f}$ , $y_{i}$ son las coordenadas y finales e iniciales, y $x_{f}, x_{i}$ son las coordenadas x final e inicial.

Interpretación geométrica del gradiente

Si se observa detenidamente, se puede observar que la fórmula del gradiente, que es igual a la relación entre el cambio en y sobre el cambio en x, no es más que la tangente del ángulo formado entre la recta y el eje x positivo.

$m = \tan θ$

Ahora, si volvemos a nuestro hombre en la cima de la colina, podemos calcular la pendiente de la colina con nuestra fórmula,

$m = \frac{200 - 0}{100 - 0} = \frac{200}{100} = 2$

Por tanto, la colina tiene una pendiente de 2.

Pero, ¿cómo podemos hallar el gradiente de una recta si sólo se nos da la ecuación de la recta? Según la definición del gradiente, recordemos

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{f} - y_{i}}{x_{f} - x_{i}}$ .

Por tanto, necesitamos las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta para calcular el gradiente.

Pero hay infinitas entre las que elegir, ¿y cómo sabemos cuáles elegir? Recuerda que conocemos las coordenadas de dos puntos concretos de la recta, ¡los intersticios x e y!

Así que podemos elegir los dos puntos como $(x_{i}, y_{i}) = (\frac{- c}{a}, 0)$ y $(x_{f}, y_{f}) = (0, \frac{- c}{b})$ . Tras la sustitución obtenemos

$m = \frac{\frac{- c}{b} - 0}{0 - (\frac{- c}{a})} = \frac{\frac{- c}{b}}{\frac{c}{a}} = \frac{- c}{b} \times \frac{a}{c} = \frac{- a}{b}$

Por tanto, el gradiente (o pendiente) de una recta dada por $a x + b y + c = 0$ es $m = - \frac{a}{b}$ .

Recuerda que pendiente y gradiente comparten el mismo significado en este contexto de una línea recta.

Cálculo de interceptos

Consideramos la gráfica de una recta que intercepta los ejes del plano coordenado.

Gradiente e Interceptos, La gráfica de una función lineal ax+by+c=0, StudySmarter La gráfica de una función lineal ax+by+c=0, StudySmarter Originals

Observamos que, según la definición, los interceptos se forman sobre los propios ejes.

La intersección x estará en el eje x, por lo que la coordenada y será 0 en ese punto.

Para calcular la intersección x, fija y=0 y resuelve para x.

Considera una recta, modelada por la ecuación lineal, donde a, b y c son constantes de valor real, sin que a y b sean simultáneamente 0.

Para hallar los intersticios x de esta recta, tenemos que sustituir y por 0, ya que la coordenada y desaparece en ese punto. Por tanto, obtenemos

$a x + b (0) + c = 0 a x + c = 0 a x = - c x = - \frac{c}{a}$

Por tanto, la intersección x de la recta $a x + b y + c = 0$ es $(- \frac{c}{a}, 0)$ .

Para calcular la intersección y, fija x=0 y resuelve para y.

Para hallar la intersección y de la recta, tenemos que sustituir x por 0, lo que da como resultado

$a (0) + b y + c = 0 b y + c = 0 b y = - c y = \frac{- c}{b}$

Por tanto, la intersección y de la recta $a x + b y + c = 0$ es $(0, \frac{- c}{b})$ .

Ejemplos de gradiente e intersección

Halla la intersección x y la intersección y de la recta de ecuación $2 x + 4 y - 1 = 0$ .

Solución

Comparando la ecuación dada de la recta con la forma general $a x + b y + c = 0$ ,

obtenemos $a = 2, b = 4, c = - 1$ .

Y sabemos que la intersección y viene dada por

- \frac{c}{b} = - (\frac{- 1}{4})

= \frac{1}{4}

Por tanto, la intersección y está en $(0, \frac{1}{4})$ .

Del mismo modo, la intersección x viene dada por

$- \frac{c}{a} = - (\frac{- 1}{2}) = \frac{1}{2}$ .

Por tanto, la intersección x está en $(\frac{1}{2}, 0)$ .

Si trazamos la recta, localizamos las intersecciones x e y y las unimos para obtener la recta deseada.

Gradiente e Interceptos, La gráfica de la recta 2x+4y-1=0, StudySmarter La gráfica de la recta 2x+4y-1=0, StudySmarter Originals

Halla el gradiente de la recta de ecuación $3 x - y + 1 = 0$ .

Solución

Comparando la ecuación dada de la recta con la forma general $a x + b y + c = 0$ obtenemos $a = 3, b = - 1, c = 1$ .

La pendiente o el gradiente de la recta se puede calcular mediante ,

$m = \frac{- a}{b} = \frac{- 3}{- 1} = \frac{3}{1} = 3$

Por tanto, la pendiente de la recta dada es 3.

