Hipérbolas

Determina la ecuación de la hipérbola representada por la gráfica siguiente.

Solución

La hipérbola de abajo tiene focos en (0 , -5) y (0, 5) mientras que los vértices están situados en (0, -4) y (0, 4). La distancia entre estas dos coordenadas es de 8 unidades.

Por tanto, la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x, y) de la hipérbola a los focos es de 8 u -8 unidades, según el orden en que restes.

Utilizando la Fórmula de la Distancia, obtenemos la ecuación de la hipérbola de la siguiente manera.

Sea

_d1 = distancia de (0, 5) a (x, y)

_d2 = distancia de (0, -5) a (x, y)

$$\begin{gathered} d_2-d_1=\pm 8 \\ \Rightarrow \sqrt{{(y-5)}^2+x^2}-\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}=\pm 8 \\ \Rightarrow \sqrt{{(y-5)}^2+x^2}=\pm 8+\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow {(y-5)}^2+x^2={\left(\pm 8+\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}\right)}^2 \\ \Rightarrow y^2-10y+25+x^2=64+16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}+{(y+5)}^2+x^2 \\ \Rightarrow \cancel{y^2}-10y+\cancel{25}+\cancel{x^2}=64\pm 16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}+\cancel{y^2}+10y+\cancel{25}+\cancel{x^2} \\ \Rightarrow -20y-64=\pm 16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow 5y+16=\pm 4\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow {\left(5y+16\right)}^2=16{\left(\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}\right)}^2 \\ \Rightarrow 25y^2+160y+256=16(y^2+10y+25+x^2) \\ \Rightarrow 25y^2+\cancel{160y}+256=16y^2+\cancel{160y}+400+16x^2 \\ \Rightarrow 9y^2-16x^2=144 \end{gathered}$$

Dividiendo la expresión por $9\times 16,$ nuestro resultado final es

$\Rightarrow \frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{9}=1$

Identifica los focos y los vértices de la hipérbola $\frac{y^2}{49}-\frac{x^2}{32}=1$.

Solución

La ecuación es de la forma

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

Por tanto, el eje transversal está en el eje y. El centro está en el origen, por lo que los intersticios y son los vértices de la gráfica. Por tanto, podemos hallar los vértices fijando x = 0 y resolver para y como se indica a continuación.

$$\begin{gathered} \frac{y^2}{49}-\frac{{\left(0\right)}^2}{32}=1 \\ \Rightarrow \frac{y^2}{49}=1 \\ \Rightarrow y^2=49 \\ \Rightarrow y=\pm \sqrt{49}=\pm 7 \end{gathered}$$

Los focos están situados en $(0,\pm c)$ y por la relación entre a, b y c establecida antes, obtenemos

$c^2=a^2+b^2\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2+b^2}=\pm \sqrt{49+32}=\pm \sqrt{81}=\pm 9$

Así pues, los vértices son (0, -7) y (0, 7) mientras que los focos son (0, -9) y (0, 9). La gráfica se muestra a continuación.

Identifica los focos y los vértices de la hipérbola $\frac{{(y-2)}^2}{9}-\frac{{(x-3)}^2}{25}=1$.

Solución

La ecuación es de la forma

$\frac{{(y-k)}^2}{a^2}-\frac{{(x-h)}^2}{b^2}=1$

Por tanto, el eje transversal está en el eje y. Aquí, h = 3 y k = 2, por lo que el centro está en (3, 2). Para hallar los vértices, utilizaremos la fórmula siguiente.

$(h,k\pm a)\Rightarrow (3,2\pm \sqrt{9})=(3,2\pm 3)$

Los focos están situados en $(0,\pm c)$ y utilizando $c^2=a^2+b^2$ como antes, obtenemos

$c=\pm \sqrt{9+25}=\pm \sqrt{34}\approx \pm 5.83(correcttotwodecimalplaces)$

Así pues, los vértices son (3, -1) y (3, 5), mientras que los focos son (0, -5,83) y (0, 5,83). La gráfica se muestra a continuación.

Expresa la siguiente hipérbola en forma estándar dados los siguientes focos y vértices.

$$\begin{gathered} Vertices:(\pm 6,0) \\ Foci:(\pm 2\sqrt{10},0) \end{gathered}$$

Solución

Observa que los vértices y focos están en el eje x. Por tanto, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Como los vértices son $(\pm 6,0),$entonces

$a=6\Rightarrow a^2=36$

Dado que los focos son $(\pm 2\sqrt{10},0),$entonces

Resolviendo para ^b2 obtenemos

$$\begin{gathered} b^2=c^2-a^2=40-36 \\ \Rightarrow b^2=4 \end{gathered}$$

Ahora que hemos hallado ^a2 y ^b2, podemos sustituirlo en la forma estándar como

$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

La gráfica se muestra a continuación.

