Integración paramétrica

Una curva está definida paramétricamente con \( x(t) = 2 -t\) y \(y(t) = e^t - 1\). Halla el área encerrada por el eje x, la recta x = 0 y la curva.

Lo primero que hay que hacer es averiguar dónde cruza la curva el eje x y dónde cruza la recta x = 0 la curva.

Si la recta cruza el eje x, el valor y será cero. Resolviendo esto, tenemos \(e^t -1 = 0\) lo que implica \(e^t = 1\) y a su vez t = 0. Cuando x = 0, entonces \(2 - t = 0\) lo que implica t = 2.

Esto significa que ya tenemos nuestros límites y podemos empezar la integral. Tenemos

\[\int^0_2{(e^t -1)} \cdot \frac{d}{dt}(2 - t) \cdot dt = - \int^0_2{(e^t - 1)} dt = \int^0_2{(e^t - 1) dt}].

donde cambiamos los límites para cambiar el signo.

Esto equivale entonces a \([e^t - t]_{t=0}^{t=2} = [(e^2 - 2) - (1-0)] = e^2 - 3\).

Mediante integración paramétrica, halla el área de la circunferencia definida como \(x(t) = -3\cos(t), y(t) = 3\sin(t), 0 < t < 2\pi\).

Por la fórmula de integración paramétrica, tenemos:

\[\int^{2\pi}_0 {3\sin(t) \cdot \frac {d}{dt} (-3 \cos (t))dt} = 9 \int^{2\pi}_0 \sin^2(t)dt\].

Ahora tenemos que utilizar aquí una fórmula de ángulo doble, y podemos usar el resultado \frac{1}{2}(1 - \cos(2t))\).

Rellenando esto, obtenemos \(\frac{9}{2} \int^{2\pi}_0{(1-\cos(2t))dt} = \frac{9}{2}[t - \frac{1}{2} \sin(2t)]^{t = 2\pi}_{t = 0} = 9\pi}), que es lo que cabría esperar de un círculo de radio 3.

Pregunta tipo examen

Supongamos que tenemos una curva definida paramétricamente, con \(x(t) = 3\cos(4t)\) y \(y(t) = 6 \sin(8t)\), con \(0 < t < \frac{\pi}{8}\).

i) Encuentra cualquier punto de inflexión de la curva.

ii) Halla el área bajo la curva.

i) Para que haya un punto de inflexión, entonces \(\frac{dy}{dx}}) debe ser igual. Por la regla de la cadena

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt}(\frac{dx}{dt})^{-1}\].

Ahora podemos utilizar las fórmulas estándar de las derivadas de las funciones trigonométricas para hallar estos resultados.

\frac{dy}{dt} = 48 \cos(8t)\) y \frac{dx}{dt} = -12 \sin(4t)\), lo que a su vez dará \frac{dy}{dx} = \frac{48 \cos(8t)}{-12 \sin(4t)}.

Podemos resolverlo igual a cero para hallar el valor t del punto de inflexión. Para que esto sea igual a cero, entonces el numerador debe ser igual a cero, lo que implica que \(\cos(8t) = 0\).

Esto significa que \(8t = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \epsilon N\), que además reducimos a \(t = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, n \epsilon N\).

El único valor de t aquí que satisface el \(0 < t < 8\pi) es \(t = \frac{\pi}{16}\).

Esto da la coordenada x del punto de inflexión como \(3\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}), y la coordenada y como \(6\sin(\frac{\pi}{2}) = 6\).

En primer lugar, resolvamos. la dirección de nuestros límites. \(x(0) = 3\) y \(x(\frac{\pi}{8}) = 0\), lo que significa que el área bajo la curva viene dada por

|y(t) \cdot \frac{dx}{dt}\cdot dt} = \int^0{{frac{pi}{8}}{6 \sin(8t)(-12\sin(4t))dt} = 72\int^{frac{pi}{8}{0{sin(8t) \sin(4t)dt}].

donde "volteamos los límites" para eliminar el signo negativo. Podemos utilizar una fórmula de ángulo doble para ayudarnos a resolver esta integral.

Sabemos que \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Esto implica que \(\sin(8x) = 2 \cdot \sin(4x) \cos(4x)\).

Rellenando esto, obtenemos la integral \(144 \int^{frac{\pi}{8}}_0 \sin^2(4t)\cos(4t)dt\).

Puesto que \(\int \sin(t) = \cos(t)\), parece intuitivo que lo más adecuado es una integración por sustitución.

Tomemos \(u = \sin(4t)\), lo que implica \(\frac{du}{dt} = 4\cos(4t)\), por lo que \(dt = \frac{du}{4\cos(4t)}\).

Como se trata de una integral definida, también tenemos que cambiar los límites.

\(u_1 = \sin(4 \cdot 0) = 0\) y \(u_2 = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1\).

Completando esto, podemos decir que \(144 \int_0^{frac{\pi}{8} \sin^2(4t) \cos(4t) dt = 36 \int^1_0 u^2 du\).

Se trata de una integral sencilla y puede evaluarse directamente.

\(36 \int^1_0 u^2 du = 12[u^3]^{u = 1}_{u = 0} = 12[1-0] = 12\).