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Uso de gráficas para relaciones algebraicas
Puedes utilizar el plano de coordenadas, que puedes ver a continuación, para representar gráficamente cualquier relación algebraica. El plano de coordenadas está formado por una recta horizontal (eje x) y una recta vertical (eje y), y se divide en cuatro cuadrantes denominados con números romanos (I, II, III y IV).
Los distintos puntos de un gráfico tienen coordenadas escritas como pares ordenados (pares de números entre paréntesis separados por una coma). El primer número de un par ordenado (x, y) representa el valor de x, y el segundo representa el valor de y para un punto dado. Por ejemplo, el punto medio donde se encuentran los ejes x e y se llama origen, y sus coordenadas son (0, 0).
Los gráficos nos ayudan a analizar el comportamiento de las variables y pueden utilizarse para hacer inferencias sobre ellas y facilitar la interpretación de los datos.
Plano de coordenadas
Trazar vs. esbozar
Al hacer gráficos, puedes hacerlo trazando o dibujando. Para trazar, normalmente utilizas papel milimetrado y haces una tabla de valores para las coordenadas x e y y las trazas con la mayor precisión posible.
Si tienes la ecuación y = x, puedes trazar su gráfica así:
Trazar una gráfica
| x | y |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Al esbozar, no necesitas ser tan preciso. Necesitas dibujar los ejes x e y y esbozar la forma general de la curva, incluidos los puntos en los que se cruza con los ejes x e y. En el caso de una gráfica lineal, sólo necesitas un par de puntos para dibujar la línea que cruza esos dos puntos. Cuando dibujas la gráfica de la recta y = x, sólo necesitas un punto más, ya que sabes que la recta cruza el origen (0, 0).
Trazar una gráfica
¿Cuáles son los distintos tipos de gráficas?
Dependiendo del tipo de función que estés graficando, obtendrás diferentes formas características para su curva. A continuación se describen los principales tipos de gráficas.
Gráficas lineales
Las gráficaslineales son una línea recta. Representan la gráfica de funciones en las que el mayor exponente de su ecuación es 1.
Pendientes e interceptos
En las gráficas lineales, la pendiente es la velocidad de cambio de la recta en sentido vertical. La pendiente puede ser poco pronunciada o pronunciada, dependiendo de su valor. Cuanto mayor sea el valor de la pendiente, más pronunciada será la recta, y cuanto menor sea el valor de la pendiente, menos pronunciada será la recta. Además, deberás recordar que la pendiente de una recta horizontal es cero, y la pendiente de una recta vertical es indefinida.
Cualquier ecuación lineal puede representarse en la forma pendiente-intersección, así
\[y = m x + b\]
x = variable independiente
y = variable dependiente
m =pendiente (inclinación de la recta)
b = intersección y (coordenada y del punto en que la recta cruza el eje y)
La pendiente puede calcularse mediante la fórmula
\(m = \frac{subida}{corrida}\)
\(m = \frac{{cambio en y}}{{texto{cambio en x}} = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}\)
donde \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son dos puntos cualesquiera de la recta.
Si no tienes la ecuación de la gráfica de la recta, pero puedes identificar dos puntos de la recta A = (2, 2) y B = (5, 5).
Cálculo de la pendiente
Entonces puedes calcular la pendiente de la siguiente manera:
\(m = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5-2}{5-2} = \frac{3}{3} = 1\)
m = 1
No importa cuál elijas como punto 1 y punto 2. La pendiente resultante será la misma.
Si tienes la ecuación lineal \(y = mx + b\), no necesitas calcular la pendiente. Puedes identificar en la ecuación el valor de m, que será la pendiente de la recta. Asimismo, el valor de b será la intersección y.
Para la ecuación \(y = 2x + 3\), m = 2 y b = 3.
La lectura de Gráficas de rectas ampliará tus conocimientos sobre este tema.
Gráficas cuadráticas
Si la función que queremos representar es cuadrática, representada genéricamente como \(f(x) = ax^2 + bx + c\), entonces la forma de y = f (x) será una parábola.
Si el coeficiente de \(x^2(a)\) es positivo, entonces la parábola estará al derecho.
Gráfico cuadrático con coeficiente positivo
Si el coeficiente de \(x^2(a)\) es negativo, entonces la parábola estará invertida.
