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Las leyes básicas de los logaritmos
Ley del producto (suma): \(\log_a(m) + \log_b(n) = \log_a(mn)\)
Ley del cociente: \(\log_a(m) - \log_b(n) = \log_a(\frac{m}{ n})\)
Ley de potencias: \(\log_a(x^b) = b\log_a(x)\)
Cambio de Ley: \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)})
La fórmula del cambio de ley está en el cuadernillo de fórmulas que te dan en el examen.
Otros logaritmos
Leyes recíprocas: \(\log_a(\frac{1}{x}) = \log(x^{-1}) = -\log(x)\)
Log de la base: \(\log_a(a)=1\)
Log de 1: \(\log_a(1) = 0\)
Aunque técnicamente es una ley de logaritmos, es importante recordar que los logaritmos pueden convertirse en exponenciales: \(\log_a(b) = x\) puede escribirse como \(a^x = b\).
Ley de la prueba de troncos
No es necesario poder demostrar cada ley de logaritmos para el examen, pero es importante comprender cada paso y por qué se produce.
Ley del producto (suma)
1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.
Para \(\log_x(a) = c\), la base esx, el exponente es c, la respuesta a la exponencial es a.
Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)
Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta de la exponencial es b.
Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)
2. Así, utilizando nuestra regla exponencial (índices) de \(M^n \cdot M^n = M^{m+n}\),
\(ab = (x^c)(x^d) = x^{c+d}\)
\(ab = x^{c+d}\)
3. Toma el logaritmo de ambos lados:
\(\log_x(ab) = \log_x(x^{c+d})\)
4. Como \(\log_x(x^{c+d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x (\(\log_x(x^{c+d})\)), se anularán entre sí para convertirse sólo en c + d.
\(log_x(x^{c+d}) = c +d \)
\(log_x(ab) = c+d\)
Este paso se debe a que los logaritmos y las exponenciales son funciones inversas entre sí. Piensa en cuando anulamos el +4 y el -4 en x +4 -4 = 10: es el mismo principio.
5. Hemos definido c y d en la parte 1. \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\)
Por tanto, \(c +d = \log_x(a) + \log_x(b)\)
\(\log_x(ab) = \log_x(a) + \log_x(b)\)
Regla del cociente
1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.
For\(\log_x(a) = c\), la base es x, el exponente es c y la respuesta a la exponencial es a.
Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)
Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta a la exponencial es b.
Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)
2. Así, utilizando nuestras reglas exponenciales (índices) de \(\frac{M^m}{M^n} = M^{m-n}\),
\(\frac{a}{b} = \frac{x^c}{x^d} = x^{c-d}\)
\(\frac{a}{b} = x^{c-d}\})
3. Toma el logaritmo de ambos lados.
\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(x^{c-d})\)
4. Como \(\log_x(x^{c-d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x, se anularán entre sí para convertirse sólo en c - d.
\(\log_x(x^{c-d}) = c-d\)
\(\log_x(\frac{a}{b}) = c-d\)
5. Hemos definido c y d en la parte 1, donde \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\):
\(c-d = \log_x(a) - \log_x(b)\)
\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(a) - \log_x(b)\)
Cambio de base
1. Sea \(\log_a(x) = k\) donde la base es a,el exponente es k, y la respuesta a la exponencial = x .
Por tanto, puede reescribirse como una exponencial: \(a^k = x\)
2. Toma el logaritmo de ambos lados
\(\log_b(a^k) = \log_b(x)\)
3. Utiliza la regla de la potencia para simplificar
\(\log_b(a^k) = k\log_b(a)\) que luego puedes volver a sustituir en la ecuación
\(k\log_b(a) = \log_b(x)\)
4. Reorganiza para obtener k por sí solo dividiendo por k \ (\log_b(a)\)
\(k = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
5. Como k ya está definido, puede sustituirse en la ecuaciónk\(\log_a(x)\)
\(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
Derecho recíproco
- \(\log_a(\frac{1}{x})\) puede escribirse como \(\log_a(x^{-1})\) utilizando nuestras reglas exponenciales con negativos.
- Puedes utilizar la regla del logaritmo de potencia para bajar el -1, de modo que \(\log_a(x^{-1})\) se convierte en \(-\log_a(x)\).
Log de la base
- Establece \(\log_a(a)=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es a. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = a\).
- Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es igual a la base, entonces el exponente debe ser 1.
Log de 1
- Establece \(\log_a1=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es 1. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = 1\).
- Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es 1, entonces el exponente debe ser 0.
Simplificar y resolver utilizando las leyes de los logaritmos
Aquí veremos algunos ejemplos de simplificación de una serie de leyes logarítmicas.
Simplificación y resolución mediante la ley 1 logarítmica
Mostrar log (6) + log (4) = log (24)-log)
\Muestra log (6) + log (4) = log (6) = log (24)
Resuelve φ(φlog (14) - φlog (7))
\Resuelve Λ(2) = Λ(2) = 0,301 (3 s.f)
Simplifica 【log(9)】, mantén la forma exacta
\Simplifica φ(2log(9) = φlog(9)^2 = φlog(81)^2).
Resuelve \(2\log(2\cdot 3)\)
\(2\log(2\cdot 3) = \log(2\cdot 3)^2 = \log(6)^2 = \log(36) = 1,56 (3 s.f)\)
Simplificar y resolver utilizando leyes logarítmicas múltiples
Puede ser útil utilizar reglas que simplifiquen logaritmos individuales antes de hacer la simplificación de leyes logarítmicas múltiples.
Resuelve \(3\log(4) - \log(8)\)
\(\log(4)^3 = \log(64)\log(64) - \log(8) = \log(\frac{64}{8}) = \log(8) = 0,903 (3 s.f)\)Simplifica \(\log_4(4x^2)\)
\(\log_4(4) + \log_4(x^2)1+ 2\log_4x\)
Demuestra \(x = 1 \pm i\sqrt{8}\) donde \(2\log_2(x+3) - log_2(x) = 3\)
1. Utilizando la regla de la potencia, \(2\log_2(x+3) = \log_2(x+3)^2\).
Por tanto, \(\log_2(x+3)^2 - \log_2(x) = 3\)
2. Usando la regla del cociente, \(\frac{\log_2(x+3)^2}{\log_2(x)} = 3\)
3. Cuando quieras eliminar el logaritmo, tienes que convertirlo en exponencial. Esto funciona de la misma manera que lo normal, sólo tienes que asegurarte de etiquetar cada parte.
La base es 2; el exponente es 3; la respuesta a la exponencial es \(\frac{(x+3)^2}{x}\)
\(2^3 = \frac{(x+3)^2}{x})
4. Resuélvela como una ecuación normal
\(8 = \frac{(x+3)^2}{x})
\(8x = (x+3)^2\})
\(0 = x^2 -2x+9\)
Usando la fórmula obtenemos, \(x = 1 \pm i\sqrt{8}\)
Leyes de los logaritmos - Puntos clave
- Las cuatro leyes principales con las que debes familiarizarte son la ley del producto, la ley del cociente, la ley del cambio de base y la regla de la potencia.
- La ley recíproca, el logaritmo de una base y el logaritmo de 1 son logaritmos más especializados: sólo pueden utilizarse en contextos específicos.
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