Ejemplo de trayectoria de una pelota
La pelota comienza su recorrido desde el punto A, donde va cuesta arriba. Después alcanza la cima de la colina y rueda hacia abajo hasta el punto B, donde se encuentra con una zanja. Al pie de la zanja, la pelota continúa de nuevo cuesta arriba hasta el punto C.
Observa ahora la curva que hace el movimiento de esta bola. ¿No te recuerda a la gráfica de una función cúbica? Así es, ¡lo es! En esta lección, conocerás las funciones cúbicas y los métodos para representarlas gráficamente.
Definición de una función cúbica
Para empezar, estudiaremos la definición de una función cúbica.
Una función cúbica es una función polinómica de grado tres. En otras palabras, la mayor potencia de \(x\) es \(x^3\).
La forma estándar se escribe como
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\]
donde \(a,\ b,\ c\) y \(d\) son constantes y \(a ≠ 0\).
He aquí algunos ejemplos de funciones cúbicas.
Ejemplos de funciones cúbicas son
\[f(x)=x^3-2,\\]
\[g(x)=-2x^3+3x^2-4x,\]
\[h(x)=\frac{1}{2}x^3+4x-1.\]
Observa cómo todas estas funciones tienen \(x^3\) como potencia máxima.
Como muchas otras funciones que habrás estudiado hasta ahora, una función cúbica también merece su propia gráfica.
Una gráfica cúbica es una representación gráfica de una función cúbica.
Antes de este tema, has visto gráficas de funciones cuadráticas. Recuerda que son funciones de grado dos (es decir, la mayor potencia de \(x\) es \(x^2\)). Hemos aprendido que tales funciones crean una curva en forma de campana llamada parábola y producen al menos dos raíces.
¿Y qué pasa con la gráfica cúbica? En elsiguiente apartado compararemos las gráficas cúbicas con las cuadráticas.
Características de las gráficas cúbicas frente a las cuadráticas
Antes de comparar estas gráficas, es importante establecer las siguientes definiciones.
Eleje de simetría de una parábola (curva) es una línea vertical que divide la parábola en dos mitades congruentes (idénticas).
El punto de simetría de una parábola se llama el punto central en el que
- la curva se divide en dos partes iguales (que están a la misma distancia del punto central);
- ambas partes están orientadas en direcciones diferentes.
La tabla siguiente ilustra las diferencias entre la gráfica cúbica y la gráfica cuadrática.
Propiedad | Gráfica cuadrática | Gráfica cúbica |
Ecuación básica | \y=x^2\] | \[y=x^3\] |
Gráfica básica |
Gráfica básica de la función cuadrática El eje de simetría gira en torno al origen (0,0) |
Gráfica básica de la función cúbica El punto de simetría está alrededor del origen (0,0) |
Número de raíces(Por Teorema Fundamental del Álgebra) | 2 soluciones | 3 soluciones |
Dominio | Conjunto de todos los números reales | Conjunto de todos los números reales |
Rango | Conjunto de todos los números reales | Conjunto de todos los números reales |
Tipo de función | Par | Impar |
Eje de simetría | Presente | Ausente |
Punto de Simetría | Ausente | Presente |
Uno: puede ser un valor máximo o mínimo, según el coeficiente de \(x^2\) | Cero: indica que la raíz tiene una multiplicidad de tres (el gráfico cúbico básico no tiene puntos de inflexión, ya que la raíz x = 0 tiene una multiplicidad de tres, x3 = 0) | |
O | ||
Dos: indica que la curva tiene exactamente un valor mínimo y un valor máximo |
Gráfica de funciones cúbicas
A continuación nos introduciremos en la representación gráfica de funciones cúbicas. Hay tres métodos a tener en cuenta a la hora de trazar este tipo de funciones, a saber
Transformación;
Factorización;
Construcción de una tabla de valores.
Teniendo esto en cuenta, veamos cada técnica en detalle.
Transformación de gráficas de funciones cúbicas
En Geometría, una transformación es un término utilizado para describir un cambio de forma. Del mismo modo, este concepto puede aplicarse en el trazado de gráficos. Alterando los coeficientes o constantes de una determinada función cúbica, puedes variar la forma de la curva.