Gráfica cuadrática con coeficiente negativo
Además de identificar si la parábola estará al derecho o al revés,para dibujar unagráfica cuadrática debes proceder como sigue:
Sustituye x = 0 en la función \(f(x) = ax^2 + bx +c\), para obtener la coordenada y en la que la parábola cruza el eje y, que es igual a c.
Haz que la función \(f(x) = ax^2 + bx +c\) sea igual a cero, y halla las raíces de la función f(x). Las raíces serán las coordenadas x en las que la parábola cruza el eje x. Puedes hallar las raíces factorizando, completando el cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática.
Encuentra el punto de inflexión de la parábola (mínimo o máximo), completando el cuadrado o utilizando la simetría.
Si completas el cuadrado, el punto de inflexión será (-p, q) si \(f(x) = a(x + p)^2 + q\) .
Si utilizas la simetría, la coordenada x del punto de inflexión estará en medio de las dos raíces halladas en el paso anterior (súmalas y luego divídelas por 2). Después, tienes que sustituir el valor resultante de x en la función original para hallar la coordenada y del punto de inflexión.
Dibuja la gráfica.
Dibuja la gráfica de \(f(x) = x^2 + 3x +2\), y halla las coordenadas de su punto de inflexión.
- El coeficiente de \(x^2 (a)\) es positivo, por lo que la parábola estará al derecho y tendrá un punto mínimo.
- Cuando x = 0, y = 2, por tanto la parábola cruza el eje y en el punto (0, 2)
- \(x^2 + 3x +2 = 0\) Encuentra las raíces de la función factorizando
\((x+1)(x+2) = 0\)
Las raíces son x = -1 y x = -2
- Utiliza la simetría para hallar el punto de inflexión:
\(x = \frac{-1 + (-2)}{2} = \frac{-3}{2}\)
\(y = \big(\frac{-3}{2} \big)^2 + 3\big(\frac{-3}{2} \big) + 2\)
Sustituye x en la ecuación original
\(y = \frac{9}{4} + \frac{-9}{2} + 2\)
\(y = \frac{-1}{4}\)
El punto mínimo es \(\big( \frac{-3}{2} \frac{-1}{4}\big)\)
- Ahora puedes dibujar la gráfica:
Trazar una gráfica cuadrática
Gráficas cúbicas
Si la función que estás graficando es cúbica, representada genéricamente como \(f(x) = ax^3 + bx^2 +cx +d\), entonces la forma de y = f (x) se muestra a continuación si el coeficiente de \(x^3(a)\) es positivo.
Gráfica cúbica con coeficiente positivo
Si el coeficiente de \(x^3(a)\) es negativo, entonces la forma será así:
Gráfico cúbico con coeficiente negativo
Para dibujar la gráfica de funciones cúbicas, necesitas encontrar las raíces de la función.
Traza la curva de \(y=(x+1)(x+2)(x+3)\) indicando los puntos donde se cruzan con los ejes de coordenadas.
- Cuando y = 0
\((x+1)(x+2)(x+3) = 0\)
Las raíces son \(x = -1\), \(x = -2\), y \(x = -3\)
Por tanto, la curva cruza el eje x en (-1, 0), (-2, 0) y (-3, 0)
- Cuando x = 0
\(y = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\)
La curva cruza el eje y en (0, 6)
- Dibuja la gráfica:
Trazado de una gráfica cúbica
Gráficas cuárticas
Si la función que estás graficando es cuártica, representada genéricamente como \(f(x) = ax^4 +bx^3 +cx^2+dx+e\), entonces la forma de y = f (x) puede tener distintas formas dependiendo de sus raíces. Una de las formas posibles, si el coeficiente de \(x^4(a)\) es positivo, es la que se muestra a continuación.
Gráfica cuártica con coeficiente positivo
Si el coeficiente de (x^4(a)\) es negativo, su curva puede adoptar la siguiente forma:
Gráfica cuártica con coeficiente negativo
De nuevo, para dibujar la gráfica de las funciones cuárticas, necesitas encontrar las raíces de la función.
Traza la curva para \(y = x(x-1)(x+3)(x-2)\) mostrando los puntos donde se cruzan los ejes de coordenadas.
