Interés Compuesto: Matemáticas, Finanzas

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En este artículo, aprenderemos más sobre la definición matemática de esta acumulación, denominada Interés compuesto.

Significado del interés compuesto

El interés compuesto es la acumulación o adición de intereses a una cantidad principal.

La idea es que el interés ganado sobre el principal se reinvierte, y el interés futuro se añade al principal más el interés anterior, donde el principal es la cantidad original de dinero que se invirtió. Esto continúa hasta que transcurre el plazo. Echa un vistazo al siguiente gráfico de interés compuesto.

Gráfico del interés compuesto

Interés compuesto Gráfico de interés compuesto StudySmarter Gráfico del interés compuesto

En el gráfico de interés compuesto podemos ver que, a medida que aumenta el tiempo, también aumenta el dinero. Ésta es la idea central del interés compuesto.

Cuando resolvemos preguntas relacionadas con el interés compuesto, en realidad se nos pide que encontremos la cantidad de dinero que se obtiene o gana en un determinado periodo de tiempo como resultado del tipo de interés compuesto añadido.

Para calcular el interés compuesto, debemos conocer

el capital o importe inicial.
el tipo porcentual del interés compuesto sobre la cantidad principal.
el tiempo, que es el periodo en el que el dinero se retirará o dejará de ganar intereses.

Cálculo del interés compuesto: Fórmula

Hay dos formas de calcular el interés compuesto. Puedes calcularlo utilizando una tabla, y puedes calcularlo utilizando la fórmula del interés compuesto.

Utilizar la fórmula del interés compuesto

La fórmula del interés compuesto viene dada por

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(m u l t i p l i e r)}^{n}$

donde,

$\begin{array}{rcl} M u l t i p l i e r & = & 1 + r a t e \\ n & = & t i m e p e r i o d \end{array}$

por tanto,

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{t i m e p e r i o d}$

El resultado obtenido de la fórmula del interés compuesto es la cantidad de dinero ganada o ganada después de sumar los intereses a lo largo del tiempo.

El multiplicador es la suma de uno y el porcentaje de interés.

Utilizando la tabla de interés compuesto

Para cada año, calculamos el dinero que hay que retener hasta que transcurra el tiempo. Para ello, seguimos los siguientes pasos.

Dibuja una tabla con dos columnas, una para "importe" y otra para "tipo en porcentaje".
Escribe el importe principal en la primera fila bajo importe y multiplícalo por el tipo porcentual bajo interés.
Suma el importe del capital a los intereses en la segunda fila, debajo del importe, y multiplícalo por el tipo porcentual en esa fila, debajo de los intereses.
Repite el paso 3 hasta que transcurra el tiempo.

Calcular el interés compuesto utilizando la tabla te llevará más tiempo que si utilizaras la fórmula del interés compuesto.

En el siguiente apartado aprenderemos a calcular el interés compuesto utilizando ambos métodos.

Ejemplos de interés compuesto

Veamos algunos ejemplos utilizando tanto la fórmula del interés compuesto como la tabla.

Si depositas 4000€ en un banco durante 3 años y te pagan un 4% de interés anual. ¿Cuánto tendrás al final de los 3 años?

Solución

Vamos a intentar resolver este problema utilizando primero la tabla y luego probaremos la fórmula. Por los pasos anteriores, sabemos que tenemos que dibujar una tabla de dos columnas.

Importe	Porcentaje Tasa 4%
^1er año - $£ 4000$ Este es el principal o importe inicial que depositaste en el banco.	$\frac{4}{100} \times 4000 = £ 160$ Esto significa que obtendrás $£ 160$ extra el primer año.
^2º año - $4000 + 160 = £ 4160$ Empiezas el segundo año con la cantidad principal y los intereses ganados.	$\frac{4}{100} \times 4160 = £ 166.4$ Esto significa que obtendrás $£ 166.4$ extra al final del segundo año.
^3er año - $4160 + 166.4 = £ 4326.4$ Empiezas el tercer año con la cantidad ganada en el segundo año más los intereses obtenidos;ésta es la cantidad de dinero que tendrás al cabo de 3 años .	$\frac{4}{100} \times 4326.4 = £ 173.056$ Esto significa que obtendrás $£ 173.056$ extra al final del tercer año; éste esel interés ganado al final de los 3 años .
$4326.4 + 173.056 = £ 4499.456$ Esta es la cantidad de dinero que tendrás al cabo de 3 años.	$160 + 166.4 + 173.056 = £ 499.455$ Este es el interés ganado al final de los 3 años.

Así, al final de los 3 años, tendrás $£ 4499.456$ .

Ha sido un proceso bastante largo, pero podemos llegar a la respuesta más rápidamente utilizando la fórmula del interés compuesto. La fórmula es la siguiente.

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

A partir de lo dado, sabemos que

$P r i n c i p a l = £ 4000 R a t e = 4 % n = 3$

Ahora sustituiremos los valores en la fórmula.

$F i n a l A m o u n t = 4000 \times {(1 + \frac{4}{100})}^{3} = 4000 \times {(1 + 0.04)}^{3} = 4000 \times {(1.04)}^{3} = 4000 \times 1.124864 = £ 4499.456$

Puedes ver que se ha obtenido la misma respuesta utilizando la tabla y la fórmula.