Volvamos a nuestra gráfica básica de la función cúbica, \(y=x^3\).
Gráfica básica de un polinomio cúbico
Podemos transformar esta gráfica de tres formas. Se describen en la tabla siguiente.
Forma del polinomio cúbico | Cambio de valor | Variaciones | Trazado de la gráfica |
\[y=\mathbf{a}x^3\] | Variando \(a\) cambia la función cúbica en la dirección y, es decir, el coeficiente de \(x^3\) afecta al estiramiento vertical de la gráfica. |
Al hacerlo, la gráfica se acerca más al eje y y aumenta la pendiente.
|
Transformación: cambio del coeficiente a |
\[y=x^3+\mathbf{k}\] | Variar \(k\ ) desplaza la función cúbica hacia arriba o hacia abajo en el eje y en \ (k\) unidades |
|
Transformación: cambio de la constante k |
\[y=(x-\mathbf{h})^3\] | Variando \ (h\) cambia la función cúbica a lo largo del eje x en \ (h\) unidades. |
|
Transformación: cambio de la constante h |
Utilicemos ahora esta tabla como clave para resolver los siguientes problemas.
Traza la gráfica de
\y=-4x^3-3.\]
Solución
Paso 1: El coeficiente de \(x^3\) es negativo y tiene un factor de 4. Por tanto, esperamos que la función cúbica básica esté invertida y tenga más pendiente que en el esbozo inicial.
Paso 1, Ejemplo 1
Paso 2: El término -3 indica que la gráfica debe moverse 5 unidades hacia abajo en el eje \(y\)-. Así, tomando nuestro esbozo del Paso 1, obtenemos la gráfica de \(y=-4x^3-3\) como:
Paso 2, Ejemplo 1
He aquí otro ejemplo trabajado.
Traza la gráfica de
\y=(x+5)^3+6.\]
Solución
Paso 1: El término \((x+5)^3\) indica que la gráfica cúbica básica se desplaza 5 unidades a la izquierda del eje x.
Paso 1, Ejemplo 2
Paso2: Por último, el término +6 nos indica que la gráfica debe desplazarse 6 unidades hacia arriba en el eje y. Por tanto, tomando nuestro esquema del Paso 1, obtenemos la gráfica de \(y=(x+5)^3+6\) como:
Paso 2, Ejemplo 2
Forma de vértice de las funciones cúbicas
A partir de estas transformaciones, podemos generalizar el cambio de coeficientes \(a, k\) y \(h\) por el polinomio cúbico
\[y=a(x-h)^3+k.\]
Esto se conoce como laforma de vértice de las funciones cúbicas. Recuerda que se parece a la forma de vértice de las funciones cuadráticas. Observa que la variación de \(a, k\) y \(h\) sigue el mismo concepto en este caso. La única diferencia es que la potencia de \((x - h)\) ¡es 3 en lugar de 2!
Factorización
En álgebra, la factorización es una técnica utilizada para simplificar expresiones largas. Podemos adoptar la misma idea para graficar funciones cúbicas.
Este método consta de cuatro pasos.
Paso 1: Factoriza la función cúbica dada.
Si la ecuación tiene la forma \(y=(x-a)(x-b)(x-c)\), podemos pasar al siguiente paso.
Paso 2: Identifica las intersecciones de \(x\)fijando \(y=0\).
Paso 3: Identifica la intersección \(y\)fijando \(x=0\).
Paso 4: Traza los puntos y dibuja la curva.
Aquí tienes un ejemplo práctico de este método.
Factorizar requiere mucha práctica. Hay varias formas de factorizar funciones cúbicas dadas, simplemente observando ciertos patrones. Para facilitarte esa práctica, vamos a hacer varios ejercicios.
Traza la gráfica de
\[y=(x+2)(x+1)(x-3).\]
Solución
Observa que la función dada se ha factorizado completamente. Por tanto, podemos saltarnos el Paso 1.
Paso 2: Hallar las intersecciones x
Fijando \(y=0\), obtenemos \((x+2)(x+1)(x-3)=0\).
