Conceptualmente, pensamos que la integración es la inversa de la diferenciación. Esto significa que para hallar una integral, podemos pensar que tenemos que "deshacer" el proceso de diferenciación. Cuando hemos "deshecho" la integración, llamamos a este resultado la antiderivada.
Definición de integración
Conceptualmente, la integración puede considerarse como lo "opuesto" a la diferenciación. Ambas son operaciones matemáticas que se tratan en el campo matemático del cálculo.
Laintegración es la suma de trozos infinitamente pequeños para hallar el total; puede ser el área bajo una curva, la longitud de una curva u otras cantidades físicas como el desplazamiento dada la velocidad.
Por ejemplo, cuando integras una función de velocidad, obtienes una función de distancia, porque estás sumando todas las distancias infinitesimales recorridas en un periodo de tiempo.
Hay dos tipos principales de integración: definida e indefinida. Una integral definida tiene límites reales y da un valor numérico, que puede representar una magnitud física como un área. Una integral indefinida no tiene límites establecidos y da como resultado una función, a menudo representada por una gráfica.
Integración definida
Una integral definidaes una integral con límites, por lo que podríamos verla como el área bajo una función entre dos puntos, digamos el punto a y el punto b. Para una función f(x), la escribiríamos como \(\int^{b}_a f(x) dx\). Esto puede visualizarse como
Visualización de una integral definida
La forma de visualizarlo es dividir el área bajo la función en n franjas iguales entre a y b. Esto significa que tenemos la anchura de cada franja, \(\delta x = \frac{b-a}{n}\). Luego tomamos la altura de cada franja como \(f(x_i^*)\), con el punto \(x^*_i\) en algún punto de la franja i. Esto se muestra a continuación.
Visualización de una integral definida
El área de las franjas en este punto viene dada como \(\suma^n_{i=1} f(x_i^*) \delta x\). Para hallar el valor de la integral, necesitamos utilizar un número infinito de tiras para cubrir totalmente el interior de la curva. Esto significa que, al tomar el límite, obtenemos \(\lim_{n \rightarrow \infty} \suma^n_{i=1} f(x^*_i) \Delta x = \int^b_a f(x)dx\).
\(\lim_n \flecha_derecha \infty} \suma^n_{i=1} f(x^*_i) \Delta x = \int^b_a f(x)dx\). En la práctica, esto resulta más fácil, ya que hallamos la antiderivada (sin la constante de integración) y luego la evaluamos en los dos límites, alejando el límite inferior del superior.
Hallar \(\int ^2_0 2x \space dx\)
El primer paso es hallar la antiderivada de 2x. Esto significa que tenemos que pensar en una función que se diferencie a 2x. Pensando en esto, llegamos a x2. Ahora que conocemos la antiderivada, tenemos que evaluarla en los límites.
\(\int^2_0 2x dx = [x^2]_{x=0}^{x=2} = (2)^2 - (0)^2 = 4\)
Integrales indefinidas
El objetivo de una integración indefinida es hallar la antiderivada. La antiderivada viene dada como una función y no nos indica directamente el área bajo la función. Si queremos comprobar si tenemos la antiderivada correcta, podemos diferenciar la antiderivada, y deberíamos llegar de nuevo a la función original. Si nuestra función original es f(x), a menudo denotamos F(x) como la antiderivada de f(x).
Cuando hallamos una integral indefinida, es importante que añadamos una constante de integración, lo que significa que si halláramos \(\int{f(x) dx}\), daríamos nuestra respuesta como F(x) + C. Este + C refleja que esta función antiderivada podría tener cualquier constante y seguir diferenciándose a la función original.
Halla \(\int 3x^2 dx\)
\(x^3\) se diferencia en \(3x^2\), así que ésa es nuestra antiderivada. Sin embargo, en su totalidad, nuestra respuesta es \(x^3 + C\), ya que debemos incluir esta constante de integración.Reglas de integración
Existen varias reglas fundamentales para la integración en matemáticas. Estas reglas constituyen la base de técnicas más complejas y son fundamentales para el cálculo. Son las siguientes
Regla de la potencia: Establece que \( \int x^n dx = \frac{x^(n+1)}{n+1} + C\), donde n ≠ -1, y C representa la constante de integración.
Regla de la constante: La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función. Es decir, \(\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx\).
