Conversión entre logaritmos naturales y funciones exponenciales
Empieza con un logaritmo natural general: \(\ln(x) = y\). Puedes reescribirlo fácilmente como \(\log_e(x) = y\).
Como siempre, tienes que etiquetar cada parte de la función: la base es e (como en los logaritmos naturales), el exponente es y, y la respuesta de la exponencial es x.
Por tanto, puedes reescribir los logaritmos como \(e^y = x\).
Resuelve \(e^x = 5\) a 3 sf
- Etiqueta cada parte de la función de modo que: la base sea e, el exponente sea x y la respuesta de la exponencial sea 5.
- A continuación, fórmala en logaritmo para que sea \(\log_e(5) = x\)
- Como Loge es lo mismo que decir Ln, puedes escribirlo como logaritmo natural
¿Cuáles son las reglas de los logaritmos naturales?
Además de las reglas específicas de los logaritmos naturales, puedes utilizar las leyes generales de los logaritmos, así como las reglas exponenciales.
Reglas de los logaritmos naturales
- \(\ln(e) = 1\)
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e^x) = x\)
- Si \(\ln(y) = \ln(x)\), entonces y = x
- \(e^{ln(x)} = x\)
Demostrar reglas de logaritmos naturales
Al igual que ocurre con las demostraciones de las Leyes de los Logos, tienes que ser capaz de comprender cada paso de la demostración de una regla de logaritmos naturales; no tienes que sentir que podrías haber llegado a ese punto sin ayuda.
Probar Ln (1) = 0
\(\ln(1) = m\) puede escribirse como \(\log_e(1) = m\)
Lo reescribirás como una función exponencial en la que la base es e, la respuesta de la exponencial es 1 y el exponente es m. Esta exponencial tendría el siguiente aspecto \(e^m = 1\)
Utilizando nuestra ley exponencial de Potencia = 0, sabes que el exponente (en este caso, m) debe ser 0 para que la respuesta de la exponencial sea 1.
Por tanto, \(\ln(1) = 0\)
Demostrar que Ln (e) = 1
\(\ln(e) = n\) puede reescribirse como \(\log_e(e) = n\), donde la base es e, la respuesta a la exponencial es e, y el exponente es n.
Como resultado, reescribes \(\log_e(e) = n\) como \(e^n = e\).
Según nuestras reglas exponenciales, cuando la respuesta a la exponencial es la misma que la base, entonces la potencia debe ser 1.
Por tanto, \(\ln(e) = 1\)
Demostrar que Ln(ex)=x
Como la exponencial y los logaritmos son funciones inversas, se anulan mutuamente cuando se colocan en la misma función.
Este concepto es el mismo que multiplicar un número por 2 y luego dividirlo por 2: acabas con el mismo número que tenías al principio.
Por lo tanto, ln y e se anularán y sólo te quedará x.
Demostrar que Ln (y) = Ln (x) significa y = x
Si estableces ln(y) = a y ln(x) = b, puedes reescribir cada función como una exponencial.
- \(\ln(y) = a, \log_e(y) = a\)
Donde la base es e, el exponente es a, y la respuesta a la exponencial es y. Por tanto, la exponencial es \(e^a = y\).
- \(\ln(x) = b, \log_e(x) = b\)
Donde la base es e, el exponente es b y la respuesta a la exponencial es x. Por tanto, la exponencial es \(e^b = x\).
Como se te dice que ln (y) = ln (x), \(e^a\) debe ser igual a \(e^b\), por tanto y = x.
Demostrar que eLn(x)=x
La e y la Ln se anulan mutuamente porque los exponenciales y los logaritmos son funciones inversas entre sí. Al hacerlo, te queda x.
Por tanto, \(e^{\ln(x)} = x\)
Esta ley utiliza el mismo pensamiento que la \(\ln(e^x) = x\)
Aplicación de las reglas del logaritmo natural
Ejemplo 1: Resolver \ (e^{2x} = 6\)
La expresión \(e^{2x} = 6\) puede escribirse como logaritmo natural, ya que la base es e, el exponente es 2x y la respuesta de la exponencial es 6.
Por tanto, como logaritmo natural, podría escribirse como ln (6) = 2x.
Por tanto, \(\frac{\ln(6)}{2} = 0,896 (3 s.f)\)
Ejemplo 2: Resolver \(e^{x+3} = 10\)
La expresión \(e^{x+3}\) puede escribirse como un logaritmo, en el que la base es e; el exponente es x + 3, y la respuesta a la exponencial es 10.
\(\ln(10) = x + 3\)
Por tanto, \(x = \ln(10) - 3 = -0,697(3 s.f)\)
Ejemplo 3: Resuelve \(e^{\ln(x^3)} = 8\)
Como la exponencial y los logaritmos son funciones inversas, la e y la Ln se anularán mutuamente.
Por tanto, \(x^3 = 8; x = 2\)
Ejemplo 4: Resuelve \(\ln(x+1) = 1,4\)
Para obtener x sola, necesitamos convertir el logaritmo en una exponencial donde la base es e, el exponente es 1,4, y la respuesta de la exponencial es x + 1.
Por tanto, \(e^{1,4} = x+1\) y \(x = e^{1,4} -1 = 3,06(3 s.f)\)
Ejemplo 5: Resuelve \(2\ln(6) + \ln(2) - \ln(4) = x\)
1. Debido ala regla del logaritmo potencia, \(2\ln(6)\) puede escribirse como \(\ln(6^2) = \ln(36)\)
Por tanto, \(\ln(36) +\ln(2) - \ln(4) = x\)
2. Utilizando la regla del producto y del cociente, podemos hacer lo siguiente
\(\ln(36 \cdot 2) - \ln(4) = x\)
\(\ln(\frac{36 \cdot 2}{4}) = x\)
\(\ln(\frac{72}{4}) = \ln(18) = x = 2,89 (3 s.f)\)
Logaritmo natural - Puntos clave
- Los logaritmos naturales son logaritmos de base e.
- Para utilizar logaritmos naturales para resolver y simplificar, puedes utilizar:\(\ln(1) = 0\); \(\ln(e) = 1\); si \(\ln(y) = \ln(x)\), entonces y = x; \(e^{\ln(x)} = x\). Esto está junto a las leyes de las Exponenciales y los Logaritmos.
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