Resolviendo esto, obtenemos tres raíces, a saber
\[x=-2,\ x=-1,\ x=3\]
Paso 3: Hallar la intersección y
Introduciendo \(x=0\), obtenemos
\[y=(0+2)(0+1)(0-3)=(2)(1)(-3)=-6\]
Por tanto, la intersección y es \(y=-6\).
Paso 4: Dibuja la gráfica
Como ya hemos identificado las intersecciones \(x\) y \(y\), podemos trazarlas en la gráfica y dibujar una curva que una estos puntos.
Gráfica del ejemplo 3
Los puntos rosas representan las intersecciones \(x\).
El punto amarillo representa la intersección \(y).
Observa que obtenemos dos puntos de inflexión para esta gráfica
- un valor máximo entre las raíces \(x=-2\) y \(x=1\). Esto se indica con el punto verde .
- un valor mínimo entre las raíces \(x=1\) y \(x=3\). Lo indica el punto azul .
El valor máximo es el valor más alto de \(y\) que toma la gráfica. El valor mínimo es el menor valor de \(y\) que toma la gráfica.
Veamos otro ejemplo.
Traza la gráfica de
\[y=(x+4)(x^2–2x+1).\]
Solución
Paso 1: Observa que el término \(x^2-2x+1\) se puede factorizar en un cuadrado de binomio. Podemos utilizar la fórmula siguiente para factorizar ecuaciones cuadráticas de esta naturaleza.
Un binomio es un polinomio con dos términos.
El cuadrado de un binomio
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Utilizando la fórmula anterior, obtenemos \((x-1)^2\).
Así, el polinomio cúbico dado se convierte en
\[y=(x+4)(x-1)^2\]
Paso 2: Fijando \(y=0\), obtenemos
\[(x+4)(x-1)^2=0\]
Resolviendo esto, tenemos la raíz simple \(x=-4\) y la raíz repetida \(x=1\).
Observa que \(x=1\) tiene una multiplicidad de 2.
Paso 3: Si enchufamos \(x=0\), obtenemos
\[y=(0+4)(0–1)^2=(4)(1)=4\]
Por tanto, la intersección y es \(y=4\).
Paso 4: Trazando estos puntos y uniendo la curva, obtenemos la siguiente gráfica.
Gráfica del ejemplo 4
Los puntosrosas de representan la intersección \(x\)-.
El punto azul es la otra intersección \(x\)-, que también es el punto de inflexión (para más aclaraciones, consulta más abajo).
El puntoamarillo representa la intersección \(y\)-.
De nuevo, obtenemos dos puntos de inflexión para esta gráfica
- un valor máximo entre las raíces \(x=-4\) y \(x=1\). Esto se indica con el punto verde .
- un valor mínimo en \(x=1\). Lo indica el punto azul .
En este caso, como tenemos una raíz repetida en \(x=1\), el valor mínimo se conoce como punto de inflexión. Observa que desde la izquierda de \(x=1\), la gráfica se mueve hacia abajo, lo que indica una pendiente negativa, mientras que desde la derecha de \(x=1\), la gráfica se mueve hacia arriba, lo que indica una pendiente positiva.
Un punto de inflexión es un punto de la curva en el que ésta cambia de pendiente ascendente a descendente o de pendiente descendente a ascendente.
Construcción de una tabla de valores
Antes de empezar con este método de representación gráfica, presentaremos el Principio de Localización.
El principio de localización
Supongamos que \(y = f(x)\) representa una función polinómica. Sean \(a\) y \(b\) dos números del dominio de \(f\) tales que \(f(a) < 0\) y \(f(b) > 0\). Entonces la función tiene al menos un cero real entre \(a\) y \(b\).
El Principio de Localización nos ayudará a determinar las raíces de una función cúbica dada, ya que no estamos factorizando explícitamente la expresión. Para esta técnica, utilizaremos los siguientes pasos.
Paso1: Evalúa \(f(x)\) para un dominio de \(x\) valores y construye una tabla de valores (sólo consideraremos valores enteros);
Paso 2: Localiza los ceros de la función;
Paso 3: Identifica los puntos máximo y mínimo;
Paso 4: Traza los puntos y esboza la curva.