Regla de la suma: La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones. Esta regla se expresa como \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\)
Regla de la diferencia: La integral de la diferencia entre dos funciones es la diferencia entre las integrales de las funciones. Esta regla se expresa como \(\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx\)
Regla exponencial: \(\int e^x dx = e^x + C\).
- Regla desustitución (sustitución en u): Este método consiste en hacer una sustitución para simplificar la integral. Si tenemos \(\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx\), podemos sustituir \(u = g(x), \, du = g'(x) dx\), y luego realizar la integral más sencilla \(\int f(u) \, du\).
- Integración por partes: Es un método utilizado para integrar el producto de dos funciones. Es el equivalente en integración de la regla del producto para la diferenciación. La fórmula es \(\int u\, v \, dx = u \int v \, dx - \int [u' \cdot (\int v \, dx)] dx\)
Reglas trigonométricas: Existen varias reglas trigonométricas:
Regla del seno: \(\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C\)
Regladel coseno: \(\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C\)
Regla de la secante al cuadrado: \(\int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\)
Regla de lacosecante al cuadrado:
\(\int \csc^2(x) \, dx = -\cot(x) + C\)
ReglaSecante - Tangente: \(\int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C\)
ReglaCosecante - Cotangente: \(\int \csc(x)\cot(x) \, dx = -\csc(x) + C\)
Para las derivadas definidas, tenemos reglas adicionales que pueden ayudar a resolver la integral:
- Para constantes a y b, y funciones f, g, entonces \(\int(af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x) dx\)
- \(\int^b_a f(x) dx = -\int^{a}_b f(x) dx\)
- \(\int^{a}_a f(x) dx= 0\)
- para \( c \espacio \epsilon \espacio [a, b], \int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx\)
Métodos de integración
No todas las antiderivadas pueden hallarse fácilmente por inspección. En este caso, podemos utilizar en su lugar un método de integración que nos permita hallar la antiderivada.
Integración por piezas
Por la regla del producto (como se ha visto en la diferenciación), para dos funciones u(x) y v(x) entonces \((u(x)v(x))' = u(x)v'(x) + u'(x)v(x)\)
Si integramos ambos lados con respecto a x, obtenemos \(\int{(u(x) v(x))'dx} = \int{u(x) v'(x)dx} + \int{u'(x)v(x)dx})
que entonces se simplifica a -
\(u(x)v(x) = \int{u(x)v'(x)dx} + \int{u'(x)v(x)dx}\)
Reorganizamos esto para
\(\int{u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int{u'(x)v(x)dx}\)
Ésta es ahora nuestra fórmula de integración por partes, y lo demostraremos con un ejemplo.
Utiliza la integración por partes para hallar \(\int{x \cos x \space dx}\).
Vamos a dejar que \(u(x) = x\) y \(v'(x) = \cos(x)\). Ahora buscamos hallar \(u'(x)\) y diferenciando, hallamos e integramos para hallar. Esto significa que \(v(x) \quad u'(x) = 1 \quad v(x) = \sin x \quad \int{x \cos x = x \sin x} - \int{1 \cdot sen x})
Ahora podemos evaluar esta última integral para dar \(\int{x \cos x} = x \sin x + \cos x + C\).
Observa que aquí hemos incluido la constante de integración. Podríamos haberla incluido antes; sin embargo, aquí podemos combinarlas todas en una.
Integración por sustitución
También existe la opción de utilizar la sustitución para simplificar una integral. Aquí cambiamos la variable respecto a la que integramos. En el caso de una integral definida, también hay que cambiar los límites mediante la sustitución. También debemos cambiar el integrando. Esto se demuestra mejor con un ejemplo. Intentar elegir la sustitución correcta lleva su tiempo. Sin embargo, resulta más fácil.
Utiliza la sustitución para hallar \(\int{2xe^{x^2}dx}\)
Tomemos \(u = x^2\), lo que significa que \(\frac{du}{dx} = 2x\). Podemos reordenar esto para obtener \(dx=\frac{du}{2x}\).
Sustituyendo esto, obtenemos
\(\int{2xe^{x^2}dx} = \int{2xe^u \cdot \frac{du}{2x}} = \int{e^u \space du} = e^u + C = e^{x^2}}. + C\).