Pongamos otro ejemplo.

Jane deposita 800 £ en un banco que paga un interés compuesto del 1% anual. ¿Cuánto tendrá al cabo de dos años? Utiliza la tabla y la fórmula de cálculo del interés compuesto para la siguiente pregunta.

Solución

En primer lugar, indica la información dada:

$P r i n c i p a l = £ 800 R a t e = 1 % n = 2 y e a r s F i n a l a m o u n t = ?$

Empecemos por la tabla antes de utilizar la fórmula.

Importe	Porcentaje Tasa - 1%
^1er año - $£ 800$ Este es el dinero inicial que depositó en el banco.	$\frac{1}{100} \times 800 = £ 8$ Esto significa que al final del primer año, Jane tendrá dinero extra.
^2ºaño - $800 + 8 = £ 808$ El segundo año empezará con la cantidad inicial más los intereses obtenidos en el primer año.	$\frac{1}{100} \times 808 = £ 8.08$ Esto significa que al final del segundo año, Jane tendrá $£ 8.08$ dinero extra.
Al cabo de 2 años, Jane tendrá $808 + 8.08 = £ 816.08$	El interés total obtenido al cabo de 2 años es $8 + 8.08 = £ 16.08$

Según la tabla, al cabo de 2 años, Juana tendrá $£ 816.08$ .

Utilicemos ahora la fórmula. La fórmula del interés compuesto viene dada por:

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

Ahora sustituiremos nuestros valores en la fórmula para obtener:

$F i n a l A m o u n t = 800 \times {(1 + \frac{1}{100})}^{2} = 800 \times {(1 + 0.01)}^{2} = 800 \times {(1.01)}^{2} = 800 \times 1.0201 = £ 816.08$

Puedes ver que se ha obtenido la misma respuesta utilizando la tabla y la fórmula.

Pongamos otro ejemplo.

Ben pide un préstamo de 15.000€, y el banco le cobra un 10% de interés compuesto anual. Si Ben no paga el préstamo en cuatro años, ¿cuánto debe Ben al banco?

Solución

Expongamos la información dada.

$P r i n c i p a l = £ 15000 R a t e = 10 % N u m b e r o f y e a r s (n) = 4 y e a r s A m o u n t o w e d a f t e r 4 y e a r s = ?$

La cantidad adeudada al cabo de cuatro años es la cantidad final y la obtendremos utilizando la fórmula del interés compuesto. La fórmula del interés compuesto viene dada por:

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

Sustituiremos nuestros valores en la fórmula:

$F i n a l a m o u n t = 15000 \times {(1 + \frac{10}{100})}^{4} = 15000 \times {(1 + 0.1)}^{4} = 15000 \times {(1.1)}^{4} = 15000 \times 1.4641 = £ 21 961.5$

Ben deberá al banco $£ 21 961.5$ al cabo de los 4 años.

Diferencia entre interés simple e interés compuesto

Aparte del interés compuesto, también existe lo que se denomina interés simple.

La diferencia significativa entre el interés simple y el interés compuesto es que el interés simple tiene que ver con un interés único sobre el importe principal, mientras que el interés compuesto tiene que ver con una acumulación de intereses sobre el importe principal a lo largo de un periodo de tiempo. Para saber más sobre el interés simple, consulta nuestro artículo sobre el Interés Simple.

Interés compuesto - Puntos clave

El interés compuesto es la acumulación o adición de intereses a una cantidad principal.
Hay dos formas de calcular el interés compuesto. Puedes calcularlo utilizando una tabla o utilizando la fórmula del interés compuesto.
La fórmula del interés compuesto es: $F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$ .
Además del interés compuesto, también existe lo que se llama interés simple. La diferencia significativa entre el interés simple y el compuesto es que el interés simple tiene que ver con el interés único sobre el importe principal, mientras que el interés compuesto tiene que ver con una acumulación de intereses sobre el importe principal a lo largo de un periodo de tiempo.

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el interés compuesto?

A. El interés compuesto es un interés único sobre el principal.

B. A medida que aumenta el tiempo, aumenta el dinero.

C. Hay dos formas de resolver el interés compuesto.

D. El interés compuesto es igual que el interés simple

B y C

El interés compuesto es la acumulación o adición de intereses a una cantidad principal.

Verdadero o Falso

Verdadero

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Preguntas frecuentes sobre Interés Compuesto

¿Qué es el interés compuesto?

El interés compuesto es el interés calculado sobre el capital inicial y también sobre los intereses acumulados de períodos anteriores.

¿Cómo se calcula el interés compuesto?

Se calcula usando la fórmula A = P(1 + r/n)^(nt), donde P es el principal, r es la tasa de interés, n es el número de veces que se capitaliza por año, y t es el tiempo en años.

¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto?

El interés simple se calcula solo sobre el principal, mientras que el compuesto se calcula tanto sobre el principal como sobre los intereses acumulados.

¿Por qué es importante entender el interés compuesto?

Entender el interés compuesto es esencial para inversiones y préstamos, ya que puede tener un gran impacto en las finanzas a largo plazo.

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