Por suerte, Phil es una araña con inclinaciones matemáticas, así que sabe que esta área será la integral de la curva de su telaraña entre los puntos inicial y final. Phil sabe que la forma de una telaraña, colgando entre dos puntos fijos, se conoce como catenoide: la forma creada por la función coseno hiperbólica. Para responder a su pregunta candente, Phil debe aprender a integrar funciones hiperbólicas.
Una tela de araña, así como cualquier otro objeto similar a una cuerda que cuelgue entre dos puntos fijos, es una curva catenoide. Éste es el tipo de curva que modela la función coseno hiperbólica.
Fórmulas para la integración de funciones hiperbólicas
Lasfunciones trigonométricas hiperbólicas son similares a las funciones trigonométricas normales, pero en lugar de trazar el círculo unitario, trazan lahipérbola unitaria .
Fig. 1. El seno y el coseno hiperbólicos pueden derivarse de la hipérbola unitaria (\(x^2-y^2=1\)) de forma muy similar a como las funciones seno y coseno normales pueden derivarse del círculo unitario.
Lasfunciones hiperbólicas estándar son,
- Seno hiperbólico: \(\sinh{x}\).
- Coseno hiperbólico: \(\cosh{x}\).
- Tangente hiperbólica: \(\tanh{x}\).
Del mismo modo, lasfunciones hiperbólicas recíprocas son,
- Secante hiperbólica: \(\sec{x}\).
- Cosecante hiperbólica: \(\csch{x}\).
- Cotangente hiperbólica: \(\coth{x}\).
Para más información sobre las funciones hiperbólicas, incluidas susformas exponenciales , consulta Funciones hiperbólicas.
Fórmulas para la integración del seno, coseno y tangente hiperbólicos
Las integrales de nuestras funciones hiperbólicas estándar son,
\[ \begin{align} \int \sinh{x} \dx & = \cosh{x} + c, \int \cosh{x} \dx & = sinh{x} + c, \int \tanh{x} \dx & = |ln{ |cosh{x} |} + c. end{align}\}]
No olvides añadir tu constante de integración siempre que tomes una integral indefinida.
Fórmulas para la integración de funciones hiperbólicas recíprocas
Las integrales de las funciones hiperbólicas recíprocas son,
\[ \begin{align} \int \sech{x} \dx & = tan^{-1}(sinh{x})} + c, \int \csch{x} \y = ln {Izquierda} {tanh} {frac{x}{2} } \derecha} + c, \int \coth{x} \dx & = ln {izquierda} {sinh} {x} \derecha} + c. fin].
Fórmulas de otras integrales importantes con funciones hiperbólicas
Si has aprendido sobre las derivadas de funciones hiperbólicas, habrás visto muchos resultados estándar creados al diferenciar la tangente hiperbólica y otras funciones hiperbólicas. Puedes invertir estas derivadas para obtener fórmulas de integración,
\[ \begin{align} \int \sech^{2}{x} \dx & = tanh{x} + c, \int \csch^2}{x} \dx & = - coth{x} + c, \int \sech{x} \tanh{x} \dx & = - \sech{x} + c, \int \csch{x} \coth{x} \dx & = - \csch{x} + c. fin \]
Para saber más, consulta Diferenciación de funciones hiperbólicas.
Integración de funciones trigonométricas hiperbólicas Ejemplos
Algunas preguntas sobre la integración de funciones hiperbólicas requerirán el uso de la integración por partes.
Halla \[ \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \,dx. \]
Solución
Para resolver este problema, primero debes utilizar la fórmula de integración por partes,
\[ \int_{a}^{b} u \frac{dv}{dx} \dx = \left[u v \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{du}{dx} v \,dx. \]
En este caso, querrás que \( u \) sea \( 2x \), y que \( \frac{dv}{dx} \) sea \( \cosh{2x} \). Esto se debe a que quieres diferenciar el término \(2x\\) para que sólo te quede un término constante en su lugar, de modo que puedas resolver la integral normalmente.
Puedes diferenciar \(u \) de la forma habitual, e integrar \( \frac{dv}{dx} \) por inspección:
\( u = 2 x \), \(v = \frac{1}{2} \sinh{2x} \),
\(frac{du}{dx} = 2 x), (frac{dv}{dx} = 2 x).
