Matemáticas de conjuntos

Símbolos utilizados en los conjuntos

Se utilizan símbolos específicos para describir determinados conjuntos. A continuación se indican los más comunes y su significado.

Elementos de un conjunto

Los elementos contenidos en un conjunto se llaman elementos del conjunto. Se denotan mediante paréntesis rizados con comas separando cada elemento. Podemos utilizar Notación específica para denotar que algo es un elemento de un conjunto concreto. Por ejemplo, si tuviéramos A = {1, 2, 3, 4}, podríamos escribir que 3 ∈ A, lo que significa que 3 es un elemento de A. Sin embargo, como es evidente que 5 no es un miembro de A, eso puede denotarse como 5 ∉ A.

• He aquí ejemplos de conjuntos de uso común.

  • N - Conjunto de todos los Números Naturales

  • Z - Conjunto de todos los números enteros

  • Q - Conjunto de todos los números racionales

  • R - Conjunto de todos los números reales

  • Z + - Conjunto de todos los números enteros positivos

Orden de los conjuntos

Para definir un conjunto, debe ser una colección de elementos únicos. Una propiedad importante de los conjuntos es que los elementos deben estar relacionados entre sí de algún modo o compartir una propiedad común. Por ejemplo, al definir una lista de colores primarios en un conjunto, queremos decir que todos los elementos son colores primarios.

La cardinalidad denota el Número total de elementos de un conjunto. Esto significa que si tenemos un conjunto de Números Naturales inferior a 6, la cardinalidad de ese conjunto será 5. Supongamos que nuestro conjunto es A = {1, 2, 3, 4, 5}: hay cinco elementos presentes en el conjunto. Eso hace que nuestra cardinalidad sea 5. La cardinalidad de A se denota por | A | o n (A), donde n es el número de elementos entre paréntesis, y A es un conjunto cualquiera.

Representación de conjuntos

Hay varias formas de representar conjuntos. La diferencia fundamental está en la forma de enumerar los elementos. Se pueden representar de forma semántica, de lista o de constructor de conjuntos.

Forma semántica de representar conjuntos

Esta Notación es una forma de enunciado de describir los elementos de un conjunto. Por ejemplo, podemos enumerar los Números Primos naturales inferiores a 20. Otro ejemplo es la lista de los meses de un año. En forma semántica, incluso pueden escribirse como {conjunto de números naturales impares menores que 10}.

Forma de lista para representar conjuntos

La forma de lista es la notación más utilizada para los conjuntos. Los elementos se denotan mediante llaves y se separan por comas. Con este tipo de notación, se suelen mencionar los elementos del conjunto. Por ejemplo, un conjunto de números naturales impares menores que 10 será A = {1, 3, 5, 7, 9}. Igualar A a nuestro conjunto significa que en cualquier lugar donde encontremos A, estamos hablando de nuestra lista de números naturales impares.

En otro caso, tienes un conjunto con infinitos elementos, que suele expresarse con una serie de puntos al final del último elemento indicado. Por ejemplo, un conjunto de números enteros positivos se denotará por $Z^{+}$ = {1, 2, 3, 4, 5, ....} Esto significa que hay infinitos números después del 5 en el orden que ya se ha expresado.

Forma constructora de conjuntos de representar conjuntos

Esta notación matemática se utiliza para describir conjuntos demostrando las propiedades que deben satisfacer sus miembros. Suele haber un enunciado que describe específicamente la característica común de todos los elementos de un conjunto.

• Por ejemplo, un conjunto de números enteros positivos hasta 5 puede ser denotado por el constructor de conjuntos como $\{x|x\le 5\}$.

• Otro ejemplo podría ser $A=\{x|xisanevennumber,x\le 12\}$. Esta notación establece que todos los elementos del conjunto A son números pares menores o iguales que 12. Escribiendo esto en forma de lista, tendremos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, y su cardinalidad será 6.

Tipos de conjuntos

En matemáticas hay muchos tipos diferentes de conjuntos. Los repasaremos en esta sección.

Conjunto vacío

Los conjuntos que no contienen ningún elemento se llaman conjuntos vacíos o conjuntos nulos. Se indican con {} o ∅.

Conjunto único

Estos tipos de conjuntos sólo contienen un elemento. También se llaman conjuntos unitarios. Por ejemplo, A = {4}

Conjuntos finitos

Los conjuntos finitos son conjuntos con un número contable de elementos. Por ejemplo, A = {un conjunto de enteros positivos menores que 7} será A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o {x | x es un entero positivo <7}.

Conjunto infinito

Son conjuntos que contienen un número infinito de elementos. Un ejemplo de este conjunto es Z = {conjunto de todos los enteros}. Otro ejemplo son los múltiplos de tres. Que se puede denotar por C = {3, 6,9, 12, 15, .....}. La serie de puntos tras el último elemento enumerado se utiliza para expresar su condición de infinito.

