Esto significa que puedes tener una función cuad rática que modele el lanzamiento y la trayectoria de la pelota, y la gráfica de esta función modelaría el movimiento.
Este artículo explorará y explicará la forma estándar de una función cuadrática y determinará el efecto de variar los coeficientes en la gráfica de este polinomio. También explorará las desigualdades en la forma de las funciones cuadráticas.
¿Qué son las gráficas cuadráticas?
Una gráfica cuadrática es una parábola trazada a partir de un polinomio de orden dos, es decir, un polinomio en el que la mayor potencia de \(x\) es 2.
En la figura 1 puedes ver dos gráficas cuadráticas. Como puedes ver en los rótulos, la mayor potencia del polinomio es la de \(x^2\). Sigue leyendo para saber por qué es así.
Para entender las gráficas cuadráticas, introduciremos la Forma estándar de una función cuadrática.
Forma estándar de una función cuadrática
La forma estándar de una función cuadrática (o un polinomio de orden 2) viene dada por \[f(x)=a(x-h)^2+k,\] donde \(a,h\) y \(k\) son números reales.
Ajustar cualquiera de estas constantes tendrá un efecto visible en la gráfica de la función. La razón por la que se utiliza esta versión en la gráfica sobre la forma general \[f(x)=ax^2+bx+c\] es que, aunque la constante \(a\) tiene el mismo efecto en ambas formas,
en la forma estándar, desplazar cualquiera de las constantes \(h\) o \(k\) tiene un efecto unidimensional, es decir, la gráfica se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo (como verás más adelante en el artículo);
mientras que desplazar la constante \(b\) en la forma general tiene un efecto bidimensional, es decir, la gráfica se desplaza hacia arriba y a la derecha o hacia abajo y a la izquierda, lo que complica la representación gráfica manual de esta forma.
Ahora que sabes más sobre la forma estándar de las funciones cuadráticas, pasemos a ver cómo puede ayudarnos esta forma a representar gráficamente las cuadráticas.
Graficar cuadráticas en forma estándar
Antes de repasar las gráficas de funciones cuadráticas en forma estándar, aprenderás más sobre conceptos cruciales que son esenciales para graficar perfectamente nuestras cuadráticas.
Empecemos por la Apertura de una parábola.
Apertura de una parábola
Con referencia a la forma estándar de una función cuadrática, exploraremos ahora los efectos de variar cada una de las constantes, \(a\), \(h\) y \(k\), individualmente.
La constante \(a\) tiene dos efectos sobre la parábola de una función cuadrática, el primero de los cuales es la dilatación, es decir, la expansión o contracción de la parábola según su valor absoluto. Verás más sobre esto en el apartado Dilatación.
El segundo efecto consiste en definir la dirección de apertura de la parábola según su signo:
Si \(a\) es positivo, \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba;
Si \(a\) es negativo, \(a>0\), la parábola se abre hacia abajo.
Los efectos que tiene el signo de \(a\) en la apertura de una parábola se pueden ver en la figura 2.
Fig. 2 - Efectos del signo de \(a\). Izquierda: \(a\) positivo abre hacia arriba. Derecha: \(a\) negativo abre hacia abajo.
Observa que un valor de \(a\) de \(0\) da como resultado una recta horizontal:
\[\iniciar{alinear} f(x)&=0(x-h)^2+k \\f(x)&=k \final{alinear}]
Considerando la función cuadrática \[f(x)=(x-3)^2+4,\] entonces su parábola se abrirá hacia arriba ya que el valor de \(a\) es positivo \((a=1)\).
Ahora que ya conoces el efecto del valor de \(a\) en la apertura de una parábola, pasemos a la Traslación.
Traslación
Veamos ahora los efectos de traslación de las constantes \(h\) y \(k\) en las parábolas.
En primer lugar, vamos a introducir un componente importante de las parábolas. El conocimiento de este componente te ayudará a controlar mejor las traslaciones efectuadas por esas constantes.
El vértice de una parábola es su punto más bajo o más alto, situado en \((h,k)\).
A este punto también se le llama punto de inflexión.
Aquí tienes un ejemplo rápido para familiarizarte con este término.
Considerando la misma función anterior \[f(x)=(x-3)^2+4,\] ahora su vértice estaría situado en \((3,4)\).
Ahora podemos pasar al efecto de \(h\) y \(k\) en las gráficas cuadráticas, o parábolas.