Ahora que tienes todos los componentes de la fórmula de integración por partes, puedes introducirlos y evaluar la integral,
\[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \dx & = \left[ 2 x \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \right]^{2}_{0} - \int^{2}{0} 2 \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \& = izquierda[x sin2x] derecha]^2_0 -int^2_0 sin2x,dx. \dx. \fin \]
Puedes expandir la primera parte del lado derecho para obtener \[ \left[ x \sinh{2x} \right]^2_0 = 2 \sinh{4} .\] A continuación, sólo tienes que ocuparte de la integral del lado derecho. No es demasiado difícil ver la solución de esta integral, sólo tienes que pensar en lo que tendrías que diferenciar para obtener esta función. Esta integral se convertirá en
\[ \int_0^2 \sinh {2x} dx =\left[ \frac{1}{2} \cosh{2x} \right]^2_0 = \frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \cosh{0} = \frac{1}{2} \4 - \frac{1}{2}, \]
ya que \(\cosh{0} =1 \).
Por tanto, puedes volver a introducir esto en la integral inicial para obtener,\[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \dx & = 2 \sinh{4} - izquierda(\frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \derecha) \ & = 2 \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cosh{4} + \frac{1}{2}. \fin \]
Esta es la respuesta final. Puede que la pregunta te pida que pongas esto en forma exponencial, pero si no lo hace, esta respuesta está bien.
Integración de funciones hiperbólicas inversas
Las integrales de las funciones hiperbólicas inversas, (\(\cosh^{-1}{x}\), \(\sinh^{-1}{x}\) y \(\tanh^{-1}{x}\)) son,
\[ \begin{align} \int \sinh^-1}{x} & = x \sinh^-1}{x} - \sqrt{x^2 + 1} + c,\int \cosh^-1}{x} & = x \cosh^-1}{x} - \sqrt{x^2 - 1} + c,\int \tanh^-1}{x} & = x \tanh^-1}{x} + \frac{\ln{izquierda(1-x^2 \derecha)}{2} + c. fin].
Para saber más sobre las funciones hiperbólicas inversas, consulta Funciones hiperbólicas inversas.
Recuerda que \(\cosh^{-1} \), \(\sinh^{-1}\) y \(\tanh^{-1}\)también pueden escribirse como arcosh, arsinh y artanh. Del mismo modo, \(\sech^{-1}\), \(\csch^{-1}\) y \(\coth^{-1}\)pueden escribirse como arsech, arcosech (a menudo arcsch para abreviar) y arcoth.
Integración de funciones hiperbólicas Problemas de ejemplo
Demostración de fórmulas integrales hiperbólicas
Una pregunta habitual sobre la integración de funciones hiperbólicas consiste en demostrar algunas de las fórmulas integrales hiperbólicas anteriores. Es más fácil resolver este tipo de cuestiones al revés, ya que trabajar con la diferenciación suele ser más fácil que trabajar con la integración.
Demuestra
\[ \int \csch^2{x} \,dx = - \coth{x} + c. \].
Solución
Como la integración es la inversa de la diferenciación, basta demostrar que
\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \csch^2{x}. \]
Primero, escribe \( \coth{x} \) en términos de seno y coseno hiperbólicos,
\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \frac{d}{dx} \izquierda(-frac {cosh{x}} {sinh{x}} derecha). \]
Ahora, utiliza la regla del cociente,
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{frac{d}{dx}(\cosh{x}) \sinh{x} - \cosh{x} \frac{d}{dx} (\sinh{x})}{\sinh^2{x}} \\ & = - \frac {sinh^2{x} - \cosh^2{x}} {sinh^2{x}}. \fin{align}\]
Por último, utiliza la identidad hiperbólica \[ \cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1, \] para obtener,
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{-1}{\sech^2{x}} \\ y = \csch^2{x},\pend{align} \]
según se requiera.
Resolución de integrales mediante sustituciones hiperbólicas
A veces, una integral complicada puede hacerse mucho más fácil haciendo una sustitución con una función hiperbólica.
Halla \[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}} \,dx \] mediante sustitución, para \( x \geq 1.\)
Solución
Lo primero que hay que decidir aquí es qué sustitución utilizar. El lugar más obvio para utilizar la sustitución es en la parte inferior de la función, dentro de la raíz cuadrada.
