Gráficas de Líneas Rectas

Encontrar coordenadas mediante la ecuación de la recta

Puede que te pidan que encuentres las coordenadas mediante una ecuación lineal. Para ello, sustituye uno de los valores en la ecuación lineal para obtener el otro.

¿Cómo se traza una recta?

Para trazar un gráfico rectilíneo, necesitas

1. Traza una tabla con los valores x y los valores y.

2. Dibuja tus ejes en el papel cuadriculado y rotúlalos si se aplican a una situación del mundo real.

3. Traza los puntos dados en la gráfica.

4. Une todos los puntos con una sola línea recta utilizando una regla.

Dibuja la recta \(y = 2x +1\)

1. Traza una tabla con los valores de x e y

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-5	-3	-1	1	3	5

2. Dibuja tu eje

Eje plano

3. Traza tus puntos

Puntos trazados en el eje, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

4. Une todos los puntos con una recta:

Gráfico trazado completo, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Características de los gradientes de las rectas

Conocer las características de los gradientes de las rectas te facilitará el cálculo de las preguntas más difíciles sobre la ecuación de la recta. Utilizando el ejemplo anterior y = 6x + 8, repasaremos las características de otros tipos de gradientes.

Pendiente de gradiente negativa

La gráfica ilustra las rectas \(y = -6x + 8\) y \(y = 6x + 8\).

Gradiente negativo en un gráfico, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Podemos hacer dos observaciones a partir de este gráfico sobre el gradiente negativo:

• La intersección y (0, 8) es la misma tanto para el gradiente positivo como para el negativo, por lo que tener un gradiente negativo no tiene ningún efecto sobre la intersección y.

• A medida que aumentamos la variable x, la variable y disminuye y, por tanto, la recta se desplaza en diagonal descendente.

La pendiente de las rectas paralelas

La gráfica siguiente representa dos rectas paralelas, \(y = 6x + 8\) y \(y = 6x + 15\)

Gráfica de rectas paralelas, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Hay dos observaciones que puedes hacer sobre las rectas paralelas:

• Cuando dos líneas son paralelas, los gradientes son iguales. En este ejemplo, ambas rectas tienen un gradiente de 6.
• Las rectas tienen valores diferentes de b y, por tanto, tienen intersecciones y diferentes.

La pendiente de las rectas perpendiculares

La gráfica siguiente muestra dos rectas perpendiculares: \(y = 6x + 8\) y \(y = - \frac{1}{6}x +8\).

Gráfica de rectas perpendiculares, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Hay dos observaciones importantes que pueden hacerse sobre los gradientes de las rectas perpendiculares.

• Para que las rectas se intercepten entre sí, los gradientes de las dos rectas deben ser recíprocos inversos negativos entre sí. Un recíproco negativo de un gradiente viene dado por la fórmula \(-\frac{1}{m}\), donde m es el gradiente original. En este ejemplo, los gradientes de las dos rectas 6 y \(-\frac{1}{6}\) son recíprocos negativos entre sí.

• El intercepto y es el mismo para ambas rectas, ya que el punto de intercepción se encuentra en el eje y. La intersección y sería distinta para cada recta si la recta de intersección no estuviera sobre el eje y. Por ejemplo, si el punto de intersección fuera (1, 14), entonces lo sustituirías en la fórmula \(y = mx + b\)

\(14 = \frac{-1(1)}{6} + b\)

\(\frac{84}{6} = \frac{-1}{6} + b\)

\(b = \frac{84}{6} + \frac{1}{6} = \frac{85}{6}\)

• la recta perpendicular sería \(y = - \frac{1}{6} x + \frac{85}{6}\)

Gráfica de rectas perpendiculares, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

¿Cómo se halla la ecuación de la gráfica de una recta a partir de un conjunto de puntos?

Hay varios tipos diferentes de preguntas que te pueden hacer, que ahora repasaremos con ejemplos.

Encontrar la ecuación de la recta cuya intersección y es desconocida.

A veces no te dicen la intersección y, lo que significa que tenemos que calcular un valor para C si utilizamos la forma \(Ax + By = C\). Para ello necesitamos los siguientes pasos:

1. Calcula el gradiente
2. Sustituye en la ecuación los valores de x e y de un punto de la recta.
3. Reorganiza para obtener el valor A de B

Hallar la ecuación de una recta a partir de gráficas

Encontrar la ecuación lineal a partir de la gráfica es similar al método anterior, con ligeras diferencias.

1. Identifica dos puntos de la recta

2. Calcula el gradiente a partir de esos dos puntos

3. Halla el valor de b buscando el punto en que la recta cruza la intersección y

4. Formula la ecuación.

Líneas horizontales

Como la pendiente de las rectas horizontales es 0, la ecuación de la recta es y = b, donde b es la intersección y.

Gráfica de y = b, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Esta recta horizontal tiene la ecuación y = 10, ya que corta al eje y en (0, 10).

Líneas verticales

La pendiente de las rectas verticales es infinita y puede expresarse mediante la ecuación x = d, siendo d el punto de intersección de la recta con el eje x.

Gráfica de x = d, Jaime Nichols, StudySmarter Originals

Esta recta vertical tiene la ecuación x = 0,5, porque se cruza con el eje x en el punto (0,5, 0)

Utilización de gráficos de líneas rectas en ejemplos de la vida real

Los gráficos de líneas rectas pueden utilizarse para representar las relaciones entre dos variables cualesquiera. Por ejemplo, las empresas la utilizan para mostrar cuántas ventas realizan a lo largo del tiempo.

A continuación puedes ver un ejemplo de gráfico rectilíneo que muestra el número de ventas totales a lo largo del tiempo, en este ejemplo utilizamos (y) como el número total de coches vendidos y (x) como el número de semanas.

Ejemplo de gráfico rectilíneo, Jaime Nichols

Para hallar la tasa de variación, necesitamos determinar el gradiente. Sabemos por la ecuación que el gradiente es 3. Esto significa que la tasa del número de ventas es de 3 coches por semana.

También es posible que tengas que explicar la posición de la intersección y. En este ejemplo, la recta interseca con el origen, lo que tiene sentido porque, a las 0 semanas, no han empezado a vender ningún coche.

A veces, sobre todo en los gráficos rectilíneos de costes, la línea puede intersecarse por encima del origen. Esto normalmente sugiere que había algunos costes iniciales fijos que debían tenerse en cuenta. Un ejemplo habitual utilizado en los exámenes es un depósito. Es importante señalar que este coste es fijo y, por tanto, no cambia independientemente del cambio en x e y.