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Aquí echaremos un vistazo a las líneas perpendiculares y comprenderemos los distintos conceptos relacionados con ellas.
Significado de las líneas perpendiculares
Las rectas perpendiculares son las rectas que se cruzan entre sí formando un ángulo determinado. Como su nombre indica, entre dos rectas se forma una perpendicular. La perpendicular es un ángulo recto. Por tanto, ambas rectas se cruzan en \(90º\).
Dos rectas distintas que se cortan en \(90º\) se llaman rectas perpendiculares.
Líneas perpendiculares, StudySmarter Originals
Aquí las rectas AB y CD se cruzan en el punto O y ese ángulo de intersección es de \(90\) grados. Por tanto, ambas rectas \(AB\) y \(CD\) son rectas perpendiculares. Por tanto, las denotamos con el signo \(\perp\).
\[\implica AB\perp CD\]
Además, recuerda que los cuatro ángulos de las rectas perpendiculares serán iguales a \(90\) grados. Por tanto, aquí
\[\ángulo AOD=\ángulo AOC=\ángulo COB=\ángulo BOD=90º\]
Líneas no perpendiculares, StudySmarter Originals
Aquí arriba ambos tipos de rectas no son rectas perpendiculares, ya que las rectas de la primera figura se intersecan pero no a \(90º\). Y las rectas de la segunda figura no se cruzan en absoluto. Por tanto, hay que tener en cuenta que no todas las rectas que se cruzan son rectas perpendiculares.
Líneas perpendiculares Gradiente
El gradiente de las rectas perpendiculares es la pendiente o inclinación de las rectas. Como las dos rectas perpendiculares son, de hecho, una recta en sí mismas, podemos representarlas en forma de ecuación de recta \(y=mx+b\). Esta ecuación describe el valor de \(y\) al variar con \(x\). Y m es la pendiente de esa recta y \(b\) es la intersección y.
La pendiente de las rectas perpendiculares es el recíproco negativo de cada una. Supongamos que la pendiente de la primera recta es \(m_1\) y la de la segunda es \(m_2\). La relación entre la pendiente de ambas rectas perpendiculares es \(m_1 -m_2=-1\).
Por tanto, podemos decir que si el producto de dos pendientes es \(-1\) entonces ambas rectas son perpendiculares entre sí.
Líneas perpendiculares con relación de pendiente, StudySmarter Originals
Fórmula de la pendiente de la recta perpendicular
Podemos hallar la pendiente de la recta perpendicular con ayuda de la ecuación de una recta y utilizando el concepto de pendiente antes mencionado. La forma general de la ecuación de una recta se representa como \(ax+by+c=0\). Entonces podemos simplificar esta ecuación como
\[ax+by+c=0\]
\[\implica y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\quad \quad (1)\}].
También sabemos que la ecuación de una recta en términos de pendiente puede escribirse como
\y=m_1x+b\quad\quad (2)\]
Entonces, comparando las ecuaciones \((1)\) y \((2)\), obtenemos que \(m_1=-\dfrac{a}{b}\). Y por la teoría anterior de la pendiente sabemos que el producto de pendientes de rectas perpendiculares es \(-1\).
\[\implica m_1 - m_2=-1\]
\[\begin{align} \implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}=\\&=-\dfrac{1}{-\frac{a}{b}}=\\&=\dfrac{b}{a}\\\\ \therefore m_2&=\dfrac{b}{a} \end{align}\]
Por tanto, a partir de la ecuación dada de la recta \(ax+by+c=0\), podemos calcular las pendientes de las rectas perpendiculares mediante la fórmula \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).
Supón que se da una recta \(5x+3y+7=0\). Halla la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada.
Solución:
Se da que \(5x+3y+7=0\). Comparándola ahora con la ecuación general de la recta \(ax+by+c=0\), obtenemos \(a=5\), \(b=3\), \(c=7\).
Ahora utilizamos la fórmula anterior para calcular la pendiente.
\[\begin{align}\implies m_1&=-\dfrac{a}{b}=\\\\&=-\dfrac{5}{3}\end{align}\]
Ahora, utilizando la fórmula mencionada en la explicación, la pendiente de la recta perpendicular es
\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{b}{a}=\\\\&=-\dfrac{3}{5}\end{align}\]
Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular a \(5x+3y+7=0\) es \(m_2=\dfrac{3}{5}\).
Ecuación de la recta perpendicular
La ecuación de la recta perpendicular puede derivarse de la ecuación de una recta que se escribe de la forma \(y=mx+b\). Hemos estudiado que las pendientes de las rectas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí. Por tanto, al escribir ecuaciones de rectas perpendiculares, tenemos que asegurarnos de que las pendientes de cada recta al multiplicarse entre sí obtengan \(-1\).