Conjuntos iguales

Se dice que dos conjuntos son iguales cuando contienen los mismos elementos. El orden en que estén dispuestos no importa. Por ejemplo, si tuviera dos conjuntos, A y B, en los que A = {2, 3, 4, 5} y B = {5, 4, 3, 2}, se dice que son iguales.

Conjuntos equivalentes

Cuando dos conjuntos contienen el mismo número de elementos aunque éstos sean distintos, se consideran equivalentes. Por ejemplo, A = {1,2,3,4} y B = {9, a, 3, w} son equivalentes.

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos se consideran disjuntos si no contienen ningún elemento común. Por ejemplo, los conjuntos A y B son disjuntos si A = {1, 2, 3, 4} y B = {7, 8, 9, 10}.

Subconjuntos

El conjunto A se considera subconjunto de B si todos los elementos de A están presentes en el conjunto B. Se expresa matemáticamente mediante la notación A ⊆ B. Por esta definición, los conjuntos se consideran subconjuntos de sí mismos. Por ejemplo, si B = {4, 6, 8,} y A = {6, 8}, A ⊆ B. Cuando un conjunto (A) no es subconjunto de otro (B), se denota por A ⊈ B .

Los conjuntos vacíos también se consideran subconjuntos de todo conjunto. Y los conjuntos vacíos tienen un subconjunto, él mismo, mientras que los conjuntos no vacíos tienen al menos 2 subconjuntos, 0 y él mismo.

Subconjuntos propios

Si A ⊆ B, y sin embargo A ≠ B, entonces A se considera un subconjunto propio de B. Esto se puede denotar por A ⊂ B. Por ejemplo, si A = {9, 12} y B = {3, 6, 9, 12}, entonces A ⊂ B.

Superconjuntos

El conjunto A se considera un superconjunto de B si todos los elementos de B están presentes en el conjunto A. Se denota con el símbolo ⊇. Por ejemplo, si A = {1,2,3,4} y B = {1,2,3}, entonces A ⊇ B.

Conjuntos universales

Es un conjunto que contiene elementos de todos los conjuntos afines sin repetirse. Se denota con el símbolo U. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces el conjunto universal aquí es U = {1, 2, 3 , 4, 6, 8}.

Operar conjuntos

Bajo ciertas condiciones, se pueden realizar operaciones de conjuntos en la teoría de conjuntos. Algunas operaciones básicas son

• Unión de conjuntos

• Intersección de conjuntos

• Complemento de un conjunto

• Producto cartesiano de conjuntos

• Diferencia de conjuntos

Unión de conjuntos

Una unión de conjuntos contiene todos los elementos de los conjuntos relacionados. Así, si tenemos los conjuntos A y B, una unión serán todos los elementos de A y B. Se denota con el símbolo U. Matemáticamente, una unión de A y B tendrá el aspecto AUB.

Intersección de conjuntos

Un conjunto intersección es aquel que contiene elementos comunes de conjuntos relacionados. Una intersección de conjuntos A y B serán elementos que aparezcan tanto en A como en B. Se denota con el símbolo ∩. Esto significa que una intersección de los conjuntos A y B se escribirá matemáticamente como A ∩ B.

Complementos de un conjunto

Los conjuntos complementarios contienen todos los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto dado. Suponiendo que A es un subconjunto de un conjunto mucho mayor llamado conjunto universal, el complemento de A son todos los elementos presentes en el conjunto universal que no están presentes en A. El complemento se denotará por A '.

Producto cartesiano de conjuntos

El Producto Cartesiano de conjuntos se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de dos conjuntos, A y B, tales que x pertenece a A e y pertenece a B.

Diferencia de conjuntos

La diferencia de conjuntos enumera los elementos del conjunto A que no están presentes en el conjunto B. Se denota por A - B. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 3, 5, 7 }, entonces A - B = {2, 4}.

Propiedades de los conjuntos

Los conjuntos, al igual que los números, también tienen propiedades asociadas. La fórmula del conjunto se da en general como n (A∪B) = n (A) + n (B) - n (A⋂B), donde A y B son dos conjuntos y n (A∪B) muestra el número de elementos presentes en A o en B y n (A⋂B) muestra el número de elementos presentes tanto en A como en B. En este apartado trataremos seis propiedades importantes dados tres conjuntos A, B y C.

Propiedad conmutativa:

• AUB = BUA

• A ∩ B = B ∩ A

Propiedad asociativa:

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (AUB) UC = AU (BUC)

Propiedad distributiva:

• AU (B ∩ C) = (AUB) ∩ (AUC)

• A ∩ (BUC) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Propiedad de identidad:

• AU ∅ = A

• A ∩ U = A

Propiedad de complemento:

• AUA '= U

Propiedad idempotente:

• A ∩ A = A

• AUA = A

Ejemplos trabajados de conjuntos

Aquí tienes algunos ejemplos trabajados sobre conjuntos.