Expresa la siguiente hipérbola en forma estándar dados los siguientes focos y vértices.

$$\begin{gathered} Vertices:(1,-2)and(1,8) \\ Foci:(1,-10)and(1,16) \end{gathered}$$

Solución

Los vértices y los focos tienen las mismas coordenadas x, por lo que el eje transversal es paralelo al eje y. La ecuación de la hipérbola tendrá, por tanto, la forma

$\frac{{(y-k)}^2}{a^2}-\frac{{(x-h)}^2}{b^2}=1$

Primero debemos identificar el centro mediante la fórmula del punto medio. El centro se encuentra entre los vértices (1, -2) y (1, 8), por lo que

$(h,k)=\left(\frac{1+1}{2},\frac{-2+8}{2}\right)=(1,3)$

La longitud del eje transversal, 2a, está limitada por los vértices. Para hallar ^a2 debemos evaluar la distancia entre las coordenadas y de los vértices.

$$\begin{gathered} 2a=\left|-2-8\right|=\left|-10\right|=10 \\ \Rightarrow a=5 \\ \Rightarrow a^2=25 \end{gathered}$$

Las coordenadas de los focos son

$(h,k\pm c)\Rightarrow (h,k-c)=(1,-10)and(h,k+c)=(1,16)$

Utilizando k + 3 = 16 y sustituyendo k = 3, obtenemos

$c=13\Rightarrow c^2=169$

Así, podemos resolver ^b2 mediante

$b^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=169-25=144$

Finalmente, sustituyendo estos valores en la forma estándar, obtenemos

$\frac{{(y-3)}^2}{25}-\frac{{(x-1)}^2}{144}=1$

La gráfica se muestra a continuación.

Grafica la hipérbola $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

Solución

Como puedes ver, la hipérbola ya tiene la forma estándar.

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Esto significa que tenemos un par de curvas que se abren por la izquierda y por la derecha. Los vértices son $(\pm 6,0)$ y los focos son $(\pm 2\sqrt{10},0)$. El centro de la hipérbola es el origen, (0, 0). Aquí,

$$\begin{gathered} a^2=36\Rightarrow a=6 \\ and{b}^2=4\Rightarrow b=2 \end{gathered}$$

La ecuación de las asíntotas es

$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{2}{6}x=\pm \frac{1}{3}x$

Esboza siempre las asíntotas cuando hagas la gráfica de las hipérbolas. Así podremos dibujar con precisión las curvas asociadas a la ecuación.

La gráfica de $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$ se muestra a continuación.

Haz la gráfica de la hipérbola de abajo.

Solución

Para resolver esta expresión, debemos intentar reordenarla en la forma estándar de una hipérbola. Lo hacemos completando el cuadrado de la siguiente manera.

$$\begin{gathered} 9x^2-36x-25y^2-50y=214 \\ 9(x^2-4x+\mathit{A})-25(y^2+2y+\mathit{B})=214+9\left(\mathit{A}\right)-25\left(\mathit{B}\right) \end{gathered}$$

Tenemos que identificar A y B. Al hacerlo, obtenemos

$$\begin{gathered} 9(x^2-4x+\mathbf{4})-25(y^2+2y+\mathbf{1})=214+9\left(\mathbf{4}\right)-25\left(\mathbf{1}\right) \\ \Rightarrow 9{(x-2)}^2-25{(y+1)}^2=225 \end{gathered}$$

Dividiendo ambos lados por 225, obtenemos la ecuación

$\Rightarrow \frac{{(x-2)}^2}{25}-\frac{{(y+1)}^2}{9}=1$

El centro es (2, -1). También tenemos los valores $h=2,k=-1,a=5,b=3andc=\sqrt{34}$. Así obtenemos los siguientes valores para los vértices, focos y asíntotas.

Los vértices

$$\begin{gathered} (h\pm a,k)=(2\pm 5,-1) \\ \Rightarrow (-3,-1)and(7,-1) \end{gathered}$$

Los focos

$$\begin{gathered} (h\pm c,k)=(2\pm \sqrt{34},-1) \\ \Rightarrow (2-\sqrt{34},-1)and(2-\sqrt{34},-1) \end{gathered}$$

Las asíntotas

$$\begin{gathered} y=k\pm \frac{b}{a}(x-h)=-1\pm \frac{3}{5}(x-2) \\ \Rightarrow y+1=-\frac{3}{5}(x-2)andy+1=\frac{3}{5}(x-2) \end{gathered}$$

La gráfica de $\frac{{(x-2)}^2}{25}-\frac{{(y+1)}^2}{9}=1$ se muestra a continuación.

Halla la excentricidad de la hipérbola $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

Solución

Aquí, ^a2 = 25 y ^b2 = 9. Por tanto, la excentricidad de esta hipérbola viene dada por

$$\begin{gathered} a=\sqrt{25}=5 \\ \Rightarrow e=\frac{\sqrt{25+9}}{5} \\ \Rightarrow e=\frac{\sqrt{34}}{5}\approx 1.17(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$