La gráfica de esta recta sería

Gradiente e Interceptos, La gráfica de la recta dada por 3x-y+1=0, StudySmarter La gráfica de la recta dada por 3x-y+1=0, StudySmarter Originals

donde A y B están en las intersecciones x e y de la recta.

Recuerda que las coordenadas de la intersección x son $(- \frac{c}{a}, 0)$ y para la intersección y $(0, \frac{- c}{b})$ .

De este modo, la intersección x de nuestra recta $3 x - y + 1 = 0$ es $(- \frac{c}{a}, 0) = (- \frac{1}{3}, 0)$ y la intersección y es $(0, - \frac{c}{b}) = (0, 1)$ .

Aplicaciones de Gradiente e Intercepto: Forma Pendiente-Intercepto de una recta

Del mismo modo que una recta puede expresarse generalmente mediante la forma $a x + b y + c = 0$ también podemos obtener una forma general determinada por la pendiente y el intercepto de la recta.

Si reordenamos la ecuación dada para obtener y en un lado de la ecuación, tenemos

$b y = - a x - c$

$y = \frac{- a}{b} x - \frac{c}{b}$

donde observamos que $- \frac{a}{b}$ es la pendiente de la recta, como hemos averiguado en el apartado anterior. Y nombremos $- \frac{c}{b} = d$ donde d no es más que otra constante renombrada en términos de c y b. Recordemos que $- \frac{c}{b}$ es la propia intersección y, que aquí será d . Por tanto, nuestra ecuación se reduce a

$y = \underset{s l o p e}{\underset{⏟}{m}} x + \underset{y - i n t e r c e p t}{\underset{⏟}{d}}$

Halla la pendiente y la intersección y de la recta $3 x - 2 y + 1 = 0$ .

Solución

Para comparar la ecuación dada de la recta con la forma pendiente-intersección, necesitamos resolverla explícitamente para y, tenemos

$2 y = 3 x + 1$

Dividiendo por 2, obtenemos

$y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$

Comparando esto con la forma estándar $y = m x + d$ donde m es la pendiente y d es la intersección de y, obtenemos $m = \frac{3}{2}, d = \frac{1}{2}$ .

Por tanto, la pendiente es $\frac{3}{2}$ y la intersección y es $(0, \frac{1}{2})$ .

Para hallar la intersección x, fijamos y=0, y resolvemos para x, y en este caso obtenemos

$3 x + 1 = 0 3 x = - 1 x = - \frac{1}{3}$

y por tanto la intersección x es $(\frac{- 1}{3}, 0)$ .

Halla la pendiente y la intersección y de la recta $x + 2 y = 0$ .

Solución

Comparando la ecuación dada con la forma general $a x + b y + c = 0$ obtenemos $a = 1, b = 2, c = 0$ .

La forma pendiente-intersección viene dada por $y = \frac{- a}{b} x - \frac{c}{b}$ que nos da $y = - \frac{x}{2}$ .

Por tanto, la pendiente es $\frac{- 1}{2}$ y la intersección y es (0,0).

Para hallar la intersección x, fijamos y=0 y resolvemos para x. Así, obtenemos

$x = 0$

y por tanto la intersección x es (0,0).

Gradiente e Interceptos - Puntos clave

Las coordenadas distintas de cero del punto en el que una recta corta a los dos ejes se conocen como interceptos de esa recta.
Para una recta dada por $a x + b y + c = 0$ la intersección x viene dada por $- \frac{c}{a}$ y la intersección y por $- \frac{c}{b}$ .
El gradiente de una recta es una medida de su pendiente (o inclinación). Un término alternativo para gradiente es pendiente.
El gradiente de una recta viene dado por $m = \tan θ = - \frac{a}{b}$ donde $θ$ es el ángulo que forma la recta con el eje x positivo.
Una recta puede expresarse alternativamente en forma de pendiente-intersección, en la que podemos deducir directamente la pendiente y la intersección y.

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Preguntas frecuentes sobre Gradiente y Término Independiente

¿Qué es el gradiente en matemáticas?

El gradiente en matemáticas es una medida que indica cómo cambia una función espacialmente. En términos de ecuaciones lineales, representa la inclinación de la recta.

¿Qué significa el término independiente en una ecuación?

El término independiente es el valor en una ecuación lineal que no está multiplicado por una variable, representando el punto donde la línea cruza el eje Y.

¿Cómo se calcula el gradiente de una recta?

Para calcular el gradiente de una recta se usa la fórmula: (cambio en y) / (cambio en x), es decir, la subida dividida por la carrera.

¿Cuál es la relación entre el gradiente y el término independiente?

La relación entre el gradiente y el término independiente en una ecuación y = mx + b es que m representa el gradiente y b es el término independiente.

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