Líneas Perpendiculares

Significado de las líneas perpendiculares

Las rectas perpendiculares son las rectas que se cruzan entre sí formando un ángulo determinado. Como su nombre indica, entre dos rectas se forma una perpendicular. La perpendicular es un ángulo recto. Por tanto, ambas rectas se cruzan en \(90º\).

Líneas perpendiculares, StudySmarter Originals

Aquí las rectas AB y CD se cruzan en el punto O y ese ángulo de intersección es de \(90\) grados. Por tanto, ambas rectas \(AB\) y \(CD\) son rectas perpendiculares. Por tanto, las denotamos con el signo \(\perp\).

\[\implica AB\perp CD\]

Además, recuerda que los cuatro ángulos de las rectas perpendiculares serán iguales a \(90\) grados. Por tanto, aquí

\[\ángulo AOD=\ángulo AOC=\ángulo COB=\ángulo BOD=90º\]

Líneas no perpendiculares, StudySmarter Originals

Aquí arriba ambos tipos de rectas no son rectas perpendiculares, ya que las rectas de la primera figura se intersecan pero no a \(90º\). Y las rectas de la segunda figura no se cruzan en absoluto. Por tanto, hay que tener en cuenta que no todas las rectas que se cruzan son rectas perpendiculares.

Líneas perpendiculares Gradiente

El gradiente de las rectas perpendiculares es la pendiente o inclinación de las rectas. Como las dos rectas perpendiculares son, de hecho, una recta en sí mismas, podemos representarlas en forma de ecuación de recta \(y=mx+b\). Esta ecuación describe el valor de \(y\) al variar con \(x\). Y m es la pendiente de esa recta y \(b\) es la intersección y.

La pendiente de las rectas perpendiculares es el recíproco negativo de cada una. Supongamos que la pendiente de la primera recta es \(m_1\) y la de la segunda es \(m_2\). La relación entre la pendiente de ambas rectas perpendiculares es \(m_1 -m_2=-1\).

Por tanto, podemos decir que si el producto de dos pendientes es \(-1\) entonces ambas rectas son perpendiculares entre sí.

Líneas perpendiculares con relación de pendiente, StudySmarter Originals

Fórmula de la pendiente de la recta perpendicular

Podemos hallar la pendiente de la recta perpendicular con ayuda de la ecuación de una recta y utilizando el concepto de pendiente antes mencionado. La forma general de la ecuación de una recta se representa como \(ax+by+c=0\). Entonces podemos simplificar esta ecuación como

\[ax+by+c=0\]

\[\implica y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\quad \quad (1)\}].

También sabemos que la ecuación de una recta en términos de pendiente puede escribirse como

\y=m_1x+b\quad\quad (2)\]

Entonces, comparando las ecuaciones \((1)\) y \((2)\), obtenemos que \(m_1=-\dfrac{a}{b}\). Y por la teoría anterior de la pendiente sabemos que el producto de pendientes de rectas perpendiculares es \(-1\).

\[\implica m_1 - m_2=-1\]

\[\begin{align} \implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}=\\&=-\dfrac{1}{-\frac{a}{b}}=\\&=\dfrac{b}{a}\\\\ \therefore m_2&=\dfrac{b}{a} \end{align}\]

Por tanto, a partir de la ecuación dada de la recta \(ax+by+c=0\), podemos calcular las pendientes de las rectas perpendiculares mediante la fórmula \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).

Ecuación de la recta perpendicular

La ecuación de la recta perpendicular puede derivarse de la ecuación de una recta que se escribe de la forma \(y=mx+b\). Hemos estudiado que las pendientes de las rectas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí. Por tanto, al escribir ecuaciones de rectas perpendiculares, tenemos que asegurarnos de que las pendientes de cada recta al multiplicarse entre sí obtengan \(-1\).

Si queremos hallar la ecuación de una recta perpendicular a otra recta, debemos tomar el recíproco negativo de la pendiente de esa recta. Este valor será tu valor para \(m\) en la ecuación. La intersección y puede ser cualquier cosa, ya que una recta puede tener infinitas rectas perpendiculares que se crucen con ella. Así que, a menos que la pregunta diga lo contrario, puedes utilizar cualquier valor para \(b\).

Ejemplo de rectas perpendiculares

Veamos algunos ejemplos de rectas perpendiculares.