- Cuando y = 0
\(x(x-1)(x+3)(x-2) = 0\)
Las raíces son x = 0, x = 1, x = -3 y x = 2
Por tanto, la curva cruza el eje x en (0, 0), (1, 0), (-3, 0) y (2, 0)
- Cuando x = 0, y = 0
La curva cruza el eje y en (0, 0)
- Dibuja la gráfica:
Trazado de una gráfica cuártica
Consulta el artículo sobre Gráficas de polinomios para obtener más detalles y ejemplos sobre gráficas cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
Gráficos de la función módulo
La función módulo, también conocida como función valor absoluto, se representa de forma genérica. El módulo de un número x será el mismo número pero positivo. A continuación se muestra la forma típica de una función módulo.
Gráfico de la función módulo
Si tienes una expresión dentro de la función módulo, calcula el valor que hay dentro y luego halla la versión positiva del resultado.
Si tienes la función \(f(x) = |x-3| +1\) halla \(f(-2))\)
\(f(-2) = |-2 -3| + 1 = |-5| +1 = 5+1 = 6\)
Para dibujar la gráfica de la función módulo \(y = |ax+b|\), tienes que dibujar \(y = ax+b\), y reflejar la parte de la recta que va por debajo del eje x en el eje x.
Dibuja la gráfica de \(y = |x-1|\) indicando los puntos donde se cruzan con los ejes de coordenadas.
Ignorando el módulo, tienes que dibujar la gráfica de \(y = |x-1||)
- Cuando y = 0, x = 1
La recta cruza el eje x en (1, 0)
- Cuando x = 0, y = -1
La recta cruza el eje y en (0, -1)
- Dibuja la gráfica de \(y = |x-1|\):
Trazar la gráfica de una función módulo
- Para los valores negativos de y, refleja en el eje x. En este caso, (0, -1) se convierte en (0, 1)
Trazado de la gráfica de una función módulo
Lee sobre la función módulo para saber más sobre este tipo de gráfico.
Gráficas recíprocas
Las funciones recíprocas suelen representarse como \(y = \frac{a}{x}\), y \(y = \frac{a}{x^2}\). Para dibujar este tipo de gráfica, debes tener en cuenta sus asíntotas. Una asíntota es una recta a la que la curva se acerca mucho, pero nunca la toca. La gráfica de las funciones recíprocas tiene asíntotas en x = 0 e y = 0. A continuación se muestra la forma de una función recíproca en la que \(a = 1\), \(y = \frac{1}{x}\).
Gráfica recíproca con coeficiente positivo
La forma de una función recíproca donde \(a = 1\), \(y = \frac{1}{x^2}\), es la siguiente.
Gráfica recíproca al cuadrado
Esboza la gráfica de \(y = \frac{4}{x}\)
Trazar una gráfica recíproca
Para más información y ejemplos sobre este tipo de gráfica, lee sobre Gráficas recíprocas.
Gráficas circulares
Otro tipo importante de gráfico que encontrarás en Geometría de Coordenadas son los gráficos de círculos. Una circunferencia es un conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La ecuación de una circunferencia con centro (0, 0) y radio r es \(x^2 + y^2 = r^2\). Si el centro es (a, b), entonces la ecuación cambia a \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
Gráfica del círculo
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro (6, 5) y radio 3, y luego dibuja su gráfica.
\((x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2)
\((x-6)^2 + (y-5)^2 = 9\)
Trazar la gráfica de un círculo
Leer más sobre Matemáticas circulares.
Gráficos - puntos clave
Las gráficas son representaciones visuales de ecuaciones que pueden ayudarnos a comprender la relación entre dos variables.
Al dibujar, no necesitas ser tan preciso como al trazar; tienes que dibujar los ejes x e y y esbozar la forma general de la curva, incluidos los puntos en los que se cruza con los ejes x e y.
La pendiente de una recta y la intersección y pueden utilizarse para representar gráficamente una ecuación lineal.
Para dibujar ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, hay que identificar las raíces de la función, así como el punto en el que la curva cruza el eje y.
Para dibujar la gráfica de la función módulo \(y = |ax+b|\), debes dibujar \(y = ax + b\), y luego reflejar la parte de la recta que va por debajo del eje x en el eje x.
En las gráficas de funciones recíprocas, una asíntota es una recta a la que la curva se acerca mucho, pero nunca la toca.
Un círculo es un conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
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