Empecemos por ver cómo el valor de \(h\), en el término \((x-h)\) de la forma estándar, representa una traslación horizontal (o desplazamiento) de una parábola.
Un valor de \(h\) positivo, \(h>0\) desplazará la gráfica \(h\) unidades a la derecha del origen;
Un valor \(h\) negativo, \(h<0\) desplazará la gráfica \(h\) unidades a la izquierda del origen.
Examinemos la figura 3 para ver cómo funcionaría esto.
En primer lugar, observa que la forma estándar contiene \((x-h)\), no \((x+h)\).
Esto significa que \((x+5)\) será en realidad un desplazamiento de la parábola azul 5 unidades a la izquierda respecto a la parábola roja, ya que equivale a \(( x-(-5))\).
Del mismo modo, \((x-5)\) desplazará la parábola azul 5 unidades a la derecha de la parábola verde.
En segundo lugar, observa que estas traslaciones no afectaron a la forma de la parábola azul; sólo desplazaron todos sus puntos hacia la izquierda (verde) o hacia la derecha (rojo).
Así que puedes centrarte en trasladar el vértice de la parábola azul, \((0,0)\), 5 unidades a la izquierda, \((-5,0)\), o 5 unidades a la derecha, \((5,0)\), y dibujar la parábola igual que la inicial.
Ahora, igual que \(h\) representa una traslación horizontal, \ (k\) representa una traslación vertical.
Una \(k\) positiva, \(k>0\), desplazará la gráfica \(k\) unidades hacia arriba desde el origen;
Un\(k\) negativo, \(k<0\), desplazará el gráfico \(k\) unidades hacia abajo desde el origen.
Este principio se ejemplifica en la figura 4.
Fig. 4 - Traslaciones verticales de \(k\) sobre \(x^2\).
Prueba algún programa informático como desmos y experimenta con gráficas cuadráticas cambiando sus constantes para comprender mejor cómo funcionan.
Aquí, el signo de \(k\) te dice exactamente hacia dónde mover la parábola.
Para \(k=5\), la parábola azul se desplaza 5 unidades hacia arriba, hacia la parábola verde, y para \(k=-5\), la parábola azul se desplaza 5 unidades hacia abajo, hacia la parábola roja.
De nuevo, sólo tienes que centrarte en trasladar el vértice de la parábola azul, \((0,0)\), 5 unidades hacia arriba, \((0,)\), o 5 unidades hacia abajo, \((0,-5)\), y luego dibujar la parábola igual que la inicial.
Ahora que hemos aprendido más sobre el efecto del valor de \(h\) y \(k\) en el desplazamiento horizontal y vertical de la parábola desde el origen, estamos preparados para explorar el último concepto de Dilatación.
Dilatación
Veamos ahora el efecto de dilatación que \(a\) puede tener sobre las parábolas.
Un valor absoluto de \(a\) mayor que \(1\), \(|a|>1\), contrae una parábola, acercándola al eje \(y-\);
Un valor absoluto de \(a\) menor que \(1\), \(0<|a|<1\), dilata (o expande) una parábola, alejándola del eje \(y-\).
Una vez más, examinemos esta transformación con la figura 5.
Para un valor de \(a\) de \(10\) (valor absoluto mayor que 1), la parábola azul se contrae a la parábola verde, acercándola al eje \(y-\). En cambio, para un valor de \(a\) de \(0,1\) (valor absoluto superior a 0 e inferior a 1), la parábola azul se dilata hacia la parábola roja, alejándola del eje \(y-\)y.
Una vez comprendidas las transformaciones que las constantes \(a\), \(h\) y \(k\) tienen sobre las gráficas cuadráticas, ¡ya estás preparado para trazar una gráfica cuadrática desde cero!
Graficación de funciones cuadráticas
Resumiremos el procedimiento de representación gráfica siguiendo los pasos que se indican a continuación.
Paso 1. Hallar las coordenadas del vértice.
Para pasar de una ecuación en forma estándar a una gráfica, puedes empezar por hallar las coordenadas del vértice.
Como has visto antes, dado que las traslaciones desplazan toda la gráfica desde su posición inicial, puedes utilizar el vértice como punto de referencia para controlar el desplazamiento de toda la gráfica. Y esto es así porque la forma de la gráfica sigue siendo la misma.
Por tanto, para una función \[f(x)=a(x-h)^2+k,\] la coordenada \(x\)-del vértice es \(h\) y la coordenada \(y\) es \(k\).