Integración paramétrica
También se nos puede dar una función paramétricamente y esperar que la integremos. Supongamos que nos dan que \(y = f(t)\) y \(x = g(t)\), entonces la integral de la curva definida por estas funciones viene dada como \(\int{y \frac{dx}{dt} dt}). Podemos pensar que los dt se anulan para dar \(\int y \space dx\), que es lo que esperaríamos en una integral normal.
Supongamos que nos dan una curva definida por \(y = 2-t^2, \space x = t^3\), con t comprendido entre 0 y 1, y queremos hallar el área bajo esta curva cuando \(t = 0, \space x= 0, \text{ y }t = 1, \space x=1\), por lo que nuestra integral viene dada como \(^1_0\int(2-t^2) \cdot 3t^2 dt\). Podemos evaluarla para obtener \(^1_0\int{(2-t^2) \cdot 3t^2 dt = ^1_0\int6t^2-3t^4dt} = [2t^3-\frac{3}{5} t^5]^{x=1}_{x = 0} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}).
Ejemplos de integración
En el apartado siguiente, repasaremos ejemplos trabajados de integrales, y utilizaremos las reglas de integración mostradas anteriormente para explicarlos.
Integración de polinomios
De la derivada de un polinomio, debes saber que \(\frac{d}{dx}x^n =nx^{n-1}\). Para una integral, podemos invertir esto para obtener \(\int{x^n \space dx} = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, \space n≠-1\). Esta regla se convertirá en algo natural cuantas más integrales hagas.
Integra \(12x^5\) con respecto a x.
\(\int{12x^5 \space dx} = 12 \int x^5 dx = 12 \cdot \frac{1}{6} x^6 = 2x^6 + C\)
Integrando \(\frac{1}{x}\)
La fórmula anterior para polinomios no funcionará para \(\frac{1}{x}\). Así que veámoslo de otra manera:
\(\int{frac{1}{x} dx}\). Dejemos que \(x = e^y\), entonces \(\frac{dx}{dy} = e^y\) por lo que \(dx = e^y dy\).
Rellenando esto, obtenemos \(\int{frac{1}{x} dx} = \int{frac{1}{e^y} \cdot e^y dy} = \int dy = y = \ln|x| +C\)
Observa que ponemos x en una función módulo para garantizar que la entrada del logaritmo es válida. Podemos ampliar esto aún más. Haciendo una sustitución adecuada, podemos demostrar \(\int{{frac{f'(x)}{f(x)} dx} = \ln|f(x)| + C\).
Integrar funciones trigonométricas
Como todo lo que hemos visto hasta ahora, podemos tratar la integración como la inversa de la diferenciación, y esto continúa con las funciones trigonométricas. Puede que tengamos que utilizar sustituciones para resolverlas, y también podemos introducir las funciones trigonométricas como una sustitución.
Halla \(\int{tan(x) dx}\).
\(\int{tan(x) dx} = \int{frac{sin x}{cos x} dx}\)
Dejemos ahora que \(u = \cos(x)\) y entonces \(\frac{du}{dx} = -\sin x\). Esto significa que \(\int \frac{sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|\cos x| + C= \ln|\cos x|^{-1} + C = \ln|\sec x| + C\)Utiliza una sustitución trigonométrica para hallar \(\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx\).
Sea \(x = 3 \sin u\) entonces \(\frac{dx}{du} = 3 \cos u\), y \(dx = 3 \cos u \cdot du\).
Sustituyendo esto, obtenemos \(\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{3 \cos u}{\sqrt{9-9\sin^2 u}} du\).
Como \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1, \space 1- \sin^2 u = \cos^2 u\). Por tanto, \(\int \frac{3 \cos u}{\sqrt{9-9 \sin^2 u} du = \int \frac{3 \cos u}{3 \sqrt{1-\sin^2 u} du = \int \frac{3 \cos u}{3 \cos u} du = \int du = u + C = \arcsin (\frac{x}{3}) + C\)
Integración - Puntos clave
La integración es la inversa de la diferenciación.
Una integral definida está acotada por límites y se evalúa en ellos.
Una integral indefinida es una antiderivada y una constante de integración.
La integración por partes se define como \(\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x) v(x) dx\)
Para un polinomio, \(\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, \space n≠-1\); \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\)
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