Este método de representación gráfica puede resultar algo tedioso, ya que necesitamos evaluar la función para varios valores de \(x\). Sin embargo, esta técnica puede ser útil para estimar el comportamiento de la gráfica en determinados intervalos.
Observa que en este método no es necesario que resolvamos completamente el polinomio cúbico. Simplemente graficamos la expresión utilizando la tabla de valores construida. El truco consiste en calcular varios puntos de una función cúbica dada y trazarla en una gráfica que luego uniremos para formar una curva suave y continua.
Grafica la función cúbica
\[f(x)=2x^3+5x^2-1.\]
Solución
Paso 1: Evaluemos esta función entre el dominio \(x=-3\) y \(x=2\). Construyendo la tabla de valores, obtenemos el siguiente rango de valores para \(f(x)\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -3 | -10 |
| -2 | 3 |
| -1 | 2 |
| 0 | -1 |
| 1 | 6 |
| 2 | 35 |
Paso 2: Observa que entre \(x=-3\) y \(x=-2\) el valor de \(f(x)\) cambia de signo. El mismo cambio de signo se produce entre \( x=-1\) y \(x=0\). Y de nuevo entre \( x=0\) y \(x=1\).
El Principio de Localización indica que hay un cero entre estos dos pares de valores de \(x\)-.
Paso 3: Observamos primero el intervalo entre \(x=-3\) y \(x=-1\). El valor de \(f(x)\) en \(x=-2\ ) parece ser mayor en comparación con sus puntos vecinos. Esto indica que tenemos un máximo relativo.
Del mismo modo, observa que el intervalo entre \(x=-1\) y \(x=1\) contiene un mínimo relativo, ya que el valor de \(f(x)\) en \(x=0\) es menor que el de sus puntos vecinos.
Utilizamos aquí el término máximo o mínimo relativo, ya que sólo estamos adivinando la ubicación del punto máximo o mínimo dada nuestra tabla de valores.
Paso 4: Ahora que tenemos estos valores y hemos concluido el comportamiento de la función entre este dominio de \(x\), podemos esbozar la gráfica como se muestra a continuación.
Gráfica del ejemplo 5
Los puntos rosas representan las intersecciones de \(x\).
El punto verde representa el valor máximo.
El punto azul representa el valor mínimo.
Ejemplos de gráficas de funciones cúbicas
En este apartado final, vamos a ver algunos ejemplos más trabajados en los que intervienen los componentes que hemos aprendido a lo largo de las gráficas de funciones cúbicas.
Traza la gráfica de
\[y=x^3-7x-6\]
dado que \(x=-1\) es una solución de este polinomio cúbico.
Solución
Paso 1: Por el Teorema del Factor, si \(x=-1\) es una solución de esta ecuación, entonces \((x+1)\) debe ser un factor. Así, podemos reescribir la función como
\[y=(x+1) (ax^2+bx+c)\].
Ten en cuenta que, en la mayoría de los casos, puede que no nos den ninguna solución para un polinomio cúbico dado. Por lo tanto, tenemos que hacer pruebas de ensayo y error para encontrar un valor de \(x\) en el que el resto sea cero al resolver \(y\). Los valores comunes de \(x\) que se pueden probar son 1, -1, 2, -2, 3 y -3.
Para hallar los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c\), debemos realizar la división sintética como se muestra a continuación.
División sintética del Ejemplo 6
Observando los tres primeros números de la última fila, obtenemos los coeficientes de la ecuación cuadrática y, por tanto, nuestro polinomio cúbico dado se convierte en
\y=(x+1)(x^2-x-6)\].
Podemos factorizar aún más la expresión \(x^2-x-6\) como \((x-3)(x+2)\).
Así, la forma factorizada completa de esta función es
\[y=(x+1)(x–3)(x+2)\]
Paso 2: Fijando \(y=0\), obtenemos
\[(x+1)(x–3)(x+2)=0\]
Resolviendo esto, obtenemos tres raíces
\[x=-2,\ x=-1,\ x=3\]
Paso 3: Enchufando \(x=0\), obtenemos
\[y = (0 + 1) (0 - 3) (0 + 2) = (1) (-3) (2) = -6\]
Por tanto, la intersección y es \(y = -6\).