Por tanto, las coordenadas del vértice son \((h,k)\).
Paso 2. Determina la apertura de la gráfica, y si hay dilatación (o contracción).
El siguiente paso es determinar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo. Esto viene determinado por el valor de \(a\):
- Si \(a>0\), la gráfica se abre hacia arriba;
- Si \(a<0\), la gráfica se abre hacia abajo.
Examina también si hay dilatación o contracción:
Un valor absoluto de \(a\) mayor que \(1\), \(|a|>1\), el gráfico se contrae;
Un valor absoluto de \(a\) menor que \(1\), \(0<|a|<1\), el gráfico se dilata (o expande).
Paso 3. Determina los interceptos \(x-\) y \(y-\).
El último paso antes de dibujar la gráfica es determinar los interceptos \(x-\) y \(y-\)-.
- Los interceptos \( x-\)se determinan poniendo \(y\), o \(f(x)\), a cero y resolviendo para \(x\), es decir, \[y=0 \text{ o } f(x)=0.\] La solución de esta ecuación (o soluciones, si las hay) serán las coordenadas \(x-\)de los interceptos \(x-\);
- La intersección \(y-\) puede hallarse poniendo \(x\) a cero y resolviendo para \(y-\), es decir, \ [f(0)=a(0-h)^2+k. \] La respuesta será la coordenada \(y-\)de la intersección \(y-\).
Por último, al dibujar, asegúrate de que pasas por todas las intersecciones de la gráfica y por el vértice. Marca estas coordenadas en tu gráfica.
Ahora pasamos a la parte práctica de esta explicación, ¡pongamos un ejemplo!
Ejemplos de gráficas cuadráticas
¿Cómo dibujar ecuaciones cuadráticas?
Primero trataremos un ejemplo que nos muestra cómo dibujar gráficas de ecuaciones cuadráticas.
Dibuja la gráfica de la siguiente cuadrática,\[y=(x-2)^2-3.\]
Solución
Paso 1. Determina las coordenadas del vértice.
Sabemos que el vértice es \((h,k)\) que es, por tanto, \((2,-3)\).
Paso 2. Determina la abertura de la parábola, y si hay dilatación.
Aquí observamos que \(a=1\) y como ésta es positiva la gráfica se estará abriendo hacia arriba. Además como \(a=1\) no hay contracción ni dilatación.
Paso 3. Determina los interceptos.
Resolvemos nuestra intersección \(y-\) fijando \(x=0\):\[\begin{align}y&=(x-2)^2-3\\} \&=(-2)^2-3\} \\&=4-3\} \\&=1\}end{align}]Por tanto, nuestra intersección \(y-\) está situada en \((0,1)\}.
Nuestros interceptos \(x-\)se pueden hallar fijando \(y\) en 0. Esto nos lleva a los interceptos \(x-\)de la siguiente manera:\[\begin{align}0&=(x-2)^2-3\\ \pm \sqrt{3}+2&=x \\ \\\\\\}por lo tanto x&= 3.73 \mbox{ y } 0,27\end{align}\}]Esto significa que nuestros interceptos \(x-\)están situados en \((0,27,0)\) y \((3,73,0)\). Si dibujáramos todos estos puntos, obtendríamos la siguiente gráfica.
Fig.6 - Gráfica del croquis de la cuadrática \(y=(x-2)^2-3\)
Ahora te preguntarás, ¿existen las desigualdades cuadráticas? y si la respuesta es sí, ¿cómo las graficamos?
Pues bien, las desigualdades cuadráticas se definen como se definen todas las desigualdades, con los signos de desigualdad \(>, \ge, <, \le\).
En el siguiente apartado aprenderemos más sobre ellas y sus gráficas.
Gráfica de las desigualdades cuadráticas
Tienen las mismas expresiones cuadráticas que las parábolas, salvo que tienen un signo de desigualdad en lugar de un signo igual. Esto significa que las traslaciones y contracciones/dilataciones funcionan igual que con las funciones cuadráticas anteriores.
Hay algunos elementos que aprender que son exclusivos de las desigualdades.
El primero se refiere a la recta de la gráfica, que puede ser punteada o continua, según la dirección del signo de desigualdad:
para las desigualdades \(\ge\) y \(\le\), la línea de la parábola será continua;
para las desigualdades \(>\)y \(<\), la línea será punteada.