Piensa en las distintas identidades de funciones hiperbólicas: ¿cuál sería la más útil aquí? La correcta es \[ \cosh^2{u} - \sinh^2{u} = 1 \], ya que se puede cambiar por \[ \cosh^2{u} - 1 = \sinh^2{u}, \], que se parece al interior de la raíz cuadrada, con \( \cosh{u} \) en lugar de \(x\). Sustituyendo \( x = \cosh{u} \) en la integral inicial, obtenemos
\[\int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}} \dx = \int \frac{1}{sqrt{\cosh^2{u} - 1}}. \dx. \]
Recuerda que cuando haces una sustitución, debes sustituir también el \(\,dx\). Como \( x = \cosh{u} \), la derivada de \(x\) respecto a \(u\) es \[ \frac{dx}{du} = \sinh{u} \implica dx = \sinh{u} \,du.\] Así, puedes sustituir \(\,dx\) en la integral por \( \sinh{u} \,du \):
\[\int \frac{1} {\sqrt{x^2 - 1}} \dx = \int \frac{1}{sqrt{\cosh^2{u} - 1}}. \sinh{u}\d{u}. \]
Ahora observa que en la parte inferior hay \ ( \cosh^2{u} - 1 \). Antes has visto que es igual a \( \sinh^2{u} \) por las identidades de las funciones hiperbólicas. Por tanto, puedes sustituir \(\cosh^2{u}-1\) por \( \sinh^2{u}\):
\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}. \dx & = \int \frac{1}{sqrt{\sinh^2{u}} \y = int \frac{1}{sinh{u}} \y = int ¾,du. \fin \]
Fíjate en que aquí hemos escrito \( \sqrt{\sinh^2{u}} = \sinh{u} \), y no que sea igual a \( \pm \sinh{u}.\) Esto se debe a que tenemos \( x \geq 1 \) de la pregunta, y por tanto \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \geq 0.\) Por tanto, la integral de esta función también debe ser positiva, así que debemos tomar el valor positivo de esta raíz cuadrada.
Después de realizar los pasos anteriores, el integrando se ha eliminado por completo. Esta integral es directa de resolver,
\[ \begin{align} \int \frac{1}{{sqrt{x^2 - 1}}. \dx & = \int \,du = u + c. \end{align} \]
Recuerda que, como la pregunta era en términos de \(x\), la respuesta también debe expresarse en términos de \(x\). Recuerda que \(x = \cosh{u} \). Tomando el coseno hiperbólico inverso de cada lado obtendrás \( u = \cosh^{-1}{x} \). Por último, puedes sustituir esto por \(u\) en la fórmula, para obtener
\[ \begin{align} \int \frac{1}{cuadrado{x^2 - 1}}. \int \ du = \cosh^{-1}{x} + c, fin. \]
y, por tanto, la pregunta está completa.
A menudo, la sustitución no será tan obvia. En este caso, debes manipular la función hasta que contenga una de las identidades de la función hiperbólica.
Halla \[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \,dx \] utilizando la sustitución.
Solución
Esta función no se parece a ninguna de nuestras identidades hiperbólicas. El primer paso para simplificar esta función es completar el cuadrado de la cuadrática dentro de la raíz cuadrada.
\[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] \[ (x+4)^2 + 16 = x^2 + 8x + 32. \]
Ahora, coloca el cuadrado completado en la pregunta original:
\[ \int \frac{1}{cuadrado{x^2 + 8x + 32}} \int \frac{1}{cuadrado}{(x+4)^2 + 16}}. \dx.]
Esto ya está un paso más cerca de parecerse a una de las identidades hiperbólicas. Podrías hacer la sustitución utilizando \(x + 4\), pero sigue habiendo el 16 de por medio, lo que hace imposible simplificar. Para eliminar el 16, divide la parte superior e inferior de la función por 4:
\[ \iniciar{alinear} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \int \frac{1}{4}{\frac{1}{4} {cuadrado{(x+4)^2 + 16}} \frac, dx \frac & = \frac{1}{4} \int \frac{1} {cuadrado} {{frac{1} {16} {izquierda((x+4)^2 + 16 {derecha)}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{(x+4)^2}{16} + \frac{16}{16}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{cuadrado}{izquierda(\frac{x+4}{4}{derecha)^2 + 1}}. \dx. \fin \]
Aquí, el factor de \( \frac{1}{4}\}) en el numerador se ha eliminado de la integral. A continuación, el \(\frac{1}{4} \) del denominador se ha puesto dentro de nuestra raíz cuadrada, por lo que debe elevarse al cuadrado para obtener \(\frac{1}{16} \).
Por último, se ha puesto dentro del cuadrado del primer término de la raíz cuadrada para reducirlo de nuevo a \(\frac{1}{4} \), mientras que el \(\frac{16}{16} \) se cancela a 1.