Si queremos hallar la ecuación de una recta perpendicular a otra recta, debemos tomar el recíproco negativo de la pendiente de esa recta. Este valor será tu valor para \(m\) en la ecuación. La intersección y puede ser cualquier cosa, ya que una recta puede tener infinitas rectas perpendiculares que se crucen con ella. Así que, a menos que la pregunta diga lo contrario, puedes utilizar cualquier valor para \(b\).
Halla la ecuación de una recta que pase por el punto \((0,2)\) tal que sea perpendicular a la recta \(y=2x-1\).
Solución:
En primer lugar, hallamos la pendiente de la recta perpendicular. Aquí, la ecuación de una recta es \(y=2x-1\). Comparándola con la ecuación general de la recta \(y=mx+b\), obtenemos \(m_1=2\).
Ahora tomamos el recíproco negativo de la pendiente anterior para hallar la pendiente de la otra recta.
\[\implies m_2=-\dfrac{1}{m_1}\]
\[Implica que m_2=-\dfrac{1}{2}]
Ahora se menciona en la pregunta que la otra recta pasa por el punto \((0,2)\). Por tanto, la intersección y de esta recta será
\[y=mx+b\]
\[\begin{align} &\implies y=\left(-\dfrac{1}{2}\right)x+b\\&\implies 2y=-x+2b\\&\implies 2y+x=2b\\&\χmplica 2(2)+0=2b\quad χmplica 4=2b\quad χmplica 4=2b\quad χmplica 4=2b\quad χmplica 4=2b\quad =2.
Ahora finalmente sustituimos todos los valores obtenidos en la ecuación de la recta.
\[y=mx+b\]
\[\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+2\]
Gráficamente, podemos representar las rectas perpendiculares obtenidas como se indica a continuación.
Gráfico de rectas perpendiculares, StudySmarter Originals
Ejemplo de rectas perpendiculares
Veamos algunos ejemplos de rectas perpendiculares.
Comprueba si las rectas dadas son perpendiculares o no.
Recta 1: \(4x-y-5=0\), Línea 2: \(x+4y+1=0\).
Solución:
Para comprobar si las rectas dadas son perpendiculares, veremos si el producto de las pendientes es \(-1\) o no. Así que comparando las ecuaciones dadas de la recta \(4x-y-5=0\), \(x+4y+1=0\) con la forma general \(ax+by+c=0\).
\[\Nimplica a_1=4,\Ncuadra b_1=-1,\Ncuadra c_1=-5;\Ncuadra a_2=1,\Ncuadra b_2=4,\Ncuadra c_2=1].
Ahora utilizamos la fórmula para calcular la pendiente de las rectas perpendiculares. Por tanto, para la recta 1, obtenemos
\[\implies m_1=-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{4}{(-1)}=\dfrac{4}{1}=4\]
Y para la recta 2, la pendiente es
\[\implies m_2=-\dfrac{a_2}{b_2}=-\dfrac{1}{4}\]
Aquí \(m_1=4\), \(m_2=-\dfrac{1}{4}\) son recíprocos negativos entre sí. Por tanto, el producto de ambos es
\[m_1 -m_2=4 veces \ Izquierda(-\dfrac{1}{4}{4}Derecha)=-1\].
Por tanto, ambas rectas son perpendiculares entre sí.
Halla la ecuación de la recta si pasa por el punto \((0,1)\) y es perpendicular a otra recta \(x+y=6\).
Solución:
Aquí, la ecuación de la primera recta viene dada por \(x+y=6\). Y la segunda recta pasa por el punto \((0,1)\). Ahora simplificamos la ecuación dada de la recta de modo que se parezca a la forma \(y=mx+b\).
\[\implica x+y=6\\]
\[\begin{align} \y&=6-x&&=-x+6&&=(-1)x+6&por tanto \,y&=-1x+6 fin].
Así, comparando esta ecuación obtenida con la forma general de la recta de arriba, obtenemos \(m_1=-1\), \(b_1=6\) para la primera recta. Ahora, para hallar la pendiente de la segunda recta, sabemos que es un recíproco negativo de la pendiente de la primera recta.
\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}\\&=-\dfrac{1}{(-1)}\\ \therefore m_2&=1\end{align}\]
Y como la segunda recta pasa por el punto \((0,1)\}, la intersección y es,
\[y=m_2 x+b_2]
\[\begin{align}\implies y&=(1)x+b_2\\ \implies y&=x+b_2\\ \implies 1&=0+b_2\quad \quad\quad \text{substitute point (0,1)}\\ \therefore b_2&=1\end{align}\]
Así que poniendo todos los valores obtenidos en la forma general de recta, obtenemos
\[\begin{align}y&=m_2x+b_2\\&=1x+1\\&=x-1\end{align}\]
La ecuación de la recta perpendicular a \(x+y=6\) y que pasa por \((0,1)\) es \(y=x+1\).
Líneas perpendiculares - Puntos clave
- Dos rectas distintas que se cortan en \(90º\) se llaman rectas perpendiculares.
- Las pendientes de las rectas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí.
- Las pendientes de las rectas perpendiculares mediante la fórmula \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).
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