A continuación, debes determinar si la zona sombreada (donde se cumple la inecuación) estará por encima o por debajo de la función. Esto, una vez más, depende de la dirección del signo de la desigualdad:
para los signos \(>\) y \(\ge\), la zona sombreada estará por encima de la curva trazada por la parábola;
para los signos \(<\) y \(\le\), el área estará por debajo de la curva.
Esta información puede resumirse en la tabla siguiente.
| Área por encima de la curva | Área por debajo de la curva | |
| Línea de puntos | \(>\) | \(<\) |
| Línea continua | \(\ge\) | \(\le\) |
Aunque el método utilizado en esta explicación es en el que la desigualdad es cierta, podrías sombrear el área del otro lado siempre que especifiques (que siempre debes hacerlo) qué representa el área sombreada.
Las siguientes gráficas muestran algunos ejemplos.
En la figura 7 vemos el área y las líneas para las desigualdades \(y >x^2\) y \(y\ge x^2\).
La figura 8 muestra el área y las líneas de las desigualdades \(y<x^2\) y \(y\le x^2\).
Fig. 8 - Gráfico que muestra las condiciones en las que la izquierda \(y <x^2\) y derecha: \(y\le x^2\).
Las imágenes contienen gráficas en las que la zona sombreada representa dónde se cumple la ecuación.
Aunque estas gráficas no tienen contracciones ni traslaciones verticales y/u horizontales, funcionarían exactamente igual que con cualquier gráfica cuadrática.
Ahora pasamos a un ejemplo de graficación de inecuaciones cuadráticas.
¿Cómo dibujar inecuaciones cuadráticas?
Pasamosahora a un ejemplo que nos muestra cómo dibujar gráficas de inecuaciones cuadráticas.
Dibuja la gráfica de la siguiente desigualdad \[y<3(x+5)^2.\]
Solución
El primer paso es escribir la ecuación cuadrática,
\y=3(x+5)^2.\]
A continuación, procedemos como en el caso de las gráficas cuadráticas para ecuaciones. Podemos determinar el vértice, la abertura y los interceptos.
Determinar el vértice.
El vértice de esta cuadrática será \((-5,0)\).
Determinala abertura.
Como \(a=3\) es positivo, la gráfica se abrirá hacia arriba.
Determina los interceptos.
Como no hay traslación vertical para esta función, su vértice será su única intercepción \(x-\)intercepción.
Resolviendo la intercepción \(y-\)dejando que \(x=0\):\[\(y)&=3(5)^2\(y)&=75(y)&=75(y)&].
Por tanto, la intercepción \(y-\) es \((0,75).\)
Si dejamos que el área sombreada sea el área donde se cumple la ecuación, la parte sombreada estará por debajo de la curva. Ahora podemos representar gráficamente la desigualdad con una línea de puntos, incluyendo todos los puntos conocidos.
Fig. 9 - Gráfico que muestra un esbozo de la desigualdad \(y<3(x+5)^2\).
¿Cómo determinar la función de una gráfica cuadrática?
Para pasar de una gráfica a una ecuación en forma estándar, necesitarás el vértice y cualquier otro punto de la curva.
El primer paso es hallar los valores de \(h\) y \(k\) del vértice, simplemente sustituyendo estas coordenadas en la ecuación del vértice.
A continuación, el valor de \(a\) puede resolverse sustituyéndolo por cualquier otro punto conocido de la curva.
Si la función es una desigualdad, el signo puede determinarse mediante la colocación de la zona sombreada y el tipo de recta.
Determina la ecuación de la siguiente gráfica,
Fig. 10 - Gráfica a partir de la cual calcular la función.
Solución
A partir de la gráfica, se observa que el vértice es \((3,-5)\). Sustituyendo estos valores en la ecuación de la forma estándar \[f(x)=a(x-3)^2-5\]
Para resolver \(a\), podemos sustituir las coordenadas \((0,13)\):\[\begin{align}13&=a(0-3)^2-5\\ \\18&=9a\ {align}\2&=a\final{align}\}].
Por tanto, la ecuación de la gráfica es:\[f(x)=2(x-3)^2-5.\]
Gráficas cuadráticas - Puntos clave
- En la forma estándar, hay tres constantes que afectan al aspecto de una parábola.
- Determinando los interceptos y el vértice, podemos pasar de una ecuación a una gráfica de una cuadrática.
- Con el vértice y otro punto de una cuadrática, podemos resolver la ecuación que tiene una gráfica.
- El signo de una desigualdad determina dónde está la zona sombreada.
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