Esto se parece mucho más a una de las identidades hiperbólicas si sustituyes \(\frac{x+4}{4} \) por una función hiperbólica.
Pero, ¿qué función debes utilizar? Recordemos la identidad hiperbólica \[ \cosh^2{u} = \sinh^2{u} + 1, \] cuyo lado derecho puede identificarse como el interior de la raíz cuadrada, con la sustitución \(\sinh{u}=\frac{x+4}{4} \). Para ver con más detalle por qué tiene sentido esta sustitución, consulta Cálculo de funciones hiperbólicas. Tras la sustitución, obtenemos
\[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx = \frac{1}{4} \int \frac{1} {cuadrado} {sinh^2{u} + 1 }} \dx. \]
Como se ha dicho antes, \( \sinh^2{u} + 1 = \cosh^2{u} \), así que puedes sustituir esto para obtener,
\[ \begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}}. \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{cuadrado{\cosh^2{u}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} \dx. \fin \]
De nuevo, hemos tomado el valor positivo de la raíz cuadrada y no el negativo. Esto se debe a que el integrando siempre es positivo, por lo que la propia integral también debe ser positiva.
También debes recordar sustituir el \(\,dx\).
La sustitución fue \(\frac{x+4}{4} = \sinh{u} \), así que reordenando esto para \(x\) se obtendrá \(x = 4 sinh{u} - 4). Diferenciando esto con respecto a \(u\) obtienes, \( \frac{dx}{du} = 4 \cosh{u} \).
Por tanto, puedes sustituir \( dx \) por \( 4 \cosh{u} \,du \):
\[ inicio{alineación} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} 4 \cosh{u} \,du & = \int 1 \,du. \fin \]
A partir de aquí, de nuevo la integral es directa. En otras preguntas similares, puede que te quede un valor escalar distinto de 1, pero aquí resulta que se ha anulado.
\[ \begin{align} \int \frac{1} {{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \int \,dx & = \int \,du \ & = u+c. \fin \]
Recuerda que la sustitución era \( \sinh{u} = \frac{x+4}{4}\implica u = \sinh^{-1}{\frac{x+4}{4}\). Por tanto, la respuesta es
\[ \int \frac{1}{{sqrt{x^2 + 8x + 32}} \dx = \sinh^{-1} {izquierda( \frac{x+4}{4} {derecha)} +c.\}].
Integración de funciones hiperbólicas - Puntos clave
- Las integrales de las funciones hiperbólicas estándar son:
\[ \begin{align} \int \sinh{x} \dx & = \cosh{x} + c,\int \cosh{x} \dx & = senox + c, \int \tanh{x} \dx & = \ln{ \izquierda( \cosh{x} \derecha)} + c. fin].
Las integrales de lasfunciones hiperbólicas recíprocas son:
\[ \begin{align} \int \sech{x} \dx & = \tan^{-1}(\sinh{x})} + c, \int \csch{x} \y = ln {Izquierda} {tanh} {frac{x}{2} } \derecha} + c, \int \coth{x} \dx & = ln {izquierda} {sinh} {x} \derecha} + c. fin].
Las integrales de lasfunciones hiperbólicas inversas de son:
\[ \begin{align} \int \sinh^{-1}{x} & = x \sinh^{-1}{x} - \sqrt{x^2 + 1} + c. \ \int \cosh^-1}{x} & = x \cosh^-1}{x} - \sqrt{x^2 - 1} + c, \int \tanh^-1}{x} & = x \tanh^-1}{x} + \frac{{ln{izquierda(1-x^2 {derecha)}}{2} + c. fin. \]
También puedes utilizar tus conocimientos sobre las derivadas de las funciones hiperbólicas para resolver integrales, ya que la integración es lo contrario de la diferenciación. Esto da las siguientes fórmulas: \[ \begin{align} \int \sech^{2}{x} \dx & = tanh{x} + c, \int \csch^2}{x} \dx & = - coth{x} + c, \int \sech{x} \tanh{x} \dx & = - \sech{x} + c, \int \csch{x} \coth{x} \dx & = - \csch{x} + c. fin \]
- Puedes resolver ciertas integrales complicadas utilizando la integración por sustitución, tomando como sustitución una función hiperbólica. Puede que primero tengas que manipular esta función hasta que se parezca a una de las identidades hiperbólicas. Estas integrales consistirán predominantemente en cuadráticas y raíces cuadradas.
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