Gráficas de Funciones Trigonométricas

Encuentra las soluciones de $\sin \left(x\right)=0.9$, para el intervalo $0°\le x\le 360°$.

Solución:

El primer paso es dibujar la gráfica de $y=\sin \left(x\right)$ y de $y=0.9$ en el mismo eje para el intervalo $0°\le x\le 360°$.

Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de sen(x)=0,9, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Los puntos de intersección se han etiquetado en naranja como 1 y 2, éstas son las soluciones de las que buscamos encontrar los valores exactos.

El segundo paso consiste en hallar el valor exacto de la solución inicial. Esto se puede hacer escribiendo ${\sin }^{-1}(0.9)$ en nuestra calculadora. Al hacerlo, obtenemos $x=64.2°$. Ésta es claramente la primera solución etiquetada en el diagrama, ya que se encuentra entre $0°$y $90°$.

Es importante tener en cuenta que tu calculadora debe estar en modo grados cuando calcules valores trigonométricos, ya que estamos trabajando en grados. Si tu calculadora está en modo radianes, la respuesta puede variar y, por tanto, puedes obtener una respuesta incorrecta. Sabrás que tu calculadora está en modo grados cuando aparezca una pequeña D en la parte superior de la pantalla. Si ves una R o cualquier otra letra, está en el modo incorrecto y hay que cambiarla.

El siguiente paso es encontrar la otra solución utilizando la propiedad simétrica de la gráfica de sen(x). Si nos fijamos, la gráfica es simétrica sobre id="5231176" role="math" $x=90°$. Por tanto, podemos hallar la segunda solución calculando la distancia entre $64.2°$ y $90°$y sumando este valor a $90°$. Esto puede ilustrarse en el diagrama siguiente:

Gráficas de funciones trigonométricas - Gráfica de las soluciones de sen(x)=0,9, Jordan Madge - StudySmarter Originals

Como la distancia entre $64.2°$ y $90°$ es $25.8°$la segunda solución es id="5231177" role="math" $90+25.8=115.8°$. Por tanto, las dos soluciones de la ecuación $\sin \left(x\right)=0.9$ en el intervalo $0°\le x\le 360°$ son id="5231178" role="math" $x=64.2°$ y id="5231179" role="math" $x=115.8°$.

Encuentra las soluciones de $\cos \left(x\right)=-0.2$ para el intervalo $-180°\le x\le 180°$.

Solución:

El primer paso es dibujar las gráficas de $y=\cos \left(x\right)$ y id="5231180" role="math" $y=-0.2$ en los mismos ejes para el intervalo $-180°\le x\le 180°$ para que podamos ver las soluciones que intentamos encontrar.

Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de cos(x)=-0,2, Jordan Madge- StudySmarter Originals

El siguiente paso es encontrar la solución inicial escribiendo ${\cos }^{-1}(-0.2)$ en nuestra calculadora. Obtenemos id="5231181" role="math" $x=101.5°$. Claramente, ésta es la solución etiquetada como 2 en el diagrama, ya que es un poco mayor que id="5231186" role="math" $90°$ pero menor que id="5231187" role="math" $180°$.

Ahora tenemos que encontrar la otra solución representada en el diagrama. Como la gráfica de $\cos \left(x\right)$ es simétrica respecto a la recta $x=0$podemos ver que la otra solución debe estar en id="5231182" role="math" $x=-101.5°$. Por tanto, las dos soluciones de id="5231183" role="math" $\cos \left(x\right)=-0.2$ en el intervalo $-180°\le x\le 180°$ son id="5231185" role="math" $x=101.5°$ y id="5231184" role="math" $x=-101.5°$.

Encuentra las soluciones de $\tan \left(x\right)=2.3$ para el intervalo $0°\le x\le 360°$.

Solución:

El primer paso, como siempre, es dibujar las gráficas $y=\tan \left(x\right)$ y id="5231188" role="math" $y=2.3$ en los mismos ejes para el intervalo $0°\le x\le 360°$.

Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de tan(x)=2,3, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Podemos ver que hay dos puntos de intersección y, por tanto, dos soluciones de $\tan \left(x\right)=2.3$. La primera solución se puede encontrar escribiendo id="5231189" role="math" ${\tan }^{-1}(2.3)$ en nuestra calculadora. Al hacerlo, obtenemos id="5231190" role="math" $x=66.5°$Ésta es claramente la primera solución, ya que se encuentra entre $0$ y $90$ grados.

La gráfica de $\tan \left(x\right)$ se repite periódicamente después de $180$ grados. Por tanto, podemos encontrar la siguiente solución sumando múltiplos 180 a la solución inicial. Así, la segunda solución está en id="5231193" role="math" $180+66.5=246.5°$. Por tanto, las dos soluciones de $\tan \left(x\right)=2.3$ en el intervalo $0°\le x\le 360°$ son id="5231191" role="math" $x=66.5°$ y id="5231192" role="math" $x=246.5°$.

Las soluciones a cualquier ecuación en la que intervenga tan(x) se pueden encontrar añadiendo múltiplos de 180 a la solución inicial.

Encuentra las soluciones de $4\tan \left(x\right)=3$ para el intervalo $-180°\le x\le 180°$.

Solución:

No podemos resolver esta ecuación en su forma actual. Primero tenemos que dividir ambos lados por $4$ para obtener $\tan \left(x\right)$ por sí mismo. Obtenemos $\tan \left(x\right)=\frac{3}{4}$. Ahora podemos hallar la primera solución de la ecuación tomando el inverso de tan de ambos lados para obtener $x={\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=36.9°$.

Ahora, como es tan, sabemos que las soluciones se pueden encontrar sumando o restando múltiplos de $180°$ a la solución inicial. Por tanto, la siguiente solución estará en $36.9+180=216.9$pero está fuera del intervalo. Podemos obtener otra solución restando$180°$ de $36.9°$ para obtener $-143.1°$ que está dentro del intervalo. Si restamos otro ${180}^{°}$ dará una solución fuera del intervalo, por lo que las dos soluciones a $4\tan \left(x\right)=3$ en el intervalo $-180°\le x\le 180°$ son $x=36.9°$ y $x=-143.1°$.