Paso 4: A continuación se esboza la gráfica de este polinomio cúbico dado.
Gráfica del Ejemplo 6
Los puntos rosas representan las intersecciones \(x\).
El punto amarillo representa la intersección \(y\).
Una vez más, obtenemos dos puntos de inflexión para esta gráfica
- un valor máximo entre las raíces \(x = -2\) y \(x = -1\). Esto se indica con el punto verde .
- un valor mínimo entre las raíces \(x = -1\) y \(x = 3\). Lo indica el punto azul .
He aquí nuestro último ejemplo para este debate.
Traza la gráfica de
\[y=-(2x–1)(x^2–1).\]
Solución
En primer lugar, observa que hay un signo negativo delante de la ecuación anterior. Esto significa que la gráfica adoptará la forma de un polinomio cúbico invertido (estándar). En otras palabras, esta curva se abrirá primero hacia arriba y luego hacia abajo.
Paso 1: Primero observamos que el binomio \((x^2-1)\) es un ejemplo de binomio cuadrado perfecto.
Podemos utilizar la fórmula siguiente para factorizar ecuaciones cuadráticas de esta naturaleza.
El binomio cuadrado perfecto
\[(a^2-b^2)^2=(a+b)(a-b)\]
Utilizando la fórmula anterior, obtenemos \((x+1)(x-1)\).
Así, la forma factorizada completa de esta ecuación es
\[y = - (2x - 1)(x + 1) (x - 1)\]
Paso 2: Fijando \(y=0\), obtenemos
\[(2x-1)(x+1)(x-1)=0\]
Resolviendo esto, obtenemos tres raíces
\[x=-1,\ x=\frac{1}{2},\ x=1\]
Paso 3: Si enchufamos \(x=0\), obtenemos
\[y=-(2(0)-1)(0+1)(0-1)=-(-1)(1)(-1)=-1\]
Por tanto, la intersección y es \(y=-1\).
Paso 4: A continuación se esboza la gráfica de este polinomio cúbico dado. ¡Ten cuidado y recuerda el signo negativo de nuestra ecuación inicial! Aquí se invertirá la gráfica cúbica.
Gráfica del ejemplo 7
Los puntos rosas representan las intersecciones \(x\)-.
El punto amarillo representa la intersección \(y\)-.
En este caso, obtenemos dos puntos de inflexión para esta gráfica
- un valor mínimo entre las raíces \(x = -1\) y \(x=frac{1}{2}\). Esto se indica con elpuntoverde .
- un valor máximo entre las raíces \ (x=\frac{1}{2}\) y \(x = 1\). Lo indica el punto azul .
Gráficas de funciones cúbicas - Puntos clave
- Una gráfica cúbica tiene tres raíces y dos puntos de inflexión
- Esbozo por transformación de gráficas cúbicas
Forma del polinomio cúbico Descripción Cambio de valor y = ax3
Variando a cambia la función cúbica en la dirección y - Si a es grande (> 1), la gráfica se estira verticalmente
- Si a es pequeño (0 < a < 1), la gráfica se aplana
- Si a es negativo, la gráfica se invierte
y = x3 + k
Variar k desplaza la función cúbica hacia arriba o hacia abajo del eje y en k unidades - Si k es negativo, la gráfica se desplaza hacia abajo k unidades
- Si k es positivo, la gráfica sube k unidades
y = (x - h)3
Variando h cambia la función cúbica a lo largo del eje x en h unidades - Si h es negativo, la gráfica se desplaza h unidades a la izquierda
- Si h es positivo, la gráfica se desplaza h unidades a la derecha.
- Gráfica por factorización de polinomios cúbicos
- Factoriza el polinomio cúbico dado
- Identifica los intersticios \(x\)-poniendo \(y = 0\)
- Identifica la intersección \(y) fijando \(x = 0\)
- Traza los puntos y dibuja la curva
- Traza construyendo una tabla de valores
- Evalúa \(f(x)\) para un dominio de \(x\) valores y construye una tabla de valores
- Localiza los ceros de la función
- Identifica los puntos máximo y mínimo
- Traza los puntos y